《数列的求和》课件

数列的求和课程目标与学习重点课程目标学习重点掌握数列的基本概念，包括等差数列、等比数列等等差数列和等比数列求和公式的推导和应用了解各种数列求和的方法，如直接相加法、倒序相加法、错位错位相减法、裂项相消法、数学归纳法的理解和运用相减法、裂项相消法、数学归纳法等能够运用数列求和的方法解决实际问题什么是数列数列是指按照一定顺序排列的一列数，每个数称为数列的项例如1,2,就是一个数列，其中是第一项，是第二项，依此类推3,4,5,6,...12数列的基本概念项数通项公式12数列中包含的数字的个数称为通项公式是用来表示数列中每项数一项的公式，可以用来求数列中任意一项的值求和公式等差数列的定义等差数列是指从第二项起，每一项都比前一项多一个相同的常数，这个常数称为公差例如就是一个等差数列，公差为1,3,5,7,9,...2等差数列的通项公式等差数列的通项公式为an=a1+n-1d其中，表示第项，表示首项，表示公差an n a1d等差数列举例1求数列的第项2,5,8,11,...10解该数列的公差为，所以第项为5-2=310a10=2+10-1*3=29等差数列举例2求数列的第项10,7,4,1,...20解该数列的公差为，所以第项为7-10=-320a20=10+20-1*-3=-47等差数列求和公式的推导过程设等差数列为，则其和为a1,a2,...,an Sn=a1+a2+...+an将数列倒序排列得到Sn=an+an-1+...+a1将两个公式相加，得到2Sn=a1+an+a2+an-1+...+an+，共有项，每项都等于，所以，则a1na1+an2Sn=na1+anSn=na1+an/2等差数列求和公式等差数列求和公式为Sn=na1+an/2其中，表示前项的和，表示首项，表示第项Sn na1an n等差数列求和练习1求数列的前项的和1,4,7,10,...15解该数列的公差为，所以，4-1=3a15=1+15-1*3=43所以S15=151+43/2=330等差数列求和练习2求数列的前项的和5,2,-1,-4,...20解该数列的公差为，所以2-5=-3a20=5+20-1*-3=，所以-52S20=205-52/2=-470等比数列的定义等比数列是指从第二项起，每一项都比前一项乘以一个相同的常数，这个常数称为公比例如就是一个等比数列，公比为1,2,4,8,16,...2等比数列的通项公式等比数列的通项公式为an=a1*q^n-1其中，表示第项，表示首项，表示公比an na1q等比数列举例1求数列的第项3,6,12,24,...8解该数列的公比为，所以第项为6/3=28a8=3*2^8-1=384等比数列举例2求数列的第项100,50,25,

12.5,...12解该数列的公比为，所以第项为50/100=

0.512a12=100*

0.5^12-1=

0.78125等比数列求和公式的推导过程设等比数列为，则其和为a1,a1q,a1q^2,...,a1q^n-1Sn=a1+a1q+a1q^2+...+a1q^n-1将公式两边乘以，得到q qSn=a1q+a1q^2+a1q^3+...+a1q^n将两个公式相减，得到，所以，当时1-qSn=a1-a1q^n Sn=a1-a1q^n/1-q q≠1等比数列求和公式等比数列求和公式为，当时Sn=a1-a1q^n/1-q q≠1其中，表示前项的和，表示首项，表示公比Sn na1q等比数列求和练习1求数列的前项的和2,4,8,16,...10解该数列的公比为，所以4/2=2S10=2-2*2^10/1-2=2046等比数列求和练习2求数列的前项的和100,50,25,

12.5,...15解该数列的公比为，所以50/100=

0.5S15=100-100*

0.5^15/1-

0.5=

199.96875数列求和的基本方法直接相加法直接相加法是指直接将数列中的所有项相加，求得其和这种方法适用于项数较少，且项之间没有明显规律的数列例如求数列的和，可以直接将所有项相加，得到1,3,5,7,9S=1+3+5+7+9=25数列求和的基本方法倒序相加法倒序相加法是指将数列倒序排列，然后将两个公式相加，求得其和这种方法适用于项数较少，且项之间存在某种规律的数列例如求数列的和，可以将公式和相加，得到1,3,5,7Sn=1+3+5+7Sn=7+5+3+12Sn=1+7+3+，所以5+5+3+7+1=32Sn=16数列求和的基本方法错位相减法错位相减法是指将数列的各项乘以一个常数，然后将两个公式相减，求得其和这种方法适用于各项之间存在递推关系的数列例如求数列的前项的和将数列的各项乘以，得到，将两个公式相减，得到1,2,4,8,...n22,4,8,16,...Sn-2Sn=，所以1-2^n Sn=2^n-1/2-1=2^n-1数列求和的基本方法裂项相消法裂项相消法是指将数列的各项拆分成两项之差，然后相加，使得中间项相互抵消，求得其和这种方法适用于各项可以拆分成两项之差的数列例如求数列1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/n*的和n+1将各项拆分成，，，，1/1-1/21/2-1/31/3-1/

4...1，相加后中间项相互抵消，得到/n-1/n+1S=1-1/n+1=n/n+1特殊数列求和平方数列平方数列是指各项都是平方数的数列，例如1,4,9,16,25,...平方数列求和公式为Sn=nn+12n+1/6特殊数列求和立方数列立方数列是指各项都是立方数的数列，例如1,8,27,64,125,...立方数列求和公式为Sn=[nn+1/2]^2特殊数列求和倒数数列倒数数列是指各项都是某个数的倒数的数列，例如1,1/2,1/3,1/4,...倒数数列求和公式为，称为调和Sn=1+1/2+1/3+...+1/n级数，没有简单的求和公式特殊数列求和分数数列分数数列是指各项都是分数的数列，例如1/2,2/3,3/4,4/5,...分数数列的求和方法因具体情况而异，需要根据数列的特征选择合适的方法数学归纳法求和概述数学归纳法是一种常用的证明方法，可以用来证明与自然数有关的命题它是一种递推证明方法，通过证明命题对第一个自然数成立，以及假设命题对某个自然数成立，推导出命题对下一个自然数也成立，从而证明命题对所有自然数都成立数学归纳法可以用来求解数列的和，尤其是当数列的通项公式比较复杂时，数学归纳法可以简化求和过程数学归纳法步骤讲解第一步证明命题对第二步假设命题对n n12成立成立，推导出命题=1=k对成立n=k+1将代入命题，判断命n=1题是否成立假设命题对成立，即n=k假设命题对成立，然后利k用该假设，推导出命题对k+成立1第三步根据第一步和第二步，得出结论3根据第一步和第二步，可知命题对所有自然数都成立数学归纳法示例1证明命题，对所有自然数都成立1+3+5+...+2n-1=n^2n证明第一步当时，成立n=11=1^2第二步假设当时，命题成立，即n=k1+3+5+...+2k-1=成立那么当时，有k^2n=k+11+3+5+...+2k-1+2k，所以命题对也成+1-1=k^2+2k+1=k+1^2n=k+1立第三步根据第一步和第二步，可知命题对所有自然数都成立n数学归纳法示例2证明命题，对1^2+2^2+3^2+...+n^2=nn+12n+1/6所有自然数都成立n证明第一步当时，成立n=11^2=11+12*1+1/6第二步假设当时，命题成立，即n=k1^2+2^2+3^2+...+k^2成立那么当时，有=kk+12k+1/6n=k+11^2+2^2+3^2+...+k^2+k+1^2=kk+12k+1/6+k+1^2=k，所以命题对也成立+1k+22k+3/6n=k+1第三步根据第一步和第二步，可知命题对所有自然数都成立n数学归纳法练习题证明命题，对所有自然数2+2^2+2^3+...+2^n=2^n+1-2都成立n证明第一步当时，成立n=12=2^1+1-2第二步假设当时，命题成立，即n=k2+2^2+2^3+...+2^k=成立那么当时，有2^k+1-2n=k+12+2^2+2^3+...+2^k+2^k+1=2^k+1-2+2^k+1=2^k+2-2=，所以命题对也成立2^k+1+1-2n=k+1第三步根据第一步和第二步，可知命题对所有自然数都成立n递推数列的概念递推数列是指数列中每一项都由前几项决定，并且用一个明确的公式来表示这种关系递推公式一般有两种形式显式公式和隐式公式显式公式是直接用前几项表示当前项的公式，而隐式公式是用当前项和前几项之间的关系来表示当前项的公式递推数列举例例如数列，称为斐波那契数列，它的递推公式为1,1,2,3,5,8,...，，an=an-1+an-2n≥3a1=1a2=1从这个公式可以看出，斐波那契数列中第项的值是由前两项的值决定的n递推数列求和技巧递推数列的求和技巧主要包括以下几种直接相加法适用于项数较少，且项之间存在简单递推关系的数列

1.错位相减法适用于各项之间存在递推关系，且递推关系比较复杂的数

2.列数学归纳法适用于通项公式比较复杂，且递推关系比较明显的数列

3.递推数列练习题求数列的前项的和1,3,9,27,...n解该数列的递推公式为，可以看出，该数列是一个等比数列，公比为，所以an=3an-1n≥2a1=13Sn=1-3^n/1-3=3^n-1/2数列求和的实际应用等差数列等差数列在实际应用中有很多例子，例如存款利息如果银行每年的存款利息相同，那么每年存款的利息就是一个

1.等差数列物价变化如果某种商品的价格每年上涨一个固定的百分比，那么每年商

2.品的价格就是一个等差数列自然现象例如水滴落下时，每秒下落的高度就是一个等差数列

3.数列求和的实际应用等比数列等比数列在实际应用中也有很多例子，例如细菌繁殖如果一种细菌每小时分裂成两个，那么细菌的数量就是一个等

1.比数列折旧计算如果一台机器每年贬值一个固定的百分比，那么机器的价值就

2.是一个等比数列放射性物质衰变如果一种放射性物质每小时衰变一半，那么物质的质量

3.就是一个等比数列数列求和的实际应用混合数列混合数列是指一个数列中包含多种类型的数列，例如包含等差数列和等比数列的数列求解混合数列的和，需要根据数列的特征选择合适的方法，有时需要将数列拆分成多个子数列，分别求和后才能得到最终的答案典型例题解析1已知数列是等差数列，，，求{an}a1=2d=3S10解因为，，所以，所以a1=2d=3a10=2+10-1*3=29S10=102+29/2=155典型例题解析2已知数列是等比数列，，，求{an}a1=1q=2S5解因为，，所以a1=1q=2S5=1-2^5/1-2=31典型例题解析3已知数列满足，，求{an}an=an-1+2n n≥2a1=1S10解将递推公式写成，然后将从到代入，得到an-an-1=2n n210，，，将这些等式相加，得a2-a1=4a3-a2=

6...a10-a9=20到，所以，所以a10-a1=4+6+...+20=110a10=111S10=1+111*10/2=560典型例题解析4已知数列满足，求{an}an=1/nn+1S10解将各项拆分成，得到1/n-1/n+1S10=1-1/2+1/2-1/3+...+1/10-1/11=1-1/11=10/11常见错误类型分析误将等差数列求和公式应用于等比数列，或误将等比数列求和公式应用于

1.等差数列在使用错位相减法时，误将两个公式相加或相除

2.在使用裂项相消法时，误将各项拆分成两项之和，而不是两项之差

3.解题技巧总结1仔细观察数列的特征，判断数列的类型，选择合适的求和方法

1.在使用错位相减法时，要先将数列的各项乘以一个常数，使两个公式的对

2.应项能够抵消在使用裂项相消法时，要先将各项拆分成两项之差，然后相加，使中间项

3.相互抵消解题技巧总结2在使用数学归纳法时，要先证明命题对成立，再假设命题对成立，推导出命题对成立

4.n=1n=k n=k+1在解决实际问题时，要先将问题转化为数列求和问题，再选择合适的方法进行求解

5.注意求和公式的适用条件，例如等比数列求和公式只适用于公比不等于的情况

6.1解题技巧总结3对于复杂的数列，可以尝试将其拆分成多个子数列，分别求和后才能得到

7.最终的答案在计算过程中，要认真审题，避免出现计算错误或符号错误

8.多做练习，积累解题经验，才能更好地掌握数列求和的解题技巧

9.高考真题分析1例已知等差数列中，，，求{an}a1=2a5=14S10解因为，，所以，所以a1=2a5=14d=14-2/5-1=3，所以a10=2+10-1*3=29S10=102+29/2=155高考真题分析2例已知等比数列中，，，求{an}a2=4a5=32S7解因为，，所以，所以，所以a2=4a5=32q=32/4^1/5-2=2a1=4/2=2S7=2-2*2^7/1-2=254高考真题分析3例已知数列满足，，求{an}an=2an-1+1n≥2a1=1S5解将递推公式写成，然后将从到代入，得到an-2an-1=1n25，，，将这a2-2a1=1a3-2a2=1a4-2a3=1a5-2a4=1些等式相加，得到，所以，所以a5-2a1=4a5=9S5=1+9*5/2=25课堂练习题1求数列的前项的和2,5,8,11,...12课堂练习题2求数列的前项的和1,3,9,27,...8课堂练习题3已知数列满足，，求{an}an=an-1+3n≥2a1=1S15课堂练习题4已知数列满足，，求{an}an=2an-1-1n≥2a1=2S6课堂练习题5已知数列满足，求{an}an=1/nn+2S10综合应用题某公司在今年年初投入万元资金进行一项投资，预计该投资每年收益100率为，问10%年后公司累计收益是多少？

1.5公司至少需要多少年才能获得累计收益超过万元？

2.500知识点回顾本课件讲解了数列求和的基本概念、各种求和方法以及实际应用和典型例题我们学习了等差数列、等比数列、递推数列等类型的数列，并掌握了直接相加法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、数学归纳法等求和方法通过典型例题的解析，我们了解了如何运用这些方法解决实际问题，并总结了常见的错误类型和解题技巧重点公式总结等差数列求和公式等比数列求和公式，当时Sn=na1+an/2Sn=a1-a1q^n/1-q q≠1学习方法指导多做练习总结归纳联系实际123通过大量的练习，才能更好地理解在练习过程中，要及时总结归纳，将数列求和应用于实际问题，可以和掌握数列求和的各种方法和技将各种方法和技巧进行分类整理，加深对知识的理解，提高解题能巧便于记忆和运用力。