《两向量的向量积》课件

两向量的向量积本节课将深入讲解两向量的向量积，包括其定义、几何意义、计算方法以及在物理和工程中的应用我们将通过图解、实例和练习来帮助您更好地理解和掌握向量积的概念和应用本节课程目标定义1理解向量积的定义及其与数量积的区别几何意义2掌握向量积的几何意义，特别是方向的判定计算方法3熟练掌握向量积的坐标计算方法，包括行列式计算法应用4了解向量积在物理和工程中的应用，例如计算力矩、角动量等向量积的定义定义公式设a和b是两个非零向量，则a与b的向量积是一个向量，|a×b|=|a||b|sinθ记作a×b，其大小等于a和b的模长与它们夹角的正弦的乘积，方向垂直于a和b所决定的平面，且符合右手定则向量积的几何意义方向大小向量积a×b的方向垂直于a和b所决定的平面，符合右手向量积a×b的大小等于以a和b为邻边的平行四边形的面定则积向量积的方向判定右手定则——步骤方向

1.将右手四指从a向量方向转向b向量方向

2.拇指所指方向即为a×b的方向右手定则演示图解演示结论图中a和b为两个非零向量，根据右手定则，a×b的方向向量积的方向符合右手定则，可以方便地判定向量积的方向垂直于a和b所决定的平面，且指向纸外向量积的大小计算公式公式解释|a×b|=|a||b|sinθ其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ是向量a和b之间的夹角向量积大小与夹角的关系关系示例向量积的大小与向量a和b之间的夹角θ有关，当θ为0如果两个向量平行，则它们的向量积为零向量；如果两个向度或180度时，向量积为零向量；当θ为90度时，向量积量垂直，则它们的向量积的大小等于两个向量模长的乘积的大小最大，等于|a||b|向量积的物理应用实例应用示例向量积在物理学中有着广泛的应用，例如计算力矩、角动量力矩的大小等于力的大小与力臂的乘积，力臂是力作用点到、磁场中的洛伦兹力等转轴的距离，力矩的方向由右手定则决定力矩的计算定义公式力矩是力使物体绕轴转动的趋势，力矩的大小等于力的大小M=r×F与力臂的乘积，力矩的方向由右手定则决定向量积在力矩中的应用示例示例计算一个力F作用在一个物体上，力作用点到转轴的距离为r，力矩的大小为|M|=|r||F|sinθ，方向由右手定则决定则力矩M=r×F向量积的坐标表示坐标表示公式设a=a1,a2,a3和b=b1,b2,b3是两个向量，则它们a×b=a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1的向量积可以表示为、、的向量积关系i jk关系公式i、j、k为三个相互垂直的单位向量，它们之间的向量积关系i×j=k,j×k=i,k×i=j如下基本向量积公式总结公式结论|a×b|=|a||b|sinθi×j=k,j×k=i,k×i=j向量积的坐标计算方法方法公式使用行列式计算向量积，行列式中第一行是单位向量i、j、k a×b=|i jk||a1a2a3||b1b2b3|，第二行是向量a的坐标，第三行是向量b的坐标行列式计算法则法则公式计算三阶行列式，可以使用以下公式|a bc||d ef||g hi|=aei-fh-bdi-fg+cdh-eg行列式计算示例1示例计算计算向量a=1,2,3和b=4,5,6的向量积a×b=|i jk||123||456|=2×6-3×5i-1×6-3×4j+1×5-2×4k=-3i+6j-3k行列式计算示例2示例计算计算向量a=2,-1,0和b=0,1,3的向量积a×b=|i jk||2-10||013|=-1×3-0×1i-2×3-0×0j+2×1--1×0k=-3i-6j+2k向量积的运算性质性质应用向量积的运算性质包括分配律、结合律、与数乘的关系等这些性质可以简化向量积的计算，并帮助我们更好地理解向量积的运算规律向量积不满足交换律性质原因向量积不满足交换律，即a×b≠b×a因为向量积的方向是由右手定则决定的，交换a和b的顺序会导致方向相反分配律示例分配律示例a×b+c=a×b+a×c设a=1,2,3,b=4,5,6,c=7,8,9，则结合律示例结合律示例a×b×c≠a×b×c设a=1,2,3,b=4,5,6,c=7,8,9，则向量积与数乘的关系关系应用ka×b=ka×b=a×kb这个性质可以简化向量积的计算，例如将一个向量乘以一个常数后，再计算向量积平行向量的向量积为零结论原因如果两个向量平行，则它们的向量积为零向量因为平行向量的夹角为0度，sin0度等于0，所以向量积的大小为0，即为零向量向量积为零的几何意义意义应用如果两个向量的向量积为零向量，则这两个向量要么平行，这个性质可以用来判定两个向量是否平行要么其中一个向量为零向量判定两向量平行的方法方法方法

1.向量积为零向量

2.两个向量的方向向量成比例向量积在几何中的应用应用示例向量积可以用于计算几何图形的面积、判定三点共线等可以使用向量积计算三角形、平行四边形的面积，判定三点是否共线计算三角形面积公式解释三角形ABC的面积S=1/2|AB×AC|其中AB和AC分别表示三角形两边的向量，|AB×AC|表示向量AB和AC的向量积的大小，即以AB和AC为邻边的平行四边形的面积三角形面积计算示例1示例计算已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A1,2,3,B4,5,AB=3,3,3,AC=6,6,6,|AB×AC|=|0,0,0|=0，所6,C7,8,9，计算三角形ABC的面积以三角形ABC的面积为0，即三点共线三角形面积计算示例2示例计算已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A1,2,3,B4,5,AB=3,3,3,AC=6,6,-2,|AB×AC|=|-18,24,0|=6,C7,8,1，计算三角形ABC的面积6√21，所以三角形ABC的面积为3√21计算平行四边形面积公式解释平行四边形ABCD的面积S=|AB×AD|其中AB和AD分别表示平行四边形两边的向量，|AB×AD|表示向量AB和AD的向量积的大小，即以AB和AD为邻边的平行四边形的面积平行四边形面积计算示例示例计算已知平行四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A1,2,3,AB=3,3,3,AD=9,9,9,|AB×AD|=|0,0,0|=0，所B4,5,6,C7,8,9,D10,11,12，计算平行四边形ABCD以平行四边形ABCD的面积为0，即四点共线的面积判定三点共线方法公式如果三点A、B、C共线，则向量AB和AC平行，即它们的AB×AC=0向量积为零向量三点共线判定示例示例计算已知三点A1,2,3,B4,5,6,C7,8,9，判定三点是否共AB=3,3,3,AC=6,6,6,AB×AC=0,0,0，所以三点线A、B、C共线向量积在物理中的应用应用示例向量积在物理学中有着广泛的应用，例如计算磁场中的洛伦洛伦兹力的大小等于带电粒子所带电荷量、速度的大小和磁兹力、角动量、力矩等场强度的乘积，方向由左手定则决定磁场中的洛伦兹力定义公式洛伦兹力是磁场对运动电荷的作用力，大小等于带电粒子所F=q v×B带电荷量、速度的大小和磁场强度的乘积，方向由左手定则决定洛伦兹力计算示例示例计算一个带电粒子，电荷量为q，速度为v，进入一个磁场，磁洛伦兹力F=q v×B，大小为|F|=|q||v||B|sinθ，方向由场强度为B，计算洛伦兹力左手定则决定角动量的计算定义公式角动量是物体绕某一点或轴线转动时的惯性，角动量的大小L=r×p=r×mv等于质量、速度的大小和到转轴的距离的乘积，方向由右手定则决定角动量计算示例示例计算一个质量为m的物体，速度为v，绕一个点转动，到转轴的角动量L=r×mv，大小为|L|=|r||m||v|sinθ，方向由右距离为r，计算角动量手定则决定机械力矩计算定义公式机械力矩是力使物体绕轴转动的趋势，力矩的大小等于力的M=r×F大小与力臂的乘积，力矩的方向由右手定则决定力矩计算示例示例计算一个力F作用在一个物体上，力作用点到转轴的距离为r，力矩的大小为|M|=|r||F|sinθ，方向由右手定则决定则力矩M=r×F向量积在工程中的应用应用示例向量积在工程领域中也有着广泛的应用，例如机械臂转动分可以使用向量积计算机械臂的转动速度和方向，并判断机械析、机械运动方向判定等运动的方向机械臂转动分析分析应用可以使用向量积分析机械臂的转动速度和方向，例如计算机可以利用向量积分析机械臂的运动轨迹，并优化机械臂的设械臂末端的速度和加速度计机械运动方向判定判定应用可以使用向量积判定机械运动的方向，例如计算机械臂的转可以利用向量积分析机械臂的运动轨迹，并优化机械臂的设动方向计典型例题分析1例题解析已知向量a=1,2,3,b=4,5,6，求a×b和|a×b|a×b=|i jk||123||456|=2×6-3×5i-1×6-3×4j+1×5-2×4k=-3i+6j-3k|a×b|=√-3²+6²+-3²=3√6典型例题分析2例题解析已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A1,2,3,B4,5,AB=3,3,3,AC=6,6,-2,|AB×AC|=|-18,24,0|=6,C7,8,1，求三角形ABC的面积6√21，所以三角形ABC的面积为3√21典型例题分析3例题解析已知一个力F=3,4,5作用在一个物体上，力作用点到转M=r×F=|i jk||123||345|=2×5-3×4i-1×5-轴的距离为r=1,2,3，求力矩M3×3j+1×4-2×3k=-2i+4j-2k常见错误分析错误错误12向量积不满足交换律，但有些学生会错误地认为a×b=b×向量积的方向由右手定则决定，有些学生会错误地使用左手a定则易错点总结易错点易错点12混淆向量积和数量积的定义和计算方法错误地使用右手定则判定向量积的方向解题技巧总结技巧技巧12熟练掌握向量积的坐标计算方法，特别是行列式计算法善于利用向量积的运算性质，简化计算，提高解题效率重点公式回顾公式公式12|a×b|=|a||b|sinθa×b=|i jk||a1a2a3||b1b2b3|向量积的核心概念概念概念12向量积是一个向量，其方向垂直于两个向量所决定的平面向量积的大小等于以这两个向量为邻边的平行四边形的面积计算方法归纳方法方法12使用坐标计算方法，将向量表示成坐标形式，然后利用行列使用几何方法，利用向量积的几何意义和右手定则，直接求式计算向量积出向量积的大小和方向应用场景总结场景场景12计算力矩、角动量、磁场中的洛伦兹力等物理量计算几何图形的面积、判定三点共线等几何问题课堂练习1练习题答案已知向量a=1,2,3,b=4,5,6，求a×b和|a×b|a×b=-3i+6j-3k,|a×b|=3√6课堂练习2练习题答案已知三点A1,2,3,B4,5,6,C7,8,9，判定三点是否共三点A、B、C共线线课堂练习3练习题答案已知一个力F=3,4,5作用在一个物体上，力作用点到转M=-2i+4j-2k轴的距离为r=1,2,3，求力矩M课堂练习4练习题答案已知一个带电粒子，电荷量为q，速度为v，进入一个磁场F=q v×B，大小为|F|=|q||v||B|sinθ，方向由左手定则，磁场强度为B，求洛伦兹力F决定作业布置作业作业12计算向量a=2,-1,0和b=0,1,3的向量积已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A1,2,3,B4,5,6,C7,8,1，计算三角形ABC的面积知识点总结总结重点本节课我们学习了向量积的概念、几何意义、计算方法以及向量积的定义、几何意义、右手定则、坐标计算方法、应用应用向量积是一个重要的数学工具，在物理和工程领域有场景、常见错误着广泛的应用希望通过本节课的学习，您能够更好地理解和掌握向量积的概念和应用。