《方程与方程组》课件

方程与方程组课程目标与学习要求了解方程和方程组的概念掌握解一元一次方程、二元一次方程组的方法什么是方程方程的基本概念未知数方程中需要求解的变系数未知数前的数字，例如12量，通常用字母表示，例如2x中的2就是系数x、y、z等等式与方程的区别等式方程等式是表示两个表达式相等的数学语句，例如2+3=5，等式方程包含未知数，是等式的一种特殊形式，例如x+2=5，等两边都是已知数值，没有未知数式中存在未知数x，需要通过解方程来求出x的值一元一次方程的定义一元一次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的方程例如2x+3=5，这个方程只含有一个未知数x，且x的最高次数为1一元一次方程的基本性质等式两边同时加上或减去同一等式两边同时乘以或除以同一12个数，等式仍然成立个非零数，等式仍然成立方程两边可以互换，等式仍然成立3解一元一次方程的步骤去分母

1.如果有分母，将方程两边同时乘以最小公倍数去括号

2.如果有括号，根据分配律展开括号合并同类项

3.将相同字母的项合并在一起，将常数项合并在一起移项

4.将含有未知数的项移到等式的一边，将常数项移到另一边，注意符号的变化系数化一

5.将未知数的系数化为1去分母去分母是指将方程中的分数化为整数，方法是将方程两边同时乘以分母的最小公倍数例如，方程2x+1/3=5/2可以通过将两边同时乘以6来去分母22x+1=15去括号去括号是指将方程中的括号去掉，方法是根据分配律展开括号例如，方程2x+3=5可以通过将2分配到括号内来去括号2x+6=5合并同类项合并同类项是指将方程中相同字母的项合并在一起，将常数项合并在一起例如，方程2x+3+4x-2=5可以通过合并同类项简化为6x+1=5移项移项是指将方程中含有未知数的项移到等式的一边，将常数项移到另一边移项时，要注意符号的变化加号变减号，减号变加号例如，方程6x+1=5可以通过将1移到等式右边，将5移到等式左边来移项6x=5-1系数化一系数化一是指将未知数的系数化为1方法是将方程两边同时除以未知数的系数例如，方程6x=4可以通过将两边同时除以6来系数化一x=4/6解方程练习1解方程3x+5=14解3x=14-53x=9x=9/3x=3解方程练习2解方程2x+1=6解2x+2=62x=6-22x=4x=4/2x=2解方程练习3解方程x-1/2+3=5解x-1/2=5-3x-1=2*2x-1=4x=4+1x=5实际应用问题举例方程可以用于解决各种实际应用问题，例如计算商品价格、求解时间、计算距离、分析数据等等通过建立数学模型，我们可以将实际问题转化为方程，并利用解方程的方法得到问题的答案一元一次方程应用案例1小明买了3个苹果和2个梨，共花了11元已知苹果每个2解设梨每个x元元，求梨每个多少钱？3*2+2x=116+2x=112x=11-62x=5x=5/2x=

2.5答梨每个

2.5元一元一次方程应用案例2一个长方形的周长是20厘米，长比宽多2厘米，求长方形的长解设长方形的宽为x厘米，则长为x+2厘米和宽2x+x+2=202x+2=102x=8x=4x+2=6答长方形的长为6厘米，宽为4厘米一元一次方程应用案例3小明骑自行车从家到学校，速度为12千米/小时，用了20分解设小明家到学校的距离为x千米钟求小明家到学校的距离x=12*20/60x=4答小明家到学校的距离为4千米解应用题的一般步骤审题

1.认真阅读题意，理解题目所描述的问题和要求设未知数

2.用字母表示题目中的未知量列方程

3.根据题意，将问题转化为数学方程解方程

4.运用方程的解法，求出未知数的值检验

5.将求出的解代入原方程，检验是否符合题意作答

6.写出答案，并注意单位二元一次方程的概念二元一次方程是指包含两个未知数，且未知数的最高次数为1的方程例如2x+3y=5，这个方程包含两个未知数x和y，且x和y的最高次数都为1二元一次方程的基本形式二元一次方程的一般形式为ax++c=0，其中a、b、c是常数，且a和b不同时为0二元一次方程组的定义二元一次方程组是指包含两个未知数，且每个方程都是二元一次方程的方程组例如2x+3y=5x-2y=1这个方程组包含两个未知数x和y，且每个方程都是二元一次方程二元一次方程组的解二元一次方程组的解是指同时满足方程组中所有方程的一组未知数的值例如，方程组2x+3y=5x-2y=1的解为x=1，y=1解二元一次方程组的方法概述代入消元法加减消元法将一个方程中解出的某个未知数的表达式代入另一个方程，将方程组中两个方程的两边分别乘以适当的系数，使其中一从而消去一个未知数，最后解出另一个未知数个未知数的系数互为相反数，然后将两个方程相加或相减，从而消去一个未知数，最后解出另一个未知数代入消元法原理代入消元法是指将一个方程中解出的某个未知数的表达式代入另一个方程，从而消去一个未知数，最后解出另一个未知数例如，方程组2x+3y=5x-2y=1可以先从第二个方程解出x=2y+1，然后将这个表达式代入第一个方程，得到22y+1+3y=5，解出y=1，最后将y=1代入x=2y+1，解出x=3代入消元法示例1解方程组x+2y=53x-y=1解从第二个方程解出y=3x-1，将这个表达式代入第一个方程，得到x+23x-1=5，解出x=1，最后将x=1代入y=3x-1，解出y=2代入消元法示例2解方程组2x-y=4x+3y=7解从第二个方程解出x=7-3y，将这个表达式代入第一个方程，得到27-3y-y=4，解出y=1，最后将y=1代入x=7-3y，解出x=4加减消元法原理加减消元法是指将方程组中两个方程的两边分别乘以适当的系数，使其中一个未知数的系数互为相反数，然后将两个方程相加或相减，从而消去一个未知数，最后解出另一个未知数例如，方程组2x+3y=5x-2y=1可以将第一个方程乘以2，将第二个方程乘以3，得到4x+6y=103x-6y=3，然后将两个方程相加，得到7x=13，解出x=13/7，最后将x=13/7代入第一个方程，解出y=11/7加减消元法示例1解方程组2x+y=5x-y=1解将第二个方程乘以1，得到x-y=1，然后将两个方程相加，得到3x=6，解出x=2，最后将x=2代入第一个方程，解出y=1加减消元法示例2解方程组3x+2y=7x-2y=1解将第二个方程乘以2，得到2x-4y=2，然后将两个方程相加，得到5x=9，解出x=9/5，最后将x=9/5代入第一个方程，解出y=8/5解方程组练习1解方程组x+y=32x-y=1解将两个方程相加，得到3x=4，解出x=4/3，最后将x=4/3代入第一个方程，解出y=5/3解方程组练习2解方程组3x-2y=5x+2y=1解将两个方程相加，得到4x=6，解出x=3/2，最后将x=3/2代入第一个方程，解出y=-1/4解方程组练习3解方程组2x+5y=1x-3y=2解将第二个方程乘以2，得到2x-6y=4，然后将两个方程相减，得到11y=-3，解出y=-3/11，最后将y=-3/11代入第一个方程，解出x=17/11二元一次方程组应用案例1小明买了2个苹果和3个梨，共花了8元小红买了1个苹果解设苹果的价格为x元，梨的价格为y元和2个梨，共花了5元求苹果和梨的价格根据题意，可以列出方程组2x+3y=8x+2y=5解这个方程组，可以得到x=1，y=2答苹果的价格为1元，梨的价格为2元二元一次方程组应用案例2某电影院售出成人票100张，儿童票50张，共收入5000元解设成人票的总收入为x元，儿童票的总收入为y元已知成人票每张50元，儿童票每张20元，求成人票和儿童票根据题意，可以列出方程组x+y=5000x/50+y/20=的总收入分别为多少元？150解这个方程组，可以得到x=4000，y=1000答成人票的总收入为4000元，儿童票的总收入为1000元二元一次方程组应用案例3甲、乙两种糖果，甲糖果每千克10元，乙糖果每千克15元解设混合糖果的平均价格为x元/千克现将2千克甲糖果和3千克乙糖果混合在一起，求混合糖果的根据题意，可以列出方程2*10+3*15=5*x平均价格解这个方程，可以得到x=13答混合糖果的平均价格为13元/千克解应用题技巧总结审题设未知数仔细阅读题意，理解题目所描述的问题和要求，找到题目中用字母表示题目中的未知量，并明确未知量的含义的关键信息列方程解方程根据题意，将问题转化为数学方程，要注意方程中各个量的运用方程的解法，求出未知数的值，并注意解的合理性关系检验作答将求出的解代入原方程，检验是否符合题意，确保解的正确写出答案，并注意单位，使答案完整、清晰性三元一次方程组简介三元一次方程组是指包含三个未知数，且每个方程都是三元一次方程的方程组例如x+2y-3z=12x-y+z=23x+y-2z=3这个方程组包含三个未知数x、y、z，且每个方程都是三元一次方程三元一次方程组求解方法代入消元法将一个方程中解出的某个未知数的表达式代入另外两个方程，从而消去一个未知数，最后得到一个二元一次方程组，再利用代入消元法或加减消元法求解加减消元法将方程组中两个方程的两边分别乘以适当的系数，使其中一个未知数的系数互为相反数，然后将两个方程相加或相减，从而消去一个未知数，最后得到一个二元一次方程组，再利用代入消元法或加减消元法求解三元一次方程组示例解方程组x+2y-3z=12x-y+z=23x+y-2z=3解将第一个方程乘以2，得到2x+4y-6z=2，然后将它与第二个方程相减，得到3y-7z=0将第一个方程乘以3，得到3x+6y-9z=3，然后将它与第三个方程相减，得到5y-7z=0现在我们得到了一个二元一次方程组3y-7z=05y-7z=0，解这个方程组，可以得到y=0，z=0最后将y=0，z=0代入第一个方程，得到x=1分式方程的概念分式方程是指含有未知数的分式的方程例如x/2+1/x=3这个方程中，x出现在分母中，因此它是一个分式方程分式方程的解法去分母解整式方程将方程两边同时乘以分母的最运用整式方程的解法，求出未小公倍数，将方程化为整式方知数的值程检验将求出的解代入原方程，检验是否符合题意，并排除使分母为零的解分式方程注意事项在解分式方程时，要注意以下几点

1.去分母时，要同时乘以所有分母的最小公倍数

2.解整式方程时，要注意移项和合并同类项的符号变化

3.最后要检验解是否符合原方程，并排除使分母为零的解分式方程练习1解方程1/x-1=2/x+1解将方程两边同时乘以x-1x+1，得到x+1=2x-1，解出x=3检验发现x=3符合原方程，因此x=3是方程的解分式方程练习2解方程x+1/x-1=2解将方程两边同时乘以x-1，得到x+1=2x-1，解出x=3检验发现x=3符合原方程，因此x=3是方程的解二次方程的概念二次方程是指含有未知数，且未知数的最高次数为2的方程例如x^2+2x-3=0这个方程中，x的最高次数为2，因此它是一个二次方程二次方程的标准形式二次方程的标准形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a不等于0二次方程的解法概述因式分解法配方法将二次方程的左边分解为两个将二次方程的左边配成一个完一次因式的乘积，然后分别令全平方，然后利用平方根的性每个因式等于0，解出两个质求解解公式法利用二次方程的求根公式直接求解因式分解法因式分解法是指将二次方程的左边分解为两个一次因式的乘积，然后分别令每个因式等于0，解出两个解例如，方程x^2+2x-3=0可以分解为x+3x-1=0，因此x=-3或x=1是方程的解配方法配方法是指将二次方程的左边配成一个完全平方，然后利用平方根的性质求解例如，方程x^2+4x-5=0可以先将常数项移到等式右边，得到x^2+4x=5，然后将左边配成一个完全平方，即x+2^2=9，再利用平方根的性质，得到x+2=3或x+2=-3，解出x=1或x=-5公式法公式法是指利用二次方程的求根公式直接求解二次方程ax^2+bx+c=0的求根公式为x=-b±√b^2-4ac/2a例如，方程x^2+2x-3=0可以利用公式法求解x=-2±√2^2-4*1*-3/2*1x=-2±√16/2x=-2±4/2x=1或x=-3二次方程练习1解方程x^2-4x+3=0解将方程分解为x-1x-3=0，因此x=1或x=3是方程的解二次方程练习2解方程x^2+6x+5=0解将方程分解为x+1x+5=0，因此x=-1或x=-5是方程的解二次方程应用案例一个物体从空中自由落下，它的高度h米与时间t秒之间的解物体落地时高度为0，因此将h=0代入方程，得到-5t^2关系为h=-5t^2+100求物体经过多少秒落地？+100=0，解这个方程，得到t=2√5答物体经过2√5秒落地方程的综合练习综合练习是指将不同类型的方程混合在一起进行练习，例如一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、二次方程等等综合练习可以帮助我们巩固方程的解法，并提高我们的解题能力常见错误分析在解方程的过程中，常见的错误包括

1.去分母时，没有乘以所有分母的最小公倍数

2.移项时，符号变化错误

3.合并同类项时，没有将相同字母的项合并在一起

4.检验解时，没有代入原方程进行检验

5.没有排除使分母为零的解解题技巧总结仔细审题合理设未知数认真阅读题意，理解题目所描述的问题和要求，找到题目中用字母表示题目中的未知量，并明确未知量的含义，确保未的关键信息，并将其转化为数学语言知数的设置能够帮助我们建立方程正确列方程灵活运用解题方法根据题意，将问题转化为数学方程，要注意方程中各个量的根据方程的类型，选择合适的解题方法，并熟练掌握各种解关系，确保方程能够反映题目的实际情况题技巧，提高解题效率和准确性认真检验解完整作答将求出的解代入原方程，检验是否符合题意，确保解的正确写出答案，并注意单位，使答案完整、清晰，并符合题目的性，并排除使分母为零的解要求课程知识点回顾本课程主要讲解了方程和方程组的概念、性质、解法以及应用从一元一次方程到二元一次方程组，再到三元一次方程组，我们逐步学习了如何解各种类型的方程，并能够运用方程解决实际问题通过本课程的学习，相信大家对方程和方程组有了更深入的理解，并掌握了一定的解题技巧。