《指数函数及其图像》课件

指数函数及其图像欢迎来到指数函数及其图像的精彩世界！本课程旨在帮助你全面掌握指数函数的概念、性质、图像特征以及应用通过本课程的学习，你将能够熟练运用指数函数解决各类数学问题，为未来的学习和工作打下坚实的基础我们首先会构建知识框架导图，帮助你从整体上把握本课程的核心内容，再逐步深入到每一个知识点，由浅入深，循序渐进让我们一起探索指数函数的奥秘吧！学习目标掌握指数函数的定义和理解指数函数图像的特12性质征深入理解指数函数的本质，掌熟悉指数函数图像的形状、走握其定义域、值域、单调性等向、与坐标轴的关系等特征关键性质能够准确判断一个能够根据函数表达式绘制出其函数是否为指数函数，并能灵图像，并能从图像中提取出有活运用其性质进行计算和推理用的信息能够运用指数函数解决实际问题3将指数函数的知识应用于实际生活和工作场景中，例如人口增长、复利计算、放射性衰变等问题能够建立数学模型，解决实际问题知识回顾指数的概念指数的定义整数指数分数指数零指数和负指数指数是表示一个数自乘若干当指数n为整数时，aⁿ表示a当指数n为分数时，aⁿ表示a任何非零数的零次幂等于1，次的记号例如，a的n次幂自乘n次例如，2³=2×2×的n次方根例如，4^1/2=即a⁰=1a≠0任何非零数表示为aⁿ，其中a称为底数，2=8√4=2的负指数幂等于其倒数的正n称为指数指数幂，即a⁻ⁿ=1/aⁿa≠0指数运算法则同底数相乘幂的加法当底数相同时，指数相加例如，aᵐ×aⁿ=a^m+n同底数相除幂的减法当底数相同时，指数相减例如，aᵐ÷aⁿ=a^m-n幂的乘方幂的乘法幂的乘方，指数相乘例如，aᵐⁿ=a^m×n指数函数的定义且定义域和值域fx=aˣa0a≠1指数函数的一般形式为fx=aˣ指数函数的定义域为全体实数，，其中a为常数，且a大于0且不即-∞,+∞值域为所有正实数等于1，x为自变量，即0,+∞常见的指数函数形式常见的指数函数形式包括fx=2ˣ、fx=3ˣ、fx=1/2ˣ、fx=eˣ等常见的指数函数举例fx=2ˣfx=3ˣfx=1/2ˣ以2为底的指数函数，图像单调递增，增以3为底的指数函数，图像单调递增，增以1/2为底的指数函数，图像单调递减，趋长速度较快长速度比2ˣ更快近于0自然常数的介绍e的历史背景的近似值在自然界中的应用e e

2.

718281828...e自然常数e最早由瑞士数学家雅各布·伯努e是一个无理数，其近似值为e在自然界中广泛存在，例如在生物学中利在研究复利问题时发现，后来被欧拉

2.

718281828...，是一个无限不循环小数的种群增长模型、物理学中的放射性衰广泛使用和推广变模型等都有应用指数函数的基本性质

（一）定义域值域-∞,+∞0,+∞指数函数的自变量x可以取任意指数函数的值始终为正数，且不实数，因此其定义域为全体实数等于0，因此其值域为所有正实，即-∞,+∞数，即0,+∞过点0,1当x=0时，aˣ=a⁰=1，因此指数函数一定过点0,1指数函数的基本性质

（二）单调性当时，单调递增当当底数介于和之间时，a10a01随着的增大，的值减小，函x aˣ指数函数的单调性取决于底数a的值当当底数a大于1时，随着x的增大，aˣ的值数图像呈现下降趋势a1时，函数单调递增；当0也增大，函数图像呈现上升趋势指数函数的基本性质

（三）函数连续性1指数函数在其定义域内是连续的，即没有间断点没有最大值最小值2当a1时，指数函数没有最大值，但无限接近于0；当0图像不存在对称性3指数函数既不是奇函数，也不是偶函数，因此其图像不存在关于y轴或原点的对称性的图像特征ˣfx=2过点单调递增10,12图像一定经过点0,1，这是所当x增大时，函数值y也增大，有指数函数的共性图像呈现上升趋势图像形状分析3图像在y轴右侧迅速上升，在y轴左侧趋近于0，但永远不与x轴相交的图像特征ˣfx=1/2过点单调递减与的关系0,12ˣ图像同样经过点0,1，这是指数函数的当x增大时，函数值y减小，图像呈现下1/2ˣ=2⁻ˣ，因此1/2ˣ的图像与2ˣ的共同特征降趋势图像关于y轴对称的图像特征ˣfx=e过点特殊性质0,1图像经过点0,1，这是指数函数eˣ是自然指数函数，在数学和物的普遍规律理学中具有重要的地位导数特点eˣ的导数仍然是eˣ，这是一个非常特殊的性质图像平移变换

（一）水平平移将函数图像沿x轴左右平移⁻fx-h=aˣʰ将fx=aˣ的图像向右平移h个单位，得到fx-h=aˣ⁻ʰ的图像；向左平移h个单位，得到fx+h=aˣ⁺ʰ的图像实例分析例如，将fx=2ˣ的图像向右平移2个单位，得到fx-2=2ˣ⁻²的图像图像平移变换

（二）垂直平移将函数图像沿y轴上下平移fx+k=aˣ+k将fx=aˣ的图像向上平移k个单位，得到fx+k=aˣ+k的图像；向下平移k个单位，得到fx-k=aˣ-k的图像实例分析例如，将fx=2ˣ的图像向上平移3个单位，得到fx+3=2ˣ+3的图像图像伸缩变换

（一）水平伸缩将函数图像沿x轴方向伸长或缩短fkx=aᵏˣ当k1时，将fx=aˣ的图像沿x轴缩短为原来的1/k倍；当0实例分析例如，将fx=2ˣ的图像沿x轴缩短为原来的1/2倍，得到f2x=2^2x=4ˣ的图像图像伸缩变换

（二）垂直伸缩将函数图像沿y轴方向伸长或缩短kfx=kaˣ当k1时，将fx=aˣ的图像沿y轴伸长为原来的k倍；当0实例分析例如，将fx=2ˣ的图像沿y轴伸长为原来的3倍，得到3fx=3×2ˣ的图像图像对称变换

（一）关于轴对称y将函数图像关于y轴进行对称变换⁻f-x=aˣ将fx=aˣ的图像关于y轴对称，得到f-x=a⁻ˣ的图像实例分析例如，fx=2ˣ关于y轴对称的图像为f-x=2⁻ˣ=1/2ˣ图像对称变换

（二）关于轴对称实例分析x-fx=-aˣ将函数图像关于x轴进行对称变换将fx=aˣ的图像关于x轴对称，得到-例如，fx=2ˣ关于x轴对称的图像为-fx=-aˣ的图像fx=-2ˣ复合变换实例

（一）最终图像分析⁻fx-2+3=2ˣ²+3最终图像与fx=2ˣ的图像形状相同，但位置发生了改变，经过点2,4这是一个由水平平移和垂直平移组成的复合变换123图像变换步骤首先将fx=2ˣ的图像向右平移2个单位，得到fx-2=2ˣ⁻²的图像，然后再向上平移3个单位，得到fx-2+3=2ˣ⁻²+3的图像复合变换实例

（二）⁻2fx-1=2·3ˣ¹1这是一个由水平平移和垂直伸缩组成的复合变换图像变换步骤2首先将fx=3ˣ的图像向右平移1个单位，得到fx-1=3ˣ⁻¹的图像，然后再沿y轴伸长为原来的2倍，得到2fx-1=2×3ˣ⁻¹的图像最终图像分析3最终图像与fx=3ˣ的图像形状有所改变，经过点1,2指数方程的概念定义基本类型含有指数的方程称为指数方程基本类型包括同底数型、换元型例如，2ˣ=

8、3^x+1=9等、对数型等解题思路解指数方程的关键是利用指数的性质，将方程转化为易于求解的形式指数方程的解法

（一）利用换元法将指数式子看作一个整体，用新的变量替换，从而简化方程实例演示例如，解方程4ˣ-3×2ˣ+2=0令y=2ˣ，则原方程变为y²-3y+2=0，解得y=1或y=2，所以x=0或x=1注意事项换元后要注意新变量的取值范围，避免出现增根指数方程的解法

（二）利用对数当指数方程无法直接化简时，可以利用对数将指数降下来实例演示例如，解方程2ˣ=5两边取对数，得x×log₂2=log₂5，所以x=log₂5常见错误取对数时要注意底数的选择，以及对数函数的定义域指数方程的解法

（三）利用函数性质实例演示解题技巧利用指数函数的单调性，判断方程的解例如，方程2ˣ=-x+1只有一个解，即x=0数形结合，利用图像判断解的个数和范的个数和范围因为y=2ˣ单调递增，y=-x+1单调递减围，所以只有一个交点指数不等式的概念定义基本类型含有指数的不等式称为指数不等基本类型包括同底数型、换元型式例如，2ˣ

4、3^x+

19、对数型等等解题思路解指数不等式的关键是利用指数函数的单调性，将不等式转化为易于求解的形式指数不等式的解法

（一）利用单调性实例演示注意事项当底数a1时，指数函数单调递增，则例如，解不等式2ˣ4因为21，所要根据底数a的取值范围，判断指数函aᵐaⁿ等价于mn；当0aⁿ等价于m以x2数的单调性n指数不等式的解法

（二）利用对数当指数不等式无法直接化简时，可以利用对数将指数降下来实例演示例如，解不等式2ˣ5两边取对数，得x×log₂2log₂5，所以xlog₂5常见错误取对数时要注意底数的选择，以及对数函数的定义域指数函数的应用

（一）人口增长模型实际案例分析数学建模人口增长可以用指数函数模型来描述，例如，假设某地区初始人口数量为100万利用指数函数模型可以预测未来的人口例如Pt=P₀×e^rt，其中Pt表示t时，年增长率为2%，则5年后的人口数量为数量，为政府制定人口政策提供依据刻的人口数量，P₀表示初始人口数量，P5=100×e^

0.02×5≈

110.52万人r表示增长率指数函数的应用

（二）复利计算实际案例分析金融应用复利是指在每经过一个计息期后，都要例如，假设你投资1万元，年利率为5%，复利计算在金融领域有着广泛的应用，将所生利息加入本金，以计算下期的利每年计息12次，投资10年，则最终金额例如计算贷款利息、投资收益等息复利计算可以用指数函数模型来描为A=10000×1+

0.05/12^12×10≈述，例如A=P×1+r/n^nt，其中A表

16470.09元示最终金额，P表示本金，r表示年利率，n表示每年计息次数，t表示投资年限指数函数的应用

（三）放射性衰变实际案例分析物理应用放射性衰变是指放射性元素的原子核自例如，碳-14的半衰期为5730年，则其衰放射性衰变在考古学、地质学等领域有发地放出粒子或射线，变成另一种原子变常数为λ=ln2/5730≈

0.000121假设着重要的应用，例如利用碳-14定年法可核的过程放射性衰变可以用指数函数初始碳-14的原子核数量为1000，则以确定古代文物的年代模型来描述，例如Nt=N₀×e^-λt，1000年后剩余的原子核数量为N1000=其中Nt表示t时刻的原子核数量，N₀表1000×e^-

0.000121×1000≈

886.92示初始原子核数量，λ表示衰变常数指数函数的应用

（四）细菌繁殖实际案例分析生物应用细菌繁殖可以用指数函数模型来描述，例如，假设某种细菌的初始数量为100个细菌繁殖在生物学、医学等领域有着重例如Nt=N₀×e^kt，其中Nt表示t，每小时繁殖率为10%，则5小时后的细要的应用，例如研究细菌的生长规律、时刻的细菌数量，N₀表示初始细菌数量菌数量为N5=100×e^

0.1×5≈控制细菌感染等，k表示繁殖率

164.87个例题解析

（一）基础变换题详细解题步骤12例如，将函数fx=2ˣ的图像先向右平移1个单位，得到fx-先向右平移1个单位，再向上1=2ˣ⁻¹；再向上平移2个单平移2个单位，求变换后的函位，得到fx-1+2=2ˣ⁻¹+2数表达式所以变换后的函数表达式为y=2ˣ⁻¹+2知识点总结3掌握图像平移变换的规律，即“左加右减，上加下减”例题解析

（二）指数方程题详细解题步骤12例如，解方程4ˣ-5×2ˣ+4=令y=2ˣ，则原方程变为y²-5y0+4=0，解得y=1或y=4，所以x=0或x=2知识点总结3掌握换元法解指数方程的方法，注意新变量的取值范围例题解析

（三）指数不等式题详细解题步骤知识点总结123例如，解不等式1/3ˣ9因为1/31，所以x-2掌握指数函数的单调性，根据底数的取值范围判断不等号的方向例题解析

（四）应用题详细解题步骤12例如，某地区的人口每年增长设x年后人口翻一番，则1+2%，问多少年后人口翻一番

0.02ˣ=2，解得x≈35年？知识点总结3将实际问题转化为数学模型，利用指数函数的知识解决问题常见错误分析

（一）定义域误解图像特征误解正确认识误认为指数函数的定义域是正实数指误认为指数函数与x轴相交指数函数与牢记指数函数的定义域和图像特征，避数函数的定义域是全体实数x轴无限接近，但永远不相交免出现错误常见错误分析

（二）变换错误解题错误正确方法在图像变换过程中，符号错误导致平移在解指数方程和不等式时，忘记考虑底仔细分析题意，掌握变换规律，注意细方向错误例如，fx+1是向左平移1个数的取值范围，导致不等号方向判断错节，避免出现错误单位，而不是向右误要点总结

（一）基本概念重要性质解题方法123指数的定义、指数函数的定义、自定义域、值域、单调性、过点0,1换元法、对数法、函数性质法等然常数e的定义等要点总结

（二）图像变换方程解法应用技巧123平移变换、伸缩变换、对称变换将指数方程转化为代数方程求解将实际问题转化为指数函数模型，解决实际问题练习题

（一）基础概念题难度简单即时讲解例如，判断下列函数是否为指数函数主要考察对指数函数定义的理解讲解判断指数函数的关键是底数a必须fx=x²、gx=2ˣ、hx=1ˣ大于0且不等于1练习题

（二）图像变换题难度中等例如，将函数fx=3ˣ的图像先主要考察对图像变换规律的掌握关于y轴对称，再向上平移1个单位，求变换后的函数表达式即时讲解讲解图像变换的步骤和注意事项，强调符号的正确使用练习题

（三）方程解题难度中等即时讲解例如，解方程2^x+1=8主要考察对指数方程解法的掌握讲解将指数方程转化为代数方程求解的方法，强调换元法的应用练习题

（四）不等式题难度较难例如，解不等式1/2^x-14主要考察对指数不等式解法的掌握，以及对底数取值范围的判断即时讲解讲解根据底数的取值范围判断不等号方向的方法，强调单调性的应用练习题

（五）应用题难度较难例如，某种放射性元素的半衰期主要考察将实际问题转化为指数为10年，问多少年后该元素的质函数模型的能力量衰减为原来的一半？即时讲解讲解建立指数函数模型的方法，强调对实际问题的理解拓展知识

（一）指数函数与对数函数互为反函数图像关系指数函数和对数函数是互逆的函数，它指数函数y=aˣ的反函数是对数函数y=指数函数和对数函数的图像关于直线y=们之间存在密切的关系logₐx，其中a0且a≠1x对称拓展知识

（二）指数函数的导数微分应用实例分析指数函数y=aˣ的导数为y=aˣ×lna利用导数可以求指数函数的切线方程、例如，求函数fx=eˣ在x=0处的切线方单调区间等程因为fx=eˣ，所以f0=1，切线方程为y=x+1拓展知识

（三）指数函数在高等数学中的应用泰勒展开实例分析指数函数在高等数学中有着广泛的应用指数函数可以展开为泰勒级数eˣ=1+利用泰勒展开可以近似计算eˣ的值，例如，例如在泰勒展开、傅里叶变换等领域x+x²/2!+x³/3!+...e≈1+1+1/2+1/6≈

2.7167都有重要的应用高考真题分析

（一）年真题解题策略得分要点1202223分析2022年高考真题中与指数函数讲解解题思路和方法，强调对基本总结得分要点，帮助学生在考试中相关的题目概念和性质的掌握取得好成绩高考真题分析

（二）年真题解题策略120212分析2021年高考真题中与指讲解解题思路和方法，强调对数函数相关的题目图像变换的掌握得分要点3总结得分要点，帮助学生在考试中取得好成绩高考真题分析

（三）年真题解题策略120202分析2020年高考真题中与指讲解解题思路和方法，强调对数函数相关的题目指数方程和不等式解法的掌握得分要点3总结得分要点，帮助学生在考试中取得好成绩解题方法总结

（一）图像分析法代数运算法综合应用利用图像分析函数性质，判断解的个数和利用代数运算，将方程和不等式转化为易综合运用各种方法，解决复杂的指数函数范围于求解的形式问题解题方法总结

（二）换元法对数法分类讨论法将指数式子看作一个整利用对数将指数降下来根据底数的取值范围，体，用新的变量替换，，从而求解方程和不等分类讨论指数函数的单从而简化方程式调性考试技巧

（一）时间分配1合理分配考试时间，优先完成容易的题目，再攻克难题解题步骤2规范解题步骤，避免跳步，确保答案的正确性得分策略3争取每一分，即使难题也要尽力尝试，争取部分分数考试技巧

（二）常见陷阱1注意指数函数的定义域、底数的取值范围等常见陷阱避错方法2仔细审题，认真计算，避免出现低级错误检查技巧3留出充足的时间进行检查，确保答案的正确性知识链接综合应用1知识网络构建2与其他函数的关系3指数函数与其他函数（例如对数函数、幂函数等）之间存在着密切的联系通过构建知识网络，可以更好地理解和应用指数函数复习重点

（一）图像特征21变换规律基本概念和性质3复习时要重点关注基本概念和性质、图像特征以及变换规律只有掌握了这些基础知识，才能更好地解决指数函数问题复习重点

（二）应用问题21解题技巧方程与不等式3复习时还要重点关注方程与不等式、应用问题以及解题技巧通过大量的练习，才能提高解题能力，在考试中取得好成绩学习建议学习方法练习策略能力提升理解概念，掌握性质，先做基础题，再做难题将指数函数的知识应用多做练习，总结规律，逐步提高解题能力于实际问题，提高解决实际问题的能力课程总结知识回顾重点难点12回顾本课程所学的主要知识点总结本课程的重点和难点，帮，包括指数函数的定义、性质助学生更好地掌握知识、图像特征以及应用学习方向3为学生提供未来的学习方向，鼓励学生继续深入学习数学知识。