《多变量函数导论》课件

多变量函数导论课程概述与学习目标本课程将深入探讨多变量函数的概念、性质和应用，为学生提供学习目标包括掌握多变量函数的基本定义、理解多变量函数的对多变量函数的全面理解极限和连续性、掌握偏导数、全微分和方向导数的计算方法、了解多元函数的泰勒展开和极值问题、掌握二重积分和三重积分的概念和计算方法，并能够将多元积分应用于实际问题中多变量函数的基本概念定义类型表示方法多变量函数是指由多个自变量决定的多变量函数可以分为许多类型，包括多变量函数可以用数学表达式、图形函数例如，一个二元函数由两个自二元函数、三元函数、多元函数等等、表格等多种方式来表示这些表示变量决定，一个三元函数由三个自变每个类型都具有其独特的性质和应方法有助于我们理解和分析多变量函量决定用数多变量函数的定义域与值域定义域值域定义域是指多变量函数中自变量可以取值的范围例如，二元函值域是指多变量函数中因变量可以取值的范围例如，二元函数数fx,y=x^2+y^2的定义域是所有实数对x,y fx,y=x^2+y^2的值域是所有非负实数二元函数的几何表示图形1二元函数的图形是一个三维空间中的曲面例如，二元函数fx,y=x^2+y^2的图形是一个抛物面等高线2等高线是指二元函数图形上所有函数值相等的点所组成的曲线等高线图可以用来直观地展示二元函数的性质多变量函数的极限定义定义多变量函数的极限是指当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于一个确定的数1值符号表示2多变量函数的极限用符号limx,y-a,b fx,y=L表示多变量函数极限的性质极限的加减法性质极限的乘法性质极限的除法性质limx,y-a,b limx,y-a,b limx,y-a,b[fx,y+gx,y]=[fx,y*gx,y]=[fx,y/gx,y]=limx,y-a,b limx,y-a,b limx,y-a,bfx,y+limx,y-fx,y*limx,y-fx,y/limx,y-a,b gx,y a,b gx,y a,b gx,y当limx,y-a,bgx,y≠0时多变量函数极限存在的判断方法ε-δ语言对于任意ε0，存在δ0，使得当0||x,y-a,b||δ时，|fx,y-L|ε夹逼定理如果存在两个函数gx,y和hx,y，满足gx,y≤fx,y≤hx,y，且limx,y-a,b gx,y=limx,y-a,b hx,y=L，则limx,y-a,b fx,y=L方向极限如果多变量函数在不同路径上趋近于同一个点时，极限值不同，则极限不存在二重极限与重极限的关系重极限2是指先对一个自变量求极限，然后再对另一个自变量求极限，得到的结果记作limx-二重极限a limy-b fx,y或limy-b limx-a fx,y是指当两个自变量分别趋近于各自的极限值1时，多变量函数的极限值记作limx,y-关系a,b fx,y在某些情况下，二重极限和重极限可能相等，但并非所有情况下都相等若二重极限存3在，则重极限也存在，且二者相等但若重极限存在，二重极限不一定存在经典例题多变量函数极限计算例题解题步骤计算limx,y-0,0x^2*y/x^4+y^

21.利用极坐标转化x=r*cosθ，y=r*sinθ

2.将极坐标代入函数表达式，得到limr-0r^3*cos^2θ*sinθ/r^4*cos^4θ+r^2*sin^2θ

3.化简后得到limr-0r*cos^2θ*sinθ/r^2*cos^4θ+sin^2θ

4.当r趋近于0时，分子趋近于0，而分母趋近于sin^2θ，因此极限值为0多变量函数的连续性定义定义1如果多变量函数fx,y在点a,b处连续，则满足以下条件

21.函数在该点处有定义，即fa,b存在

32.函数在该点处的极限存在，即limx,y-a,b fx,y存在

43.函数在该点处的极限值等于函数在该点处的函数值，即limx,y-a,b fx,y=fa,b连续函数的性质加减法性质两个连续函数的和差仍然是连续函数乘法性质两个连续函数的积仍然是连续函数除法性质两个连续函数的商仍然是连续函数，但除数不能为零复合函数性质如果gx,y在点a,b处连续，且fu,v在点ga,b处连续，则复合函数fgx,y在点a,b处连续偏导数的定义定义1偏导数是指多变量函数在某个自变量方向上的变化率例如，二元函数fx,y对x的偏导数是指当y固定时，fx,y对x的变化率符号表示2二元函数fx,y对x的偏导数记作∂f/∂x或f_xx,y计算方法3偏导数的计算方法类似于一元函数的导数计算将其他自变量视为常数，然后对目标自变量进行求导即可偏导数的几何意义1切线斜率二元函数的图形是一个三维空间中的曲面，在某一点处，其对x的偏导数表示该点处的切线在x方向上的斜率2变化率偏导数反映了函数在某个自变量方向上的变化率，即当该自变量发生微小变化时，函数值的变化量高阶偏导数全微分的概念定义表达式全微分是指多变量函数在某一点处，当自变量发生微小变化时，二元函数fx,y的全微分记作df=∂f/∂xdx+∂f/∂ydy函数值的变化量可微函数的性质偏导数存在连续性可微函数的偏导数一定存在可微函数的偏导数一定连续全微分存在可微函数的全微分一定存在多元复合函数求导法则链式法则1对于多元复合函数，其导数可以用链式法则求解链式法则是指，如果z=fu,v，且u=gx,y，v=hx,y，则∂z/∂x=∂f/∂u∂u/∂x+∂f/∂v∂v/∂x隐函数求导法则隐函数隐函数是指用方程的形式定义的函数例如，方程x^2+y^2=1定义了一个隐函数，它表示一个圆求导步骤

1.对隐函数方程两边同时求导

2.利用链式法则求导，例如，对y^2求导得到2ydy/dx

3.解出dy/dx的表达式一阶隐函数的应用1求切线方程可以通过一阶隐函数求导，得到隐函数在某一点处的切线斜率，从而求出该点处的切线方程2求法线方程可以通过一阶隐函数求导，得到隐函数在某一点处的法线斜率，从而求出该点处的法线方程二阶隐函数的应用曲率计算凹凸性判断可以通过二阶隐函数求导，得到隐函数在某一点处的曲率，从而可以通过二阶隐函数求导，得到隐函数在某一点处的凹凸性，从了解曲线在该点处的弯曲程度而判断曲线在该点处的形状方向导数的定义符号表示2二元函数fx,y在点a,b处沿方向v=v1,v2的方向导数记作D_vfa,b定义1方向导数是指多变量函数在某一点处，沿某个特定方向上的变化率计算公式D_vfa,b=∂f/∂xa,b*v1+3∂f/∂ya,b*v2方向导数的几何意义几何解释物理解释方向导数表示的是函数在某一点处，沿某个方向上的切线斜率方向导数可以用来描述物理量在某个方向上的变化率，例如，温度场中温度在某个方向上的变化率梯度的概念定义符号表示性质梯度是指多变量函数在某一点处，方二元函数fx,y的梯度记作∇f=梯度方向是函数值增加最快的方向，向导数取得最大值的方向∂f/∂x,∂f/∂y梯度大小表示函数值在该方向上的变化率梯度的几何意义法线方向1梯度方向与函数图形在该点处的法线方向一致等高线方向2梯度方向与该点处的等高线垂直梯度与方向导数的关系关系方向导数等于梯度与方向向量点积的乘积公式D_vfa,b=∇fa,b·v多元函数微分学的典型应用优化问题寻找函数的近似计算用多元函数物理学例如，在电磁极值点，用于解决资源的泰勒展开式来近似计场理论中，电势、磁场分配、生产成本控制等算函数值，用于解决复等物理量的变化率可以问题杂函数的数值计算问题用方向导数来描述工程学例如，在机械设计中，需要考虑零件的形状和材料对应力分布的影响，这可以用多元函数的微分来分析多元函数的泰勒展开定义公式12多元函数的泰勒展开式是将函fx,y=fa,b+数展开成一个多项式级数，这∂f/∂xa,b*x-a+个级数的每一项都是函数在某∂f/∂ya,b*y-b+一点处的偏导数1/2!∂^2f/∂x^2a,b*x-a^2+1/2!∂^2f/∂x∂ya,b*x-a*y-b+1/2!∂^2f/∂y^2a,b*y应用-b^2+...3泰勒展开式可以用来近似计算函数值、求解微分方程、分析函数的性质等等多元函数的极值定义极大值极小值如果对于定义域中的所有点x,y，都有fx,y≤fa,b，则如果对于定义域中的所有点x,y，都有fx,y≥fa,b，则fa,b是函数fx,y的极大值fa,b是函数fx,y的极小值无条件极值的求解方法求一阶偏导数求出函数fx,y的一阶偏导数∂f/∂x和∂f/∂y求驻点令∂f/∂x=0和∂f/∂y=0，解出方程组，得到函数的驻点判断极值利用二阶偏导数检验，判断驻点是否为极值点，以及是极大值还是极小值二元函数极值的判定判定规则

1.若Hessian行列式大于0，且∂^2f/∂x^20，则该驻点为极小值点Hessian矩阵

2.若Hessian行列式大于0，且Hessian矩阵是由二阶偏导数构成的矩阵，用于判断驻点是否为极值点12∂^2f/∂x^20，则该驻点为极大值点Hessian矩阵的行列式称为Hessian行列式

3.若Hessian行列式小于0，则该驻点不是极值点

4.若Hessian行列式等于0，则需要进一步判断拉格朗日乘数法应用场景拉格朗日乘数法用于求解多元函数在约束条件下的极值问题方法步骤

1.构建拉格朗日函数Lx,y,λ=fx,y+λgx,y，其中gx,y为约束条件

2.求拉格朗日函数的一阶偏导数，并令其为零，得到方程组

3.解出方程组，得到可能的极值点

4.利用Hessian矩阵判断极值点是否为极值点，以及是极大值还是极小值条件极值问题的求解多元函数积分的概念定义分类多元函数积分是对多变量函数进行积分运算，用于计算函数多元函数积分可以分为二重积分、三重积分、曲线积分、曲在多维空间上的面积、体积等几何量，或计算物理量在多维面积分等空间上的总量二重积分的定义定义二重积分是对定义在二维区域上的二元函数进行积分运算，用于计算函数在该区域上的面积、体积等几何量符号表示二重积分记作∬_D fx,y dxdy，其中D为二维区域二重积分的性质线性性质∬_D可加性如果D=D1单调性如果fx,y≥[afx,y+bgx,y]∪D2，且D1和D2没0，则∬_D fx,ydxdy=a∬_D fx,y有公共部分，则∬_D dxdy≥0dxdy+b∬_D gx,y fx,y dxdy=∬_D1dxdy fx,y dxdy+∬_D2fx,y dxdy二重积分的计算方法直接积分法换元积分法将二重积分转化为对x和y的累次积分，然后分别对x和y将二重积分的积分区域和被积函数进行变换，以简化积分运算进行积分常用的换元方法包括极坐标变换、雅可比行列式变换等等直角坐标系下的二重积分积分区域1积分区域可以用不等式组来表示，例如，D={x,y|a≤x≤b,c≤y≤d}积分计算2∬_D fx,y dxdy=∫_a^b∫_c^d fx,y dy dx或∫_c^d∫_a^bfx,y dxdy极坐标下的二重积分极坐标变换积分公式x=r*cosθ，y=r*sinθ∬_D fx,y dxdy=∬_D fr*cosθ,r*sinθr dr dθ二重积分的应用面积计算12公式应用∬_D1dxdy=面积二重积分可以用来计算二维区域的面积，例如，计算圆形、椭圆形、三角形等图形的面积二重积分的应用体积计算公式1V=∬_D fx,y dxdy，其中fx,y表示曲面在x,y点处的函数值应用2二重积分可以用来计算三维空间中曲面在某个二维区域上的体积，例如，计算圆锥形、球形、柱形等几何体的体积二重积分的应用质心计算公式x_c=∬_D x*ρx,y dxdy/∬_Dρx,y dxdyy_c=∬_D y*ρx,y dxdy/∬_Dρx,y dxdy其中ρx,y表示质量密度应用二重积分可以用来计算二维物体的质心，例如，计算三角形、矩形等物体的质心三重积分的定义定义三重积分是对定义在三维空间区域上的三元函数进行积分运算，用于计算函数1在该区域上的体积、质量等物理量符号表示2三重积分记作∭_V fx,y,z dxdydz，其中V为三维空间区域三重积分的计算方法直接积分法将三重积分转化为对x换元积分法将三重积分的积分区域、y、z的累次积分，然后分别对x和被积函数进行变换，以简化积分运、y、z进行积分算常用的换元方法包括柱面坐标变换、球面坐标变换等等柱面坐标系下的三重积分坐标变换积分公式x=r*cosθ，y=r*sinθ，z=z∭_V fx,y,z dxdydz=∭_V fr*cosθ,r*sinθ,z rdrdθdz球面坐标系下的三重积分坐标变换1x=ρ*sinφ*cosθ，y=ρ*sinφ*sinθ，z=ρ*cosφ积分公式2∭_V fx,y,z dxdydz=∭_V fρ*sinφ*cosθ,ρ*sinφ*sinθ,ρ*cosφρ^2*sinφdρdθdφ三重积分的应用实例体积计算质量计算12三重积分可以用来计算三维空三重积分可以用来计算三维空间中物体的体积，例如，计算间中物体的质量，例如，计算球形、圆锥形、柱形等几何体球形、圆锥形、柱形等几何体的体积的质量重心计算3三重积分可以用来计算三维空间中物体的重心，例如，计算球形、圆锥形、柱形等几何体的重心第一型曲线积分定义符号表示第一型曲线积分是指对定义在曲第一型曲线积分记作∫_C fx,y线上的函数进行积分运算，用于ds，其中C为曲线，ds为曲线计算函数在该曲线上的线积分上的弧长微元计算方法将曲线C参数化，然后将fx,y和ds用参数表示，最后对参数进行积分第二型曲线积分定义第二型曲线积分是指对定义在曲线上的向量场进行积分运算，用于计算向量场沿该曲线的线积分符号表示第二型曲线积分记作∫_C Px,y dx+Qx,y dy，其中C为曲线，Px,y和Qx,y分别为向量场的x和y方向的分量计算方法将曲线C参数化，然后将Px,y和Qx,y用参数表示，最后对参数进行积分曲线积分的性质线性性质∫_C可加性如果C=C1路径无关性如果向量[afx,y+bgx,y]∪C2，且C1和C2没场F是保守场，则第二ds=a∫_C fx,y ds+有公共部分，则∫_C型曲线积分的值与积分b∫_C gx,y dsfx,y ds=∫_C1路径无关，只与积分起fx,y ds+∫_C2点和终点有关fx,y ds格林公式及其应用公式应用∫_C Px,ydx+Qx,y dy=∬_D∂Q/∂x-∂P/∂y dxdy，格林公式可以用来计算闭曲线上的第二型曲线积分，也可以用来其中C为闭曲线，D为C所包围的区域计算区域的面积第一型曲面积分定义1第一型曲面积分是指对定义在曲面上的函数进行积分运算，用于计算函数在该曲面上的面积积分符号表示2第一型曲面积分记作∬_S fx,y,z dS，其中S为曲面，dS为曲面上的面积微元计算方法3将曲面S参数化，然后将fx,y,z和dS用参数表示，最后对参数进行积分第二型曲面积分定义第二型曲面积分是指对定义在曲面上的向量场进行积分运算，用于计算向量场穿过该1曲面的通量积分符号表示2第二型曲面积分记作∬_S F·n dS，其中S为曲面，n为曲面的单位法向量，F为向量场计算方法3将曲面S参数化，然后将F和n用参数表示，最后对参数进行积分曲面积分的计算方法直接积分法将曲面积分转化为对曲面参数的二重积分，然后进行积分计算斯托克斯公式将曲面积分转化为曲线积分，利用斯托克斯公式计算高斯公式将曲面积分转化为三重积分，利用高斯公式计算斯托克斯公式公式1∫_C F·dr=∬_S curl F·n dS，其中C为闭曲线，S为C所包围的曲面，n为曲面的单位法向量，curlF为向量场的旋度应用2斯托克斯公式可以用来计算闭曲线上的第二型曲线积分，也可以用来计算曲面的面积积分高斯公式公式应用∬_S F·n dS=∭_V div F dV，其中S为封闭曲面，V为S高斯公式可以用来计算封闭曲面上的第二型曲面积分，也可以用所包围的体积，n为曲面的单位外法向量，divF为向量场的散来计算体积的体积积分度多元积分在物理中的应用电场计算磁场计算可以用高斯公式计算静电场中穿过某封闭曲面的电通量，从而得可以用斯托克斯公式计算磁场中穿过某闭合曲线的磁通量，从而到该区域内的电荷量得到该区域内的电流强度多元积分在工程中的应用结构分析可以用三重积分计算结构的质量和重心，从而确定结构的强度和稳定性流体动力学可以用二重积分计算流体在二维区域上的流量，可以用三重积分计算流体在三维空间内的流量热力学可以用曲面积分计算热量在封闭曲面上的散失量，从而分析热量传递过程场论初步梯度场性质2梯度场是保守场，即向量场的线积分与定义路径无关，只与起点和终点有关梯度场是指向量场Fx,y,z的每个点1上的向量都等于该点的梯度向量，即Fx,y,z=∇fx,y,z，其中fx,y,z应用为一个标量函数梯度场在物理学中有很多应用，例如，3重力场、电场等等场论初步旋度场123定义性质应用旋度场是指向量场Fx,y,z的每个点上的旋度场反映了向量场在空间中的旋转程度旋度场在流体力学、电磁学等领域有很多向量都等于该点的旋度向量，即Fx,y,z如果向量场的旋度为零，则该向量场是应用=curl Gx,y,z，其中Gx,y,z为一个无旋场向量场。