《圆形的外切圆》课件

圆形的外切圆本课件将深入探讨高中数学中的重要概念圆形的外切圆，并引导大家掌握——相关性质、定理和解题技巧，助力大家在几何学学习中取得更大的进步课程目标理解外切圆掌握性质解决问题深入理解外切圆的基本概念，包括其定掌握外切圆的各种重要性质，例如切点学习解决与外切圆相关的各种几何问题义、与内切圆的区别以及在实际生活中性质、切点弦定理、切线长定理等，并，例如外切圆的构造、计算、证明等，的应用场景学会将其应用于解决相关问题并培养独立思考和解决问题的能力知识回顾圆的基本概念1圆心圆的中心点，记作2半径圆心到圆周上任意一点的距离，记作O r3直径经过圆心并连接圆周上两点的线段，记作，4圆周率圆的周长与其直径之比，是一个无限不循环小数d d=2r，约等于

3.14159，记作π5圆的周长圆周的长度，C=2πr=πd6圆的面积圆形所占的平面图形的面积，S=πr²外切圆的定义什么是外切圆与内切圆的区别实际应用举例外切圆是指与一个多边形的所有边都相内切圆是指与一个多边形的所有边都相例如，一个圆形的游泳池，其边缘可以切的圆，它位于多边形的外侧，并且每切的圆，它位于多边形内部，并且每个看做一个多边形，而游泳池的水面可以个切点都在该多边形的一条边上切点都在该多边形的一条边上看做一个外切圆，它与游泳池的边缘相切外切圆的基本特征切点的性质半径与切线的关系切点弦的性质外切圆的切点是圆周上一点，它与多外切圆的半径与切线垂直，且半径的过切点作圆的弦，则该弦与切线的夹边形的边相切，且切点所在的直线与延长线经过切点角等于该弦所对的圆周角的一半圆的半径垂直外切圆判定定理判定条件充分必要条件常见误区如果一个圆与一个多边一个圆是多边形外切圆不要误认为只要一个圆形的所有边都相切，则的充分必要条件是该与多边形的一条边相切该圆是该多边形的外切圆与多边形的所有边都，就一定是该多边形的圆相切外切圆切点性质详解

（一）切点与圆心的连线1过外切圆的切点作圆的半径，该半径与切线垂直，并且该半径的延长线经过圆心切线与半径的垂直关系2外切圆的切线与圆的半径垂直，且切点是切线和半径的交点实例演示3如图所示，圆与直线相切于点，则是圆的半径，且O lA OAO⊥OA l切点性质详解

（二）切点弦定理过圆外一点作圆的两条切线，则这两条切线长相等，并且连接该点与切点的两条线段与圆心所成的角相等切线长定理过圆外一点作圆的两条切线，则这两条切线长相等，并且连接该点与切点的两条线段与圆心所成的角相等应用场景切点弦定理和切线长定理在解决外切圆的证明题和计算题中有着广泛的应用外切圆的构造方法三点确定一圆过不在同一直线上的三点可以作一个圆，这个圆就是这三点的外接圆作图步骤连接任意两点，作线段的垂直平分线连接另一点与这两点的

1.

2.中点，作线段的垂直平分线两条垂直平分线的交点就是圆心，

3.连接圆心和任意一点，得到半径，即可画出圆常见错误分析如果三点在同一直线上，则无法作圆；如果作图步骤中垂直平分线作错，则画出的圆不正确实例解析三角形的外接圆外接圆半径计算2三角形外接圆的半径可以通过三角形的边长和面积计算得出外接圆的性质1三角形的外接圆是指经过三角形三个顶点的圆三角形中的应用外接圆在解决三角形有关角度、边长、3面积等问题中有着重要的应用价值外切圆与三角形

（一）外心的概念三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，它到三角形三个顶点的距离相1等外心的性质2外心是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等，即外心是三角形外接圆的圆心定位方法3可以通过作三角形三条边的垂直平分线来确定外心，三条垂直平分线的交点就是外心外切圆与三角形

（二）外接圆半径公式1三角形外接圆的半径可以通过以下公式计算，其中、、是三角形的边长，是三角形的面R R=abc/4S a b cS积R=abc/4S的推导2该公式可以利用三角形的面积公式和正弦定理推导得到计算实例3例如，已知三角形的边长分别为、、，则其外接圆的ABC345半径为R=3*4*5/4*6=5/2外切圆与四边形可外接四边形能够作外切圆的四边形，也称为圆内接四边形判定方法一个四边形是可外接四边形的充分必要条件是两组对边之和相等，即AB+CD=AD+BC常见题型证明四边形是否为可外接四边形、计算可外接四边形的边长、面积等圆与圆的位置关系1相切两圆只有一个公共点2相交两圆有两个公共点3内切一个圆在另一个圆内部，且只有一个公共点4外切一个圆在另一个圆外部，且只有一个公共点两圆外切的条件外切圆的计算

（一）基本公式计算技巧例题分析外切圆的半径可以通过多边形的边长、面利用外切圆的性质，可以将复杂问题转化通过例题讲解，帮助学生更好地理解外切积和周长等信息计算得到为简单的几何问题，从而简化计算过程圆的计算方法和应用外切圆的计算

（二）学习外切圆的计算，需要掌握一些基本的公式和技巧，并通过练习题来巩固理解外切圆的面积问题面积计算方法常用公式典型例题外切圆的面积可以通过圆的面积公式外切圆的面积还可以通过多边形的面积通过典型例题讲解，帮助学生理解外切S=πr²计算，其中r是外切圆的半径和周长等信息计算得到，例如，三角形圆面积问题的计算方法和应用的外切圆的面积，其S=πab+ac+bc/4中、、是三角形的边长abc外切圆的周长问题1外切圆的周长可以通过圆的周2外切圆的周长还可以通过多边长公式C=2πr计算，其中r是形的周长和面积等信息计算得外切圆的半径到，例如，正方形的外切圆的周长，其中是正方形C=2πa a的边长3外切圆的周长问题通常需要结合外切圆的性质和几何图形的性质来解决切线长定理应用定理内容1过圆外一点作圆的两条切线，则这两条切线长相等，并且连接该点与切点的两条线段与圆心所成的角相等证明过程2利用勾股定理和全等三角形证明应用实例3例如，可以通过切线长定理求解外切圆的半径、切线长等外切圆与相似三角形相似比例关系外切圆与多边形形成的相似三角形，其对应边成比例面积比相似三角形的面积比等于对应边长的平方比解题方法通过相似三角形的关系，可以求解外切圆的半径、切线长、面积等外切圆与全等三角形全等条件性质应用典型题目如果两个三角形满足边边边、边角边利用全等三角形的性质，可以解决外例如，证明外切圆的半径、切线长、、角边角、角角边、斜边直角边等条切圆的证明题和计算题面积等相等件，则这两个三角形全等外切圆与直角三角形特殊性质计算方法实例分析直角三角形的斜边是外可以通过勾股定理、三通过例题讲解，帮助学接圆的直径，直角三角角函数等方法计算直角生理解直角三角形与外形的外心在斜边上的中三角形的外接圆半径切圆的关系以及相关计点算外切圆与等腰三角形特殊性质等腰三角形的外心在底边的垂直平分线上，并且外心到两腰的距离相等对称特点等腰三角形的外接圆关于底边的垂直平分线对称解题技巧利用等腰三角形的性质和外切圆的性质，可以简化解题过程外切圆与正多边形计算方法2正多边形外接圆的半径可以通过正多边形的边长和中心角计算得到正多边形的外接圆1正多边形的外接圆是指经过正多边形所有顶点的圆应用实例例如，可以通过正多边形外接圆的性质3计算正多边形的面积、周长等圆的方程与外切圆圆的一般方程1圆的一般方程为，其中是圆心坐标，是圆的半径x-a²+y-b²=r²a,b r参数方程2圆的参数方程为，，其中是圆心坐标，是圆的x=a+rcosθy=b+rsinθa,b r半径，是参数θ解析几何应用3利用圆的方程可以解决外切圆的各种问题，例如求解外切圆的圆心坐标、半径、切线方程等外切圆的证明题

（一）证明思路1证明外切圆问题，通常需要利用外切圆的性质、切点性质、切点弦定理等常用方法2常见证明方法包括几何法、代数法、向量法等典型例题3通过典型例题讲解，帮助学生理解外切圆的证明方法和技巧外切圆的证明题

（二）高级证明方法逆向思维综合应用除了基本证明方法外，还可以使用一些有时可以从结论出发，逆向推导，最终很多证明题需要将多种方法结合起来，高级证明方法，例如反证法、坐标法得到证明结论所需的条件才能顺利解决等外切圆的计算题

（一）基础计算解题步骤示例讲解通过一些基础计算题，帮助学生掌握外切讲解解题步骤，引导学生逐步思考和解决通过示例讲解，帮助学生理解外切圆的计圆的基本计算方法问题算过程和方法外切圆的计算题

（二）外切圆的计算题可以从简单到复杂，需要学生掌握相应的知识和技巧才能顺利解决外切圆与坐标系坐标系中的表示1在外切圆的问题中，可以将圆形和多边形分别用坐标系表示，方便进行分析和计算方程推导2根据外切圆的性质，可以推导出外切圆的方程实际应用3利用坐标系可以解决外切圆的各种问题，例如求解外切圆的圆心坐标、半径、切线方程等外切圆的向量方法向量表示可以使用向量表示外切圆的圆心、半径、切线等，方便进行分析和计算计算技巧利用向量的方法，可以简化外切圆的计算过程，例如利用向量点积求解切线长、利用向量叉积求解面积等例题分析通过例题讲解，帮助学生理解外切圆的向量方法及其应用三角函数在外切圆中的应用角度关系三角函数计算外切圆中涉及的各种角度关系，利用三角函数的性质和公式，可可以用三角函数来表示和计算以解决外切圆中与角度有关的计算问题实例讲解通过例题讲解，帮助学生理解三角函数在外切圆中的应用方法和技巧外切圆的几何变换平移变换旋转变换应用实例将外切圆平移后，其外将外切圆旋转后，其外通过例题讲解，帮助学切关系仍然保持不变切关系仍然保持不变生理解外切圆的几何变换及其应用外切圆的轨迹问题点的轨迹外切圆中，某些点的运动轨迹可能是一个圆、直线或者其他曲线圆心轨迹外切圆的圆心轨迹也可能是一个圆、直线或者其他曲线解题方法利用几何知识、坐标系、向量等方法，可以求解外切圆中点的轨迹和圆心轨迹外切圆的最值问题最小值问题2求解外切圆中某个量（如半径、面积、周长等）的最小值最大值问题1求解外切圆中某个量（如半径、面积、周长等）的最大值优化方法利用几何知识、函数知识、不等式等方3法，可以求解外切圆中的最值问题外切圆的存在性问题存在条件1并不是所有多边形都存在外切圆，需要满足一定的条件判断方法2可以使用外切圆的判定定理或其他几何方法判断外切圆是否存在反例分析3通过一些反例分析，帮助学生理解外切圆存在性的判断方法外切圆的唯一性问题唯一性证明1有些情况下，外切圆是唯一的，需要进行证明特殊情况2在一些特殊情况下，外切圆可能不唯一，需要进行分析应用实例3通过例题讲解，帮助学生理解外切圆唯一性的证明方法和技巧外切圆的交点问题两圆交点多圆交点计算方法求解两个圆的交点坐标求解多个圆的交点坐标利用圆的方程、坐标系、向量等方法，可以求解外切圆的交点问题外切圆的切线问题切线方程切点坐标解题技巧求解外切圆的切线方程求解外切圆的切点坐标讲解外切圆切线问题的解题技巧，例如利用点到直线的距离公式求解切线方程，利用切点性质求解切点坐标等外切圆的弦长问题外切圆的弦长问题需要结合外切圆的性质、圆的性质以及几何图形的性质来解决外切圆的动点问题动点轨迹1外切圆中，某个点在运动，求解该点的轨迹方程参数方程2利用参数方程可以方便地表示动点的轨迹解题思路3通过建立坐标系，利用几何关系和函数知识，可以求解动点的轨迹方程外切圆的综合应用

（一）基础题型讲解一些基础的外切圆综合应用题型，例如求解外切圆的半径、面积、周长等解题方法讲解外切圆综合应用题型的解题方法，例如利用外切圆的性质、切点性质、切点弦定理等典型例题通过典型例题讲解，帮助学生理解外切圆综合应用题型的解题过程和技巧外切圆的综合应用

（二）中等难度题型解题策略讲解一些中等难度的外切圆综合讲解外切圆综合应用题型的解题应用题型，例如证明外切圆的策略，例如利用几何图形的性性质、计算外切圆的面积等质、相似三角形、全等三角形等详细解析通过详细解析，帮助学生理解外切圆综合应用题型的解题过程和技巧外切圆的综合应用

（三）难度题型解题思路重点讲解讲解一些难度较大的外切圆综合应用题型讲解外切圆综合应用题型的解题思路，引针对难度较大的问题，进行重点讲解，帮，例如求解外切圆的动点轨迹、最值问导学生思考和解决问题助学生理解解题过程和技巧题等外切圆在竞赛中的应用竞赛题型特点讲解外切圆在竞赛中的应用特点，例如难度更高、综合性更强、需要运用更灵活的解题方法等解题技巧讲解外切圆竞赛题型的解题技巧，例如利用特殊性质、坐标法、向量法等经典例题通过经典例题讲解，帮助学生理解外切圆在竞赛中的应用和解题技巧历年高考真题分析

（一）解题思路2讲解高考真题的解题思路，引导学生掌握高考解题方法和技巧2020-2023年真题1分析近年来高考真题，帮助学生了解高考命题趋势和考查重点得分技巧讲解高考答题技巧，帮助学生提高答题3效率和得分率历年高考真题分析

（二）2016-2019年真题1分析往年高考真题，帮助学生了解高考命题趋势和考查重点题型变化2分析近年高考真题中外切圆题型的变化趋势，帮助学生掌握高考考查方向解题方法3讲解不同题型的外切圆解题方法，帮助学生掌握灵活的解题技巧常见错误分析概念误区1讲解外切圆概念的常见误区，帮助学生纠正错误理解计算错误2分析外切圆计算中的常见错误，例如公式使用错误、计算过程错误等解题陷阱3讲解外切圆解题中的常见陷阱，帮助学生避免错误解题解题方法总结基本思路关键步骤注意事项总结外切圆解题的基本思路，例如利总结外切圆解题的关键步骤，例如分讲解外切圆解题中需要注意的事项，例用外切圆的性质、切点性质、切点弦定析题意、画图、建立方程、求解等如单位换算、精度要求、特殊情况等理等练习题集

（一）基础练习详细解析答题要点提供一些基础的外切圆练习题，帮助学生提供练习题的详细解析，帮助学生理解解讲解练习题的答题要点，帮助学生提高答巩固基本知识和技巧题过程和方法题效率和得分率练习题集

（二）通过练习题集，可以帮助学生巩固所学知识，提高解题能力和思维能力练习题集

（三）挑战题1提供一些难度较大的外切圆挑战题，帮助学生提高思维能力和解题能力详细解答2提供挑战题的详细解答，帮助学生理解解题过程和方法技巧点拨3针对挑战题，进行技巧点拨，帮助学生突破思维障碍，提高解题效率知识点回顾

（一）基本概念回顾外切圆的基本概念，例如定义、性质、定理等重要性质回顾外切圆的重要性质，例如切点性质、切点弦定理、切线长定理等核心定理回顾外切圆的核心定理，例如外切圆判定定理、外接圆半径公式等知识点回顾

（二）计算方法解题技巧回顾外切圆的计算方法，例如回顾外切圆的解题技巧，例如半径计算、面积计算、周长计算利用外切圆的性质、几何图形的等性质、三角函数等应用要点回顾外切圆的应用要点，例如在三角形、四边形、正多边形等中的应用考试答题技巧时间分配解题策略得分方法讲解考试答题的时间分讲解考试答题的解题策讲解考试答题的得分方配，例如合理安排答略，例如先易后难、法，例如注意答题格题时间，避免时间不够灵活运用解题方法等式、书写规范、步骤完用整等重点难点总结关键概念总结外切圆的关键概念，例如外切圆的定义、性质、定理等难点解析解析外切圆的难点，例如外切圆的构造、证明、计算等应对策略讲解应对外切圆难点的策略，例如多练习、多思考、多总结等学习方法建议练习方法建议学生如何练习外切圆的题目，例如2循序渐进、由易到难、多做综合题等复习建议1建议学生如何复习外切圆的知识，例如定期回顾、总结笔记、做练习题等提高策略建议学生如何提高外切圆的学习效果，3例如多思考、多提问、多总结等拓展资源推荐参考书目1推荐一些关于外切圆的参考书目，帮助学生深入学习在线资源2推荐一些关于外切圆的在线资源，例如网站、视频、博客等学习工具3推荐一些关于外切圆的学习工具，例如软件、等APP课程总结知识框架回顾1回顾本课件的知识框架，帮助学生整体掌握外切圆的相关知识重点内容提示2再次强调本课件的重点内容，帮助学生加深印象后续学习建议3提出后续学习建议，例如继续学习相关知识、参加竞赛、进行拓展学习等。