《数据结构与算法分析》课件

数据结构与算法分析课程概述与学习目标课程概述学习目标本课程旨在为学生提供数据结构与算法分析的理论基础和实完成本课程学习后，您将能够践技能我们将探讨数据结构的类型、特性和应用，并学习•理解数据结构的基本概念和类型算法的设计、分析和实现方法•设计和分析常见的算法•使用编程语言实现数据结构和算法算法分析基础时间复杂度时间复杂度定义时间复杂度分析算法的时间复杂度是指算法执行所需要的计算时间它通常用大表示法表示，表示算法执行时间随输入规模增长的速O率算法分析基础空间复杂度空间复杂度定义空间复杂度分析算法的空间复杂度是指算法执行过程中所占用的内存空间它通常也用大表示法表示，表示算法所占用空间随输入规O模增长的速率大表示法详解O渐进分析忽略常数项12大表示法是一种渐进分析在大表示法中，常数项和O O方法，用于描述算法执行时低阶项通常会被忽略，因为间或空间占用随输入规模增它们在输入规模很大时对算长的趋势法的执行时间或空间占用影响微乎其微关注最高阶项常见时间复杂度分析时间复杂度描述示例常数时间复杂度，执行时间访问数组元素O1与输入规模无关对数时间复杂度，执行时间二分查找Olog n随输入规模的对数增长线性时间复杂度，执行时间线性查找On与输入规模线性相关线性对数时间复杂度，执行快速排序，归并排序On logn时间介于线性时间复杂度和平方时间复杂度之间平方时间复杂度，执行时间冒泡排序，插入排序On^2与输入规模的平方成正比指数时间复杂度，执行时间穷举搜索O2^n随输入规模呈指数增长递归算法分析方法递归定义分析方法递归算法是指一个函数直接或间接地调用自身，并通过递归递归算法的分析方法通常使用递归方程来描述，然后通过求调用来解决问题递归算法的定义通常包含基例和递归步解递归方程来得到算法的时间复杂度例如，斐波那契数列骤的递归算法可以用以下递归方程描述Tn=Tn-1+，其中表示计算第个斐波那契数所需Tn-2+O1Tn n的时间线性表的基本概念定义特点12线性表是一种线性数据结构，它是一系列数据元素的线性表具有以下特点有限序列线性表中的数据元素可以是相同类型，也•数据元素之间存在着线性关系可以是不同类型•数据元素的逻辑顺序和物理顺序一致•可以随机访问线性表中的任意元素顺序表的实现顺序表定义实现方法顺序表是用一组连续的内存空间存储线性表元素的，元素在顺序表可以使用数组来实现数组是一种线性数据结构，它物理位置上也和逻辑位置保持一致顺序表的元素可以通过可以存储相同类型的数据元素顺序表的实现包括元素的插下标进行随机访问入、删除、查找、修改等操作链表的基本概念链表定义链表特点链表是用一组分散的内存空间存储线性表元素的，每个元素链表具有以下特点都包含一个指向下一个元素的指针链表的元素可以通过指•数据元素可以分散地存储在内存中针进行访问，并可动态地增加或减少内存空间•链表的元素之间通过指针链接起来•链表的长度可以动态地改变•不能随机访问元素，只能通过指针进行顺序访问单链表的操作实现单链表定义1单链表是一种最基本的链表，它由一系列节点组成，每个节点包含一个数据域和一个指向下一个节点的指针域单链表只有一个头节点，可以通过头节点访问链表的所有节点常见操作2单链表的常见操作包括•插入元素在链表中插入一个新的节点•删除元素从链表中删除一个指定的节点•查找元素在链表中查找一个指定的节点•遍历链表从头节点开始，依次访问链表中的所有节点双向链表详解双向链表定义优点双向链表是一种比单链表更复杂的链表，它在每个节点中包双向链表相对于单链表具有以下优点含两个指针域，分别指向下一个节点和上一个节点双向链•可以从任意一个节点开始进行双向遍历表可以从任意一个节点开始进行双向遍历•删除节点操作更加方便，只需要修改前后节点的指针域循环链表应用循环链表定义应用场景循环链表是一种特殊类型的链表，它将链表的最后一个节点循环链表在以下场景中应用广泛的指针指向头节点，形成一个闭环循环链表可以用来实现•模拟循环队列一些特殊的操作，例如模拟循环队列•实现缓存机制LRU•实现无缝音乐播放栈的基本概念栈定义栈特点栈是一种线性数据结构，它遵循后进先出（）的原栈具有以下特点LIFO则栈只允许在表的一端进行插入和删除操作，插入操作叫•后进先出做入栈，删除操作叫做出栈栈的表顶称为栈顶，表底称为•只允许在栈顶进行插入和删除操作栈底•栈顶是最后一个入栈的元素•栈底是第一个入栈的元素栈的顺序存储实现顺序存储定义实现方法顺序存储是指将栈的元素存放在一个数组中，并用一个指针顺序栈的实现包括入栈、出栈、获取栈顶元素等操作这些指向栈顶元素的位置顺序存储的栈通常被称为顺序栈操作可以通过数组的索引和栈顶指针来实现栈的链式存储实现链式存储定义实现方法链式存储是指将栈的元素存放在一组分散的内存空间中，并链式栈的实现通常使用单链表链式栈的入栈操作是在链表用指针将它们链接起来链式存储的栈通常被称为链式栈的头节点前插入一个新节点，出栈操作是删除链表的头节点栈在表达式求值中的应用表达式求值实现方法栈在表达式求值中具有重要的应用，例如，中缀表达式转换表达式求值过程通常包括以下步骤为后缀表达式，然后使用栈来对后缀表达式进行求值•将中缀表达式转换为后缀表达式•使用栈来存储操作数和运算符•从后缀表达式中读取操作数和运算符，并使用栈来进行运算•最终得到表达式的值队列的基本概念队列定义队列特点队列是一种线性数据结构，它遵循先进先出（）的原队列具有以下特点FIFO则队列只允许在一端进行插入操作，另一端进行删除操•先进先出作插入操作叫做入队，删除操作叫做出队队列的插入端•只允许在队尾进行插入操作，在队头进行删除操作称为队尾，删除端称为队头•队头是第一个入队的元素•队尾是最后一个入队的元素循环队列的实现循环队列定义实现方法循环队列是指将队列的存储空间看作一个环形区域，当队列循环队列的实现通常使用数组，并用两个指针分别指向队头的队尾指针到达存储空间的末尾时，它将回到存储空间的开和队尾为了避免队头和队尾指针重合而无法判断队列是否头，形成一个循环的存储结构为空，通常会设置一个标志位来区分队列为空还是已满优先队列详解优先队列定义实现方法优先队列是一种特殊的队列，它允许元素按照优先级进行入优先队列的实现通常使用堆数据结构堆是一种特殊的二叉队和出队优先级高的元素优先出队树，它满足以下性质•完全二叉树•每个节点的优先级都大于或等于其子节点的优先级（最大堆）•每个节点的优先级都小于或等于其子节点的优先级（最小堆）树结构基础树定义1树是一种非线性数据结构，它是由多个节点组成的层次结构树中的每个节点都包含一个数据域和若干个指向其子节点的指针域树结构中的每个节点最多有一个父节点，但可以有多个子节点特点2树具有以下特点•具有层次结构•每个节点最多有一个父节点•一个节点可以有多个子节点二叉树的基本概念二叉树定义二叉树特点二叉树是一种特殊的树结构，它每个节点最多只能有两个子二叉树具有以下特点节点，分别称为左子节点和右子节点•每个节点最多只有两个子节点•可以为空树•二叉树的子树也是二叉树二叉树的遍历方法先序遍历中序遍历12先序遍历是指先访问根节中序遍历是指先访问左子点，然后访问左子树，最后树，然后访问根节点，最后访问右子树先序遍历的顺访问右子树中序遍历的顺序是根节点、左子树、右子序是左子树、根节点、右子树树后序遍历3后序遍历是指先访问左子树，然后访问右子树，最后访问根节点后序遍历的顺序是左子树、右子树、根节点二叉查找树详解二叉查找树定义特点二叉查找树是一种特殊的二叉树，它满足以下性质二叉查找树具有以下特点•左子树的所有节点的值都小于根节点的值•可以快速查找、插入和删除节点•右子树的所有节点的值都大于根节点的值•最坏情况下时间复杂度为，但平均情况下时间复杂On度为•左子树和右子树也都是二叉查找树Olog n平衡二叉树（树）AVL树定义平衡因子AVL树是一种自平衡二叉查找树，它保证了树的高度平衡，树的每个节点都维护一个平衡因子，平衡因子是指该节AVL AVL从而避免了在最坏情况下时间复杂度退化为点的左子树高度减去右子树高度的值平衡因子必须在On-、和之间，以保证树的高度平衡101红黑树原理红黑树定义颜色属性红黑树是一种自平衡二叉查找树，它通过颜色属性来维护树红黑树的每个节点都有一个颜色属性，可以是红色或黑色的高度平衡，从而保证了树的查找、插入和删除操作的时间红黑树的规则保证了任何一条路径上黑色节点的数量相等，复杂度始终为从而保证了树的高度平衡Olog n树和树B B+树定义树定义B B+树是一种平衡的多路查找树，它通常用于磁盘存储系统树是树的一种变体，它将所有数据都存储在叶子节点B B+B中，以提高数据检索效率树的每个节点可以有多个子节中，并在非叶子节点中只存储索引信息树的叶子节点之B B+点，它可以有效地减少磁盘操作的次数间通过指针链接起来，便于进行顺序遍历I/O堆的基本概念堆定义特点堆是一种特殊的二叉树，它满足以下性质堆具有以下特点•完全二叉树•可以快速找到堆中最小的元素（最小堆）或最大的元素（最大堆）•每个节点的优先级都大于或等于其子节点的优先级（最大堆）•可以快速插入和删除元素•每个节点的优先级都小于或等于其子节点的优先级（最•常用于实现优先队列、排序算法等小堆）最大堆和最小堆最大堆最小堆最大堆是指每个节点的优先级都大于或等于其子节点的优先最小堆是指每个节点的优先级都小于或等于其子节点的优先级在最大堆中，根节点的优先级是最高的级在最小堆中，根节点的优先级是最低的哈夫曼树与编码哈夫曼树定义哈夫曼编码哈夫曼树是一种最优二叉树，它可以用于数据压缩，它通过哈夫曼编码是指将数据元素编码为二进制码，并使用哈夫曼对数据元素的频率进行统计，并根据频率构建一个二叉树，树来实现编码和解码过程哈夫曼编码可以有效地压缩数使得编码长度最短，从而达到压缩数据的目的据，例如，在文件压缩软件中广泛使用图的基本概念图定义图特点12图是一种非线性数据结构，它由顶点和边组成顶点图具有以下特点表示图中的对象，边表示顶点之间的关系•图中顶点之间可以有多种关系•图中的边可以是有向的或无向的•图中可以存在回路图的存储结构邻接矩阵1邻接矩阵是指用一个二维数组来存储图的边信息数组的行和列分别表示图中的顶点，数组中的元素表示两个顶点之间是否存在边如果两个顶点之间存在边，则数组中的元素为，否则为10邻接表2邻接表是指用链表来存储图的边信息邻接表的每个顶点对应一个链表，链表中的节点表示该顶点连接的边每个节点都包含一个指向另一个顶点的指针和一个权值（如果有权值的话）深度优先搜索深度优先搜索定义实现方法深度优先搜索是一种用于遍深度优先搜索的实现通常使用递归或栈数据结构递归实现Depth-First Search,DFS历图的算法，它从一个顶点开始，沿着一条路径尽可能深地方法是指在访问一个顶点时，先递归地访问其所有未访问过遍历下去，直到遇到一个没有访问过的邻接顶点，再从该邻的邻接顶点，然后才访问下一个顶点栈实现方法是指将访接顶点继续深度优先搜索问过的顶点入栈，并不断地从栈顶取出顶点，访问其未访问过的邻接顶点，直到栈为空广度优先搜索广度优先搜索定义实现方法广度优先搜索是一种用于广度优先搜索的实现通常使用队列数据结构队列中存储待Breadth-First Search,BFS遍历图的算法，它从一个顶点开始，先访问该顶点的所有邻访问的顶点，并不断地从队列中取出队头元素，访问其未访接顶点，然后访问这些邻接顶点的邻接顶点，以此类推，直问过的邻接顶点，并将这些邻接顶点入队，直到队列为空到遍历完所有可达的顶点最小生成树算法Prim最小生成树定义算法Prim最小生成树是一棵连算法是一种贪心算法，它从一个顶点开始，不断地选Minimum SpanningTree,MST Prim接图中所有顶点的树，并且该树的边权之和最小择权值最小的边加入到生成树中，直到所有顶点都被包含在生成树中最小生成树算法Kruskal最小生成树定义算法Kruskal最小生成树是一棵连算法也是一种贪心算法，它将图中的边按照权值从Minimum SpanningTree,MST Kruskal接图中所有顶点的树，并且该树的边权之和最小小到大排序，然后依次选取权值最小的边，并判断该边是否会形成回路如果没有形成回路，则将该边加入到生成树中，直到所有顶点都被包含在生成树中最短路径算法Dijkstra最短路径定义算法Dijkstra最短路径是指图中两个顶点之间所有路径中最短的一条路算法是一种贪心算法，它从一个顶点开始，不断地Dijkstra径选择距离源顶点最近的未访问顶点，并更新该顶点到其他顶点的距离，直到所有顶点都被访问过最短路径算法Floyd最短路径定义算法Floyd最短路径是指图中两个顶点之间所有路径中最短的一条路算法是一种动态规划算法，它通过枚举所有可能的中Floyd径间顶点来计算任意两个顶点之间的最短路径拓扑排序拓扑排序定义应用场景拓扑排序是一种对有向无环图拓扑排序常用于解决一些实际问题，例如，任务调度、课程Directed AcyclicGraph,的顶点进行线性排序的方法，它满足以下性质如果安排等DAG图中存在一条从顶点到顶点的路径，那么在拓扑排序序列u v中，顶点必须出现在顶点之前u v关键路径关键路径定义应用场景关键路径是指一个有向无环图中从源点到汇点的最长路径关键路径常用于解决一些实际问题，例如，项目进度管理、工程规划等查找算法顺序查找顺序查找定义时间复杂度顺序查找是一种简单直观的查找算顺序查找的时间复杂度为，在最坏情况下需要遍历整个Sequential SearchOn法，它从线性表中第一个元素开始逐个比较，直到找到目标线性表元素或者遍历完整个线性表查找算法二分查找二分查找定义时间复杂度二分查找是一种效率更高的查找算法，二分查找的时间复杂度为Binary SearchOlog n它适用于有序的线性表二分查找算法每次将查找范围缩小一半，直到找到目标元素或者查找范围为空查找算法插值查找插值查找定义时间复杂度插值查找是一种类似于二分查找插值查找的时间复杂度在平均情况下为，但最Interpolation SearchOlog logn的查找算法，它通过计算目标元素在查找范围内的相对位置坏情况下时间复杂度仍然为On来确定下一步查找的起始位置散列表原理散列表定义特点散列表是一种数据结构，它使用散列函数将散列表具有以下特点Hash Table键映射到数组中的索引位置，从而快速查找、插入和删除数•可以快速查找、插入和删除数据据•平均情况下时间复杂度为O1•最坏情况下时间复杂度为On散列函数设计散列函数定义1散列函数是一种将键映射到索引位置的函Hash Function数，它需要满足以下性质•一致性相同的键应该映射到相同的索引位置•均匀性不同的键应该尽可能均匀地分布在索引位置上设计原则2散列函数的设计需要考虑以下原则•简单易懂•计算效率高•能够有效地避免冲突冲突解决方法开放定址法1开放定址法是指当发生冲突时，在散列表中寻找下一个空的索引位置，并将数据存储到该位置开放定址法有线性探测、二次探测、双重散列等几种方法链地址法2链地址法是指将所有散列到同一个索引位置的元素存储在一个链表中当发生冲突时，新元素将被插入到该链表的末尾排序算法概述排序定义1排序是指将一个无序的线性表按照一定的规则排列成有序的线性表排序算法是计算机科学中最基础的算法之一，它在数据处理、信息检索、数据库管理等领域具有广泛的应用分类2排序算法可以分为以下几种类型•插入排序•交换排序•选择排序•归并排序•堆排序•基数排序•桶排序冒泡排序详解冒泡排序定义时间复杂度冒泡排序是一种简单的排序算法，它重复冒泡排序的时间复杂度为，因为它需要对数组进行Bubble SortOn^2地遍历要排序的数组，比较相邻的两个元素，如果它们顺序次遍历，每次遍历需要比较对元素n n-1不对，就交换它们的位置选择排序分析选择排序定义时间复杂度选择排序是一种简单的排序算法，它在选择排序的时间复杂度也为Selection SortOn^2数组中找到最小元素，并将其与第一个元素交换位置，然后在剩下的元素中找到最小元素，并将其与第二个元素交换位置，以此类推，直到整个数组都被排序插入排序优化插入排序定义时间复杂度插入排序是一种简单的排序算法，它将插入排序的时间复杂度为，但在数据基本有序的情Insertion SortOn^2待排序的元素插入到已经排序好的序列中况下，插入排序的效率很高，时间复杂度可以接近On希尔排序原理希尔排序定义时间复杂度希尔排序是一种基于插入排序的排序算法，希尔排序的时间复杂度在最坏情况下为，但在平均Shell SortOn^2它将待排序的数组分成若干个子数组，然后对每个子数组进情况下可以达到On^3/2行插入排序，最后将所有子数组合并在一起快速排序实现快速排序定义时间复杂度快速排序是一种效率很高的排序算法，它选快速排序的平均时间复杂度为，最坏情况下时间Quick SortOn logn择一个基准元素，将数组划分为两个子数组，一个子数组中复杂度为，但这种情况很少出现On^2的元素都小于基准元素，另一个子数组中的元素都大于基准元素然后递归地对这两个子数组进行快速排序归并排序分析归并排序定义时间复杂度归并排序是一种稳定的排序算法，它将待排归并排序的时间复杂度始终为，即使在最坏情况Merge SortOn logn序的数组递归地划分为两个子数组，然后对这两个子数组进下也是如此行排序，最后将两个有序的子数组合并成一个有序的数组堆排序详解堆排序定义时间复杂度堆排序是一种基于堆数据结构的排序算法，堆排序的时间复杂度为，它在平均情况下和最坏Heap SortOn logn它首先将待排序的数组构建成一个最大堆或最小堆，然后不情况下都具有相同的效率断地将堆顶元素与最后一个元素交换位置，并对剩下的元素进行调整，直到堆为空，则排序完成计数排序计数排序定义时间复杂度计数排序是一种线性时间复杂度的排序计数排序的时间复杂度为，其中是数组的长度，Counting SortOn+k nk算法，它适用于数据范围较小的情况计数排序的思路是是数据范围的大小先统计每个元素出现的次数，然后根据统计结果将元素排序基数排序基数排序定义时间复杂度基数排序是一种非比较排序算法，它根据元基数排序的时间复杂度为，其中是数组的长度，是Radix SortOnk nk素的数字位进行排序基数排序的思路是先根据最低位数数据位数字对元素进行排序，然后根据次低位数字进行排序，依次类推，直到所有位数都被排序桶排序原理桶排序定义时间复杂度桶排序是一种非比较排序算法，它将待排桶排序的平均时间复杂度为，其中是数组的长度，Bucket SortOn+k n序的元素分配到多个桶中，每个桶中的元素都属于一个特定是桶的数量k的范围，然后对每个桶中的元素进行排序，最后将所有桶中的元素合并起来外部排序基础外部排序定义实现方法外部排序是指将数据存储在外部存储外部排序的实现方法通常包括以下步骤External Sorting器（例如磁盘）中，并对这些数据进行排序的方法外部排•将数据划分成多个块，每个块的大小可以装入内存序通常用于处理数据量过大，无法一次性装入内存的情况•对每个块进行内部排序•将排序好的块合并成一个有序的序列动态规划基础动态规划定义特点动态规划是一种解决优化问动态规划具有以下特点Dynamic Programming题的方法，它通过将问题分解成子问题，并存储子问题的•将问题分解成子问题解，从而避免重复计算，最终得到问题的最优解•存储子问题的解，避免重复计算•具有最优子结构性质•具有重叠子问题性质贪心算法应用贪心算法定义应用场景贪心算法是一种常用的算法设计策贪心算法常用于解决一些实际问题，例如，找零钱问题、活Greedy Algorithm略，它在每一步选择中都选择当前看起来最优的选择，期望动安排问题、背包问题等最终得到问题的最优解。