《数学函数的图像》课件

数学函数的图像探索数学之美课程目标和学习要点理解函数图像的基本概念

1.1掌握常见函数图像的绘制方法

2.2学习函数图像的变换和组合

3.什么是函数图像函数图像是在平面直角坐标系中，用图形表示函数关系的一种方法通过图像可以直观地了解函数的变化趋势，并对函数的性质进行分析函数图像的基本概念自变量因变量函数关系函数图像中横坐标代表自变量的值，通函数图像中纵坐标代表因变量的值，通函数图像上的每个点都对应一个自变量常用字母表示常用字母表示和因变量的值，它们之间满足函数关系x y式坐标系回顾直角坐标系直角坐标系是由两条相互垂直的数轴构成的，其中横轴称为轴，纵轴称为x y轴，它们的交点称为原点，记作O坐标系回顾极坐标系极坐标系是由一个极点和一条极轴构成的，其中极点是坐标系的中心，极轴是通过极点的射线每个点的位置由极角和极径来确定函数图像的基本要素定义域值域单调性函数图像的定义域是指自变量的取值范函数图像的值域是指因变量的取值范函数图像在某一区间内，随着自变量的x y x围围增加，因变量的值要么一直增加，要么y一直减小，这就是函数的单调性定义域和值域的概念定义域是指函数中自变量可以取值的范围，而值域是指函数中因变量可以取值的范围定义域和值域是函数图像的重要组成部分，x y可以帮助我们更好地理解函数的性质一次函数基本形式y=kx+b一次函数是自变量的一次多项式函数，其图像是一条直线，斜率为，截距x k为一次函数的图像可以通过两个点来确定，例如可以取和两个点，b x=0x=1并利用坐标系来绘制图像一次函数斜率的含义k一次函数的斜率表示直线倾斜的程度，它决定了直线的倾斜方向和倾斜程k度时，直线向上倾斜，时，直线向下倾斜越大，倾斜程度越大，k0k0k越小，倾斜程度越小k一次函数截距的含义b一次函数的截距表示直线与轴的交点坐标，它决定了直线在轴上的位置时，直线与轴的交点在轴正半轴上，时，直线b y y b0y yb0与轴的交点在轴负半轴上y y一次函数图像的绘制步骤步骤一步骤二找到两个点的坐标将这两个点连接起来，得到直线步骤三标出直线的斜率和截距一次函数实例分析例如，函数，其斜率为，截距为我们可以找到两个点和，y=2x+1210,11,3然后将这两个点连接起来，就得到了函数的图像y=2x+1二次函数基本形式y=ax²+bx+c二次函数是自变量的二次多项式函数，其图像是一条抛物线抛物线的形状x和位置由系数、、决定时，抛物线开口向上，时，抛物线开口向a bc a0a0下二次函数抛物线的开口方向二次函数抛物线的开口方向由系数决定时，抛物线开口向上，时，a a0a0抛物线开口向下例如，函数的图像开口向上，而函数的图像开口y=x²y=-x²向下二次函数对称轴二次函数的图像是一条关于对称轴对称的抛物线对称轴的方程为，它可以通过将二次函数的表达式配方得到x=-b/2a二次函数顶点二次函数图像的顶点是抛物线上最高或最低的点，它的坐标为-b/2a,-，其中Δ/4aΔ=b²-4ac二次函数图像的绘制步骤步骤一步骤二步骤三找到顶点坐标确定抛物线的开口方向，时开口向找到几个关键点，例如函数与轴的交-b/2a,-Δ/4a a0x上，时开口向下点，并利用对称性绘制图像a0二次函数实例分析例如，函数，其顶点坐标为，开口向上，与轴交于点我y=x²-2x+11,0x1,0们可以利用对称性绘制出函数的图像y=x²-2x+1反比例函数基本形式y=k/x反比例函数是自变量的倒数的函数，其图像是一条双曲线双曲线的形状和x位置由系数决定时，双曲线位于第

一、三象限，时，双曲线位于第k k0k0

二、四象限反比例函数双曲线特征反比例函数图像的双曲线具有以下特征对称性关于原点对称渐近

1.

2.线轴和轴是双曲线的渐近线，曲线无限接近但不相交穿过象限根x y

3.据系数的正负，曲线位于不同的象限k反比例函数渐近线反比例函数的图像有两条渐近线轴和轴曲线无限接近这两条线，但永x y远不会相交渐近线可以帮助我们理解函数图像的趋势，例如，当趋于正无x穷大时，曲线无限接近轴x反比例函数图像的绘制步骤步骤一步骤二找到函数的渐近线轴和轴找到几个关键点，例如函数与x yx轴和轴的交点y步骤三利用对称性和渐近线，绘制出函数的图像反比例函数实例分析例如，函数，其渐近线为轴和轴，与坐标轴的交点均不存在我们可y=1/x xy以利用对称性和渐近线绘制出函数的图像y=1/x指数函数基本形式ˣy=a指数函数是自变量的指数函数，其图像是一条曲线曲线的形状和位置由底数决定时，曲线单调递增，x a a10指数函数底数的情况a1当指数函数的底数时，曲线单调递增，且过点随着的增大，曲线的增长速度越来越快，呈指数级增长a10,1x指数函数当指数函数的底0数0指数函数图像的绘制步骤步骤一步骤二步骤三找到几个关键点，例如函数与轴的交根据底数的值，判断曲线的单调性，利用关键点和曲线趋势，绘制出函数y a点，以及几个自变量取不同值时的函以及曲线的增长或衰减速度的图像数值指数函数实例分析例如，函数，其底数为，曲线单调递增，过点我们可以找到几个y=2ˣ20,1关键点，例如、、，并利用曲线趋势绘制出函数的图1,22,4-1,1/2y=2ˣ像对数函数基本形式ₐy=log x对数函数是指数函数的反函数，其图像也是一条曲线曲线的形状和位置由底数决定时，曲线单调递增，aa10对数函数底数的情况a1当对数函数的底数时，曲线单调递增，且过点随着的增大，曲线的增长速度越来越慢，呈对数级增长a11,0x对数函数当对数函数的底0数0对数函数图像的绘制步骤步骤一步骤二找到几个关键点，例如函数与根据底数的值，判断曲线的单x a轴的交点，以及几个自变量取不调性，以及曲线的增长或衰减速同值时的函数值度步骤三利用关键点和曲线趋势，绘制出函数的图像对数函数实例分析例如，函数，其底数为，曲线单调递增，过点我们可以找到几y=log₂x21,0个关键点，例如、、，并利用曲线趋势绘制出函数的2,14,21/2,-1y=log₂x图像三角函数正弦函数y=sinx正弦函数是三角函数中的一种，其图像是一个周期函数，呈波浪形正弦函数的周期为，最大值为，最小值为2π1-1三角函数余弦函数y=cosx余弦函数是三角函数中的一种，其图像也是一个周期函数，呈波浪形余弦函数的周期为，最大值为，最小值为正弦函数和余弦函数的图像形状相2π1-1同，只是相位不同三角函数正切函数y=tanx正切函数是三角函数中的一种，其图像也是一个周期函数，但它是一个分段函数，在某些点上没有定义正切函数的周期为，没有最大值和最小值，它在π所有定义的点上都是单调递增的三角函数周期性质三角函数具有周期性，即它们的图像在一定范围内重复出现正弦函数和余弦函数的周期为，正切函数的周期为周期性可以帮助我们简化图像的绘2ππ制，例如，只需绘制一个周期内的图像，就可以得到整个图像三角函数图像的绘制步骤步骤一步骤二找到函数的周期找到几个关键点，例如函数的最大值、最小值、与轴的交点x步骤三利用周期性，绘制出函数的图像三角函数实例分析例如，函数，其周期为，最大值为，最小值为我们可以找到几y=sinx2π1-1个关键点，例如、、、、，并利用周期性绘制0,0π/2,1π,03π/2,-12π,0出函数的图像y=sinx函数平移变换水平平移垂直平移将函数图像向左平移个单位，得到的图像将函数图像向上平移个单位，得到的图像a y=fx+a by=fx+b函数拉伸压缩变换水平拉伸压缩垂直拉伸压缩将函数图像沿轴方向拉伸或压缩倍，得到的图像将函数图像沿轴方向拉伸或压缩倍，得到的图像x k y=fkx yky=kfx函数对称变换关于轴对称关于轴对称关于原点对称yx将函数图像关于轴对称，得到的将函数图像关于轴对称，得到的将函数图像关于原点对称，得到yy=f-x xy=-fx y=-f-x图像图像的图像复合函数图像复合函数是指将两个或多个函数进行组合得到的函数，其图像可以通过逐步变换得到例如，函数的图像可以先绘制出的图像，再将y=fgx y=gx y=gx的图像进行变换，得到的图像y=fgx分段函数图像分段函数是指在不同区间内定义不同的函数关系，其图像由不同函数的图像拼接而成例如，函数是一个分段函数，它在时等于，在时等于y=|x|x≥0x x0-，其图像由两条直线拼接而成x绝对值函数图像绝对值函数是定义为自变量绝对值的函数，其图像是一个形曲线例如，函V数的图像是一个关于轴对称的形曲线，它在时等于，在时等y=|x|y Vx≥0x x0于-x函数图像的应用物理学函数图像在物理学中有广泛的应用，例如，速度时间图像可以用来描述物体-的运动情况，位移时间图像可以用来描述物体的运动轨迹-函数图像的应用经济学函数图像在经济学中也有重要的应用，例如，供求曲线可以用来描述商品的价格和数量之间的关系，成本函数和利润函数可以用来分析企业的经营情况函数图像的应用生物学函数图像在生物学中也有许多应用，例如，生长曲线可以用来描述生物的生长过程，种群增长模型可以用来预测种群数量的变化函数图像分析技巧观察图像的形状、位找到函数的定义域、

1.

2.置和趋势值域和单调性分析函数的特殊点，例如交点、顶点、拐点等

3.常见误区和注意事项注意区分函数图像和图形

1.不要将函数图像与曲线混淆

2.准确地找到函数的定义域和值域

3.掌握函数图像的变换和组合方法

4.函数图像练习题示例1绘制函数的图像，并分析其性质y=x²+2x-3函数图像练习题示例2函数的图像关于哪条直线对称？y=1/x-1函数图像练习题示例3函数的图像的周期是多少？y=2sinx图像绘制软件介绍有很多软件可以用来绘制函数图像，例如，、、等这些软件提供了丰富的绘图功能，可以帮助我们GeoGebra MathematicaGrapher更加直观地理解函数的性质在线函数绘图工具除了使用桌面软件，我们还可以使用一些在线函数绘图工具，例如，、等这些工具方便易用，可以在浏览器中直接使Desmos WolframAlpha用，无需下载安装使用指南GeoGebra是一款功能强大的数学软件，可以用来绘制函数图像、进行几何运GeoGebra算、解决代数问题等本课程将提供的简单使用指南，帮助您更好GeoGebra地理解和应用函数图像数学建模中的函数图像函数图像在数学建模中扮演着重要角色，它可以用来描述和分析现实世界中的问题例如，我们可以利用函数图像来建立人口增长模型、经济模型等函数图像的实际应用案例我们将通过一些实际案例来展示函数图像在不同领域的应用，例如，利用函数图像来分析气温变化、预测股票走势等本课程要点回顾本课程讲解了函数图像的基本概念、常见函数图像的绘制方法、函数图像的变换和组合，以及函数图像在不同领域的应用希望通过本课程，您对函数图像有了更深入的了解，并能够将函数图像应用到实际问题中。