《数值分析重点复习》课件

数值分析重点复习欢迎来到数值分析重点复习课件！本课件将带您回顾数值分析的重要概念和方法，帮助您更好地理解和掌握这门学科让我们一起开启学习之旅吧！课程概述目标与要求目标要求本课程旨在帮助学生掌握数值分析的基本理论、方法和应用，为后续学生需要具备高等数学、线性代数等基础知识，并能够运用计算机编课程学习和科研工作打下坚实基础学习目标包括程语言实现一些基本的数值算法此外，学生还需要积极参与课堂讨论，完成课后作业和考试数值分析的基本概念数值分析是运用数学方法，利用它研究用数值方法近似地求解数计算机求解数学问题的一门学科学问题，并分析其误差数值分析在科学、工程、金融等领域都有着广泛的应用误差的来源与分类误差来源误差分类•舍入误差计算机存储和运算时的舍入造成的误差•绝对误差真实值与近似值之差的绝对值•截断误差用有限项近似代替无限项公式或过程造成的误差•相对误差绝对误差与真实值的比值•模型误差实际问题抽象成数学模型时产生的误差绝对误差与相对误差绝对误差相对误差绝对误差反映了近似值与真实值之间的偏差程度例如，真实值是相对误差更能反映近似值的精度例如，真实值是1000，近似值是

3.14159，近似值是

3.14，则绝对误差为

0.00159990，则绝对误差为10，相对误差为

0.01有效数字的概念有效数字是指在近似值中，从左边第一个非零数字开始到最后一个数字的个数例如，

3.14159的有效数字是6位，

3.14的有效数字是3位有效数字反映了近似值的精度，有效数字越多，精度越高误差的传播与估计误差会随着运算的进行而积累和传递误差的估计方法主要有两种向前误差例如，加减法会使绝对误差累积，乘除分析和向后误差分析向前误差分析从法会使相对误差累积初始误差出发，估计最终误差；向后误差分析从最终误差出发，估计初始误差非线性方程求根概述二分法1利用函数在区间上的单调性求解方程根牛顿迭代法2利用函数的导数求解方程根割线法3利用两点连线求解方程根迭代法4通过不断迭代求解方程根二分法原理与步骤步骤1确定包含方程根的区间[a,b]，满足fafb0步骤2计算区间中点c=a+b/2，并判断fc的符号步骤3如果fc=0，则c为方程根；否则，更新区间[a,b]，使其包含方程根步骤4重复步骤2和3，直到满足精度要求二分法的收敛性分析二分法是一种比较稳健的方法，它收敛速度较慢，但是它一定能够收敛到方程根收敛速度取决于函数的单调性，如果函数在区间上变化较快，则收敛速度会慢一些牛顿迭代法的推导泰勒展开

1.在x0附近对fx进行泰勒展开fx=fx0+fx0x-x0+Ox-x0^2求根

2.令fx=0，并忽略高阶项，得到x=x0-fx0/fx0迭代公式

3.将x0替换为xn，得到迭代公式xn+1=xn-fxn/fxn牛顿法的几何意义牛顿迭代法是通过在当前迭代点处作切线，将切线与x轴的交点作为下一个迭代点，不断逼近方程根的过程它是一种几何直观的求根方法牛顿法的收敛性分析牛顿迭代法具有二次收敛速度，这意味着每次迭代误差都会平方减少但牛顿法对初值的选取比较敏感，如果初值离方程根太远，则可能无法收敛或者收敛到错误的根割线法的基本原理割线法类似于牛顿法，它也利用切线求解方程根但不同的是，割线法不用计算函数的导数，而是用两点连线来近似切线它是一种比牛顿法更简单但收敛速度较慢的方法迭代法的基本思想迭代法通过构造一个迭代公式，从一个初始值出发，不断迭代，最终收敛到方程根迭代法是一种比较灵活的求根方法，它可以用于求解各种类型的方程，包括线性方程和非线性方程迭代法的收敛条件迭代法能否收敛取决于迭代公式和初始值的选取通常情况下，迭代公式需要满足一些条件，例如Lipschitz条件，才能保证迭代法能够收敛到方程根此外，初始值的选取也很重要，如果初始值离方程根太远，则可能无法收敛插值概念与应用插值是利用已知数据点，构造一个函数，使其经过所有数据点，并用该函数来逼近未知点的函数值插值在数据分析、图像处理、数值积分等领域都有着广泛的应用拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式是一种常见的插值方法，它构造一个经过所有数据点的多项式函数拉格朗日插值多项式可以表示为若干个基函数的线性组合，每个基函数都只在一个数据点上取值为1，而在其他数据点上取值为0这种构造方式保证了插值多项式能够经过所有数据点拉格朗日插值的误差分析拉格朗日插值多项式产生的误差称为插值误差，它主要取决于插值节点的分布和函数的性质一般来说，插值节点分布越均匀，函数越光滑，则插值误差越小反之，插值节点分布越不均匀，函数越不光滑，则插值误差越大牛顿插值多项式牛顿插值多项式是另一种常见的插值方法，它利用差商来构造插值多项式差商是函数在不同数据点上的导数，它可以用来衡量函数的变化率牛顿插值多项式可以表示为若干个差商的乘积，这种构造方式保证了插值多项式能够经过所有数据点差商的概念与计算差商是函数在不同数据点上的导数，它可以用来衡量函数的变化率一阶差商是函数在两个数据点之间的平均变化率，二阶差商是函数在三个数据点之间的平均变化率，以此类推差商的计算可以通过公式或差商表进行差分的概念与计算差分是函数在不同数据点上的差值，它可以用来衡量函数的变化量一阶差分是函数在相邻两个数据点之间的差值，二阶差分是函数在相邻两个数据点的一阶差分之间的差值，以此类推差分的计算可以通过公式或差分表进行埃尔米特插值埃尔米特插值是一种特殊的插值方法，它不仅要求插值多项式经过所有数据点，还要求插值多项式在每个数据点处的导数值都与已知导数值相等埃尔米特插值可以用来构造更精确的插值函数，因为它考虑了函数的导数信息分段插值法分段插值法是将整个区间分成若干个子区间，在每个子区间上分别进行插值，最后将各个子区间的插值函数拼接起来，得到整个区间的插值函数分段插值法可以用来解决拉格朗日插值和牛顿插值在高阶情况下产生的振荡现象样条插值基础样条插值是一种特殊的插值方法，它利用分段多项式函数来构造插值函数样条函数在每个子区间上都是一个多项式函数，并且在相邻子区间的连接点上具有连续性，以及一定阶数的导数连续性三次样条插值三次样条插值是最常用的样条插值方法之一，它使用三次多项式函数来构造插值函数三次样条插值能够保证插值函数在每个数据点上具有二阶导数连续性，这使得插值函数更加光滑，避免了振荡现象最小二乘拟合概述最小二乘拟合是一种常用的数据拟合方法，它利用最小二乘法来求解一个函数，使其尽可能地拟合所有数据点最小二乘法通过最小化残差平方和来找到最佳拟合函数线性最小二乘拟合线性最小二乘拟合是利用线性函数来拟合数据点线性函数可以表示为y=ax+b，其中a和b是待求参数最小二乘法通过最小化残差平方和来求解a和b，从而得到最佳拟合直线多项式最小二乘拟合多项式最小二乘拟合是利用多项式函数来拟合数据点多项式函数可以表示为y=a0+a1x+a2x^2+...+anxn，其中a0，a1，a2，...，an是待求参数最小二乘法通过最小化残差平方和来求解这些参数，从而得到最佳拟合多项式数值积分基本概念数值积分是利用数值方法来求解定积分的值数值积分方法主要有两种类型牛顿-科特斯公式和高斯求积公式牛顿-科特斯公式通过在积分区间上插值，然后对插值函数进行积分来近似定积分的值高斯求积公式通过选择最佳的插值节点来提高积分的精度梯形公式推导梯形公式是牛顿-科特斯公式中最简单的一种方法，它利用梯形面积来近似定积分的值梯形公式可以表示为∫abfxdx≈b-a/2*fa+fb梯形公式的精度比较低，它只考虑了函数在端点处的取值梯形公式的误差分析梯形公式产生的误差称为截断误差，它与函数的二阶导数有关如果函数的二阶导数比较大，则截断误差也会比较大梯形公式的截断误差可以用公式来估计，并通过增加积分区间上的节点个数来减小误差辛普森公式推导辛普森公式是另一种牛顿-科特斯公式，它利用抛物线面积来近似定积分的值辛普森公式可以表示为∫abfxdx≈b-a/6*fa+4fa+b/2+fb辛普森公式比梯形公式精度更高，它考虑了函数在中间点处的取值辛普森公式的误差分析辛普森公式产生的误差称为截断误差，它与函数的四阶导数有关如果函数的四阶导数比较大，则截断误差也会比较大辛普森公式的截断误差可以用公式来估计，并通过增加积分区间上的节点个数来减小误差复化求积公式复化求积公式是将积分区间分成若干个子区间，在每个子区间上分别应用梯形公式或辛普森公式，最后将各个子区间的积分值累加起来，得到整个区间的积分值复化求积公式可以有效地提高积分的精度，因为它考虑了函数在更多节点处的取值龙贝格积分法龙贝格积分法是一种基于梯形公式和辛普森公式的迭代积分方法，它通过逐步细化积分区间，并利用Richardson外推法提高积分的精度龙贝格积分法能够快速收敛到积分的真实值，而且它还具有自适应性，可以根据函数的性质自动调整积分区间上的节点个数高斯求积公式高斯求积公式是利用最佳的插值节点来提高积分精度的数值积分方法高斯求积公式的节点和权重是根据Legendre多项式确定的，它能够在较少的节点个数下达到较高的精度高斯求积公式在科学计算中有着广泛的应用，它可以用来求解各种类型的定积分常微分方程数值解法概述常微分方程数值解法是利用数值方法来求解常微分方程的解常用的数值解法包括欧拉方法、改进的欧拉方法、龙格库塔方法等这些方法都是通过对微分方程进行离散化，然后利用差分方程来逼近微分方程的解欧拉方法原理欧拉方法是最简单的常微分方程数值解法之一，它利用导数在初始点处的斜率来近似微分方程的解欧拉方法可以表示为yn+1=yn+h*fxn,yn，其中h是步长，fxn,yn是微分方程的右端项改进的欧拉方法改进的欧拉方法是在欧拉方法的基础上进行改进的一种方法，它利用两个点的导数信息来提高解的精度改进的欧拉方法可以表示为yn+1=yn+h/2*fxn,yn+fxn+h,yn+h*fxn,yn改进的欧拉方法比欧拉方法精度更高，但它需要计算两次导数龙格库塔方法龙格库塔方法是常微分方程数值解法中精度最高的一种方法，它利用多个点的导数信息来提高解的精度龙格库塔方法可以表示为yn+1=yn+h/6*k1+2k2+2k3+k4，其中k1，k2，k3，k4是函数在不同点的导数信息龙格库塔方法能够在较小的步长下达到较高的精度，但在计算量上也比较大线性方程组直接解法线性方程组直接解法是通过对系数矩阵进行消元或分解，直接求解线性方程组的解常用的直接解法包括高斯消元法、矩阵三角分解法等高斯消元法高斯消元法是一种通过对系数矩阵进行消元，将线性方程组化为上三角矩阵，然后通过回代法求解方程组的解高斯消元法是一种比较通用的方法，它可以用来求解各种类型的线性方程组矩阵的三角分解矩阵三角分解法是将系数矩阵分解为两个或多个三角矩阵的乘积，然后通过解三角矩阵的方程组来求解线性方程组的解常用的三角分解法包括LU分解法、QR分解法等分解法LULU分解法是将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积LU分解法可以用来简化线性方程组的求解，因为解三角矩阵的方程组比解一般矩阵的方程组要容易得多追赶法求解三对角方程组追赶法是一种特殊的三对角矩阵的求解方法，它利用三对角矩阵的结构特点，通过逐个消元来求解方程组的解追赶法效率很高，而且它还具有良好的数值稳定性，因此在科学计算中得到了广泛的应用迭代法求解线性方程组迭代法是通过构造一个迭代公式，从一个初始值出发，不断迭代，最终收敛到线性方程组的解常用的迭代法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等雅可比迭代法雅可比迭代法是利用系数矩阵的对角线元素来构造迭代公式雅可比迭代法比较简单，但它的收敛速度比较慢高斯赛德尔迭代法-高斯-赛德尔迭代法是在雅可比迭代法的基础上进行改进的一种方法，它利用已经计算出的新的迭代值来更新下一个迭代值高斯-赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛速度快，但它需要存储更多的数据迭代法的收敛性分析迭代法能否收敛取决于系数矩阵的性质和初始值的选取如果系数矩阵满足一定条件，例如严格对角占优，则迭代法能够收敛到方程组的解此外，初始值的选取也很重要，如果初始值离方程组的解太远，则可能无法收敛特征值问题概述特征值问题是线性代数中的一个重要问题，它研究矩阵的特征值和特征向量特征值和特征向量可以用来分析矩阵的性质，例如矩阵的稳定性、可控性等幂法求最大特征值幂法是一种求解矩阵最大特征值的迭代方法，它通过不断地对矩阵进行幂运算，并将结果归一化，最终收敛到最大特征值对应的特征向量幂法简单易行，但它只能求解最大特征值反幂法求最小特征值反幂法是幂法的逆过程，它通过不断地对矩阵进行反幂运算，并将结果归一化，最终收敛到最小特征值对应的特征向量反幂法可以用来求解最小特征值，但它对矩阵的要求比较严格，要求矩阵必须是可逆的方法求特征值QRQR方法是求解矩阵特征值的另一种迭代方法，它通过将矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，然后不断地迭代，最终收敛到特征值QR方法能够求解所有特征值，而且它具有良好的数值稳定性快速傅里叶变换FFT快速傅里叶变换FFT是一种高效的离散傅里叶变换算法，它利用复数的性质，将离散傅里叶变换的计算量从On^2降低到OnlognFFT在信号处理、图像处理、数字通信等领域都有着广泛的应用数值稳定性分析数值稳定性分析是研究数值算法对误差的敏感程度一个数值算法如果对误差敏感，则称为不稳定算法，否则称为稳定算法数值稳定性分析是数值算法设计和应用的重要环节，它能够帮助我们选择稳定可靠的算法舍入误差分析舍入误差分析是研究舍入误差对数值算法的影响舍入误差是由于计算机存储和运算时对数字进行舍入造成的误差舍入误差会随着运算的进行而积累和传递，它可能会导致计算结果的误差累积，最终影响计算结果的精度病态问题处理病态问题是指一些微小的误差可能会导致解的巨大变化的问题病态问题在科学计算中经常遇到，它会给数值算法的应用带来很大困难处理病态问题的方法主要有改进算法、正则化、使用特殊的数值方法等算法复杂度分析算法复杂度分析是研究算法的时间复杂度和空间复杂度时间复杂度是指算法执行所需的时间，空间复杂度是指算法执行所需的空间算法复杂度分析能够帮助我们比较不同算法的效率，选择最佳的算法典型例题解析本部分将讲解一些数值分析中的典型例题，帮助您更好地理解和掌握数值分析的理论和方法通过对例题的分析，您能够更加深入地了解数值分析的应用和技巧。