离散数学逻辑课件

离散数学逻辑欢迎来到离散数学逻辑课程！本课程将带您深入了解逻辑的基础知识及其在计算机科学中的重要应用我们将从命题逻辑开始，逐步过渡到谓词逻辑，并通过丰富的实例帮助您掌握使用逻辑解决实际问题的能力让我们一起开启这段充满挑战与乐趣的学习之旅！课程目标掌握逻辑基础知识目标能力目标素质目标理解命题、连接词、真值表等基本概念能够运用逻辑推理规则证明命题的有效培养严谨的逻辑思维能力，提高抽象思，掌握命题公式的等价关系和范式变换性，能够将自然语言描述的问题形式化维和问题解决能力，增强对计算机科学，熟悉谓词逻辑的量词、谓词公式和推为逻辑表达式，能够使用逻辑方法分析理论基础的理解和应用能力理规则和解决计算机科学中的实际问题逻辑的重要性在计算机科学中的应用程序验证1逻辑可以用于验证程序的正确性，确保程序按照预期的方式运行，避免出现错误和漏洞人工智能2逻辑是人工智能的重要基础，例如在知识表示、推理和规划等领域都有广泛应用数据库3逻辑可以用于查询优化和完整性约束，提高数据库的效率和可靠性电路设计4逻辑门是数字电路的基本组成部分，逻辑代数可以用于化简电路设计，降低成本和功耗命题与连接词命题连接词真值一个具有确定真值的陈述句，要么为用于连接命题，形成复合命题的符号命题的真假状态，真用T表示，假用F真，要么为假，不能同时为真和假，例如否定、合取、析取、条件和双表示条件命题的定义真值与假值定义命题是一个陈述句，其结果要么为真（T），要么为假（F）真值命题为真时，其真值为T；命题为假时，其真值为F示例“北京是中国的首都”是一个命题，其真值为T“1+1=3”是一个命题，其真值为F基本连接词否定定义1设p是一个命题，p的否定记作¬p，表示“非p”真值表2p¬pT FF T示例3如果p表示“今天是星期一”，那么¬p表示“今天不是星期一”基本连接词合取真值表p qp∧qT T T2T F F定义1FT F设p和q是两个命题，p和q的合取记作p∧q，表示“p并且q”FFF3示例如果p表示“今天是星期一”，q表示“今天下雨”，那么p∧q表示“今天是星期一并且今天下雨”基本连接词析取定义设p和q是两个命题，p和q的析取记作p∨q，表示“p或者q”1真值表p qp∨qT TT2T FTF TTF FF示例3如果p表示“今天是星期一”，q表示“今天下雨”，那么p∨q表示“今天是星期一或者今天下雨”基本连接词条件定义1设p和q是两个命题，p到q的条件记作p→q，表示“如果p，那么q”真值表p qp→qT TT2TFFF TTF FT示例3如果p表示“今天是星期一”，q表示“我要上班”，那么p→q表示“如果今天是星期一，那么我要上班”基本连接词双条件定义真值表示例设p和q是两个命题，p和q的双条件记作如果p表示“今天是星期一”，q表示“我要p qp↔qp↔q，表示“p当且仅当q”上班”，那么p↔q表示“今天是星期一当且仅当我上班”TTTT FFF TFF FT真值表理解连接词的含义真值表能够清晰地展示不同连接词在不同命题组合下的真值情况，帮助我们深入理解连接词的含义和作用通过真值表，我们可以判断复合命题的真假，为逻辑推理提供基础复合命题定义真值表由简单命题通过连接词组合而成的命题称为复合命题复合命题的真值由其组成部分的真值和连接词的含义决定，可以通过真值表进行计算复合命题的定义简单命题连接词纽带复合结构不可再分解的命题单元连接词如同纽带，将简复合命题是由简单命题是构建复杂逻辑结构的单命题巧妙地结合成各和连接词构建的，承载基石种复合命题丰富信息的逻辑表达式复合命题的真值表构建列出所有简单命题确定复合命题中包含的简单命题，并列出所有可能的真值组合计算中间步骤真值根据连接词的含义，逐步计算复合命题中各个部分的真值最终结果最终得到复合命题在所有真值组合下的真值，形成完整的真值表命题公式与等价命题公式逻辑等价由命题变项、连接词和括号组成的表达式，代表一类命题的共同两个命题公式在所有真值组合下都具有相同的真值，则称它们逻结构辑等价命题公式的定义命题变项连接词12表示命题的变量，通常用p、q用于连接命题变项的符号，例、r等字母表示，可以取真值T如¬、∧、∨、→、↔或F括号3用于改变运算优先级，确保命题公式的结构清晰明确命题公式的类型永真式定义示例在所有可能的真值指派下，其真p∨¬p，无论p的真值为真还是为值永远为真的命题公式称为永真假，该公式的真值永远为真式重要性永真式是逻辑推理的基础，可以作为公理使用命题公式的类型永假式定义示例应用在所有可能的真值指派p∧¬p，无论p的真值为永假式可以用于检测逻下，其真值永远为假的真还是为假，该公式的辑错误和矛盾命题公式称为永假式真值永远为假命题公式的类型可满足式定义1存在至少一种真值指派，使得命题公式的真值为真，则称该公式为可满足式示例2p，当p的真值为真时，该公式的真值为真与永真式和永假式的关系3永真式一定是可满足式，永假式一定不是可满足式，可满足式不一定是永真式逻辑等价的定义可相互替换2在任何包含这两个公式的更大的公式中，一个公式可以被另一个公式替换，而真值表相同不改变整个公式的真值1两个命题公式在所有真值指派下，对应的真值都完全相同符号表示3逻辑等价通常用符号或⇔表示≡逻辑等价的证明方法真值表法1构建两个命题公式的真值表，比较它们的真值是否完全相同等价演算2利用已知的逻辑等价式，逐步推导出两个命题公式的等价关系常见的逻辑等价式德摩根定律1¬p∧q≡¬p∨¬q，¬p∨q≡¬p∧¬q双重否定律2¬¬p≡p条件等价式3p→q≡¬p∨q联结词完备集定义意义一个联结词集合，如果使用该集合中的联结词可以表达所有的命联结词完备集可以简化逻辑系统的设计，减少需要使用的联结词题公式，则称该集合为联结词完备集种类联结词完备集的定义表达能力最小化应用广泛123联结词完备集必须能够表达任何复寻找尽可能小的联结词集合，实现联结词完备集在逻辑电路设计、程杂的逻辑关系逻辑表达的简洁性序语言等领域具有重要应用价值常见的联结词完备集{¬,∧}{¬,∨}否定和合取的组合可以表达所有否定和析取的组合也可以表达所的逻辑关系有的逻辑关系{¬,→}否定和条件的组合同样可以表达所有的逻辑关系范式定义作用类型范式是一种标准化的命题公式形式，便于将任意命题公式转换为范式，可以简化逻常见的范式包括合取范式、析取范式、主进行逻辑推理和化简辑运算和判断等价性合取范式和主析取范式合取范式定义1由若干个子句的合取组成，每个子句是若干个命题变项或其否定的析取形式2p∨¬q∨r∧¬p∨q∧¬r应用3在自动推理和定理证明中有广泛应用析取范式形式2p∧¬q∧r∨¬p∧q∨¬r定义1由若干个子句的析取组成，每个子句是若干个命题变项或其否定的合取应用在逻辑电路设计和知识表示中有重要应3用主合取范式定义1每个子句都包含所有命题变项或其否定的合取范式，且每个子句都是极小项极小项2使得整个合取范式为假的最小真值指派唯一性3对于一个命题公式，其主合取范式是唯一的主析取范式定义1每个子句都包含所有命题变项或其否定的析取范式，且每个子句都是极大项极大项2使得整个析取范式为真的最大真值指派唯一性3对于一个命题公式，其主析取范式是唯一的范式的应用化简命题公式简化逻辑表达式判断等价性通过将命题公式转换为范式，可以更容易地进行逻辑化简和推理将两个命题公式转换为相同的范式，可以判断它们是否逻辑等价推理理论定义形式结构12研究如何从已知前提推出结论前提1,前提2,...,前提n⊢结的理论论重要性3是计算机科学中程序验证、人工智能等领域的重要基础推理的定义前提结论已知为真的命题，作为推理的出通过推理规则从前提导出的命题发点推理规则用于从前提导出结论的规则，保证推理的有效性推理的形式结构前提推出符号结论明确指出推理所依赖的用符号“⊢”表示前提与根据前提和推理规则，已知事实或假设条件结论之间的逻辑推导关最终导出的逻辑结果或系断言有效推理与无效推理有效推理1如果前提为真，则结论必然为真，这种推理称为有效推理无效推理2即使前提为真，结论也可能为假，这种推理称为无效推理关键3有效性关注的是推理的形式结构，而不是前提和结论的实际真假推理规则假言推理示例2如果今天是星期一，那么我要上班今天是星期一因此，我要上班规则1p→q,p⊢q，如果p蕴含q，且p为真，则q为真应用3在程序设计和逻辑推理中广泛应用推理规则拒取式规则1p→q,¬q⊢¬p，如果p蕴含q，且q为假，则p为假示例2如果今天是星期一，那么我要上班我今天没有上班因此，今天不是星期一应用3在反证法和错误检测中广泛应用推理规则假言三段论规则1p→q,q→r⊢p→r，如果p蕴含q，且q蕴含r，则p蕴含r示例2如果天下雨，那么地湿如果地湿，那么我滑倒因此，如果天下雨，那么我滑倒应用3在复杂逻辑推理和传递性关系证明中广泛应用推理规则析取三段论规则示例p∨q,¬p⊢q，如果p或q为真，且p为假，则q为真今天我要么去上班，要么去逛街我今天没有去上班因此，我今天去逛街了推理规则附加律规则示例12p⊢p∨q，如果p为真，则p今天是星期一因此，今天是或q为真星期一或者我要去火星应用3在构建更复杂的逻辑表达式时可以使用推理规则化简律规则示例p∧q⊢p，如果p和q都为真，则今天是星期一并且我要上班因p为真此，今天是星期一应用在简化逻辑表达式和提取有用信息时可以使用推理规则合取律规则示例应用p,q⊢p∧q，如果p为今天是星期一我要上在将多个独立的事实组真，且q为真，则p和q班因此，今天是星期合成一个复合命题时可都为真一并且我要上班以使用证明直接证明步骤1从前提出发，利用已知的公理、定义和推理规则，逐步推导出结论示例2如果p→q和p为真，则q为真，这是一个直接证明的例子适用范围3适用于结论容易从前提直接推导的情况证明间接证明反证法矛盾2推导出的矛盾可以是与前提矛盾，也可以是与已知的事实矛盾步骤1假设结论不成立，然后从这个假设出发，利用已知的公理、定义和推理规则，推导出矛盾结论由于假设导致矛盾，因此原结论必然成3立谓词逻辑扩展1命题逻辑的扩展，可以处理个体、属性和关系谓词2描述个体属性或个体之间关系的命题函数量词3用于限定个体域中个体的数量，包括全称量词和存在量词谓词与量词谓词1表示个体或个体间关系的陈述，其真值依赖于个体变量的取值全称量词2表示个体域中所有个体都满足某个谓词存在量词3表示个体域中存在至少一个个体满足某个谓词谓词的定义定义示例一个带有变量的陈述句，当变量取特定值时，可以确定真假Px:x是偶数，当x=2时，Px为真，当x=3时，Px为假个体域的定义定义示例12谓词变量所能取值的集合，也整数集合、实数集合、所有人称为论域的集合等重要性3个体域的选取直接影响谓词公式的真值全称量词符号含义∀，表示“对于所有”∀xPx表示对于个体域中的所有x，Px都为真示例∀xx是人→x会死，表示所有的人都会死存在量词符号含义示例∃，表示“存在”∃xPx表示个体域中存∃xx是人∧x活了超过在至少一个x，使得Px200岁，表示存在活了为真超过200岁的人谓词公式与解释谓词公式1由谓词、量词、逻辑连接词和个体变量组成的表达式解释2对谓词公式中个体域、谓词和常元的具体指定，用于确定谓词公式的真值真值3谓词公式在特定解释下的真假状态谓词公式的定义量词2用于限定变量范围的全称和存在量词，精确表达数量关系谓词1描述个体属性或关系的原子公式是构建复杂公式的基础逻辑连接词连接谓词和量词，构建复杂逻辑结构的3纽带谓词公式的真值依赖解释1谓词公式的真值必须在特定的解释下才能确定量词影响2量词的取值范围和谓词的真假直接影响整个公式的真值谓词公式的等价定义1如果两个谓词公式在任何解释下都具有相同的真值，则称它们等价重要性2等价关系可以用于化简和转换谓词公式证明3可以通过逻辑推理或真值表法证明谓词公式的等价性常见的谓词公式等价式量词否定等价量词分配等价¬∀xPx≡∃x¬Px，¬∃xPx≡∀x¬Px∀xPx∧Qx≡∀xPx∧∀xQx，∃xPx∨Qx≡∃xPx∨∃xQx谓词逻辑的推理规则量词规则12谓词逻辑的推理规则是在命题包括全称量词引入和消去规则逻辑推理规则的基础上扩展的、存在量词引入和消去规则目标3从已知前提推出结论，验证谓词公式的有效性谓词逻辑的推理规则全称特指规则从∀xPx可以推出Pa，其中a是个体域中的任意个体存在例证规则从∃xPx可以推出Pc，其中c是个体域中使得Pc为真的某个特定个体全称量词的引入和消去规则全称特指全称概括从普遍真理到个例的具体应用，缩小从个例推导出普遍真理，提升结论的讨论范围普适性存在量词的引入和消去规则存在例证1找到一个个体满足条件即可，无需遍历整个个体域存在概括2从特定个体的性质推断出存在某个个体具有该性质，扩展已知信息应用实例使用逻辑解决问题问题描述逻辑推理结果解释将自然语言描述的问题形式化为逻辑表利用推理规则从前提推出结论将逻辑推理的结果解释为自然语言，得达式出实际问题的解决方案。