《概率论复习提纲》课件

概率论全面复习提纲什么是概率论？基本定义与意义概率论的定义概率论的意义概率论是研究随机现象规律的数学分支，关注随机事件发生的可能性大小，以及这些可能性之间的关系它提供了一种量化不确定性的方法，使我们能够在不确定的环境中做出合理的决策概率论在现实生活中的应用金融投资医学诊断概率论被广泛应用于金融市场的风在医学领域，概率论用于疾病诊断、险评估、投资组合优化和衍生品定药物研发和临床试验设计通过分价通过分析历史数据和市场趋势，析患者的症状、体征和检验结果，概率模型可以帮助投资者预测未来医生可以利用概率模型来评估患者的市场波动，从而做出更明智的投患某种疾病的风险，从而制定个性资决策化的治疗方案工程设计概率论的历史发展萌芽阶段1世纪，概率论起源于对赌博问题的研究帕斯卡和费马等数学家开17始思考如何计算各种赌博游戏中获胜的概率，为概率论的诞生奠定了基础发展阶段2世纪，贝努利、棣莫弗和拉普拉斯等数学家进一步发展了概率论的18理论体系他们提出了大数定律、中心极限定理等重要概念，并将其应用于人口统计、保险精算等领域现代阶段3概率的基本概念随机试验样本空间随机事件12随机试验是指在相同条件下可以重复样本空间是随机试验所有可能结果的进行，但每次试验的结果不确定，且集合，通常用表示样本空间中的Ω所有可能的结果事先已知的试验每个元素称为样本点随机事件的定义基本事件基本事件是指只包含一个样本点的事件，是构成其他事件的基础复合事件复合事件是指包含多个样本点的事件，可以分解为若干个基本事件的并必然事件必然事件是指在每次试验中都一定会发生的事件，即样本空间本身不可能事件不可能事件是指在每次试验中都不会发生的事件，即空集事件的基本运算并事件（和事件）交事件（积事件）1事件和事件的并事件是指和中至少事件和事件的交事件是指和同时发A B A BA BA B有一个发生的事件，记作∪2生的事件，记作A BA∩B互斥事件（不相容事件）差事件4如果∅，则称和是互斥事件，即事件和事件的差事件是指发生但不A∩B=A BA BA B3和不能同时发生发生的事件，记作A BA-B概率的基本性质非负性对于任何事件，都有，即事件发生的概率是非负的1A PA≥0规范性2样本空间Ω的概率为1，即PΩ=1，表示在每次试验中，必然会发生样本空间中的某个事件可加性3对于互斥事件A和B，有PA∪B=PA+PB，即互斥事件的并事件的概率等于各事件概率之和概率的基本性质是概率论的基石，它们确保了概率的合理性和一致性，使我们能够用概率来描述和预测随机现象古典概型定义计算公式古典概型是指具有以下两个特点的概率模型样本空间包含有限个在古典概型中，事件A发生的概率等于A包含的样本点个数除以样样本点；每个样本点发生的概率相等例如，抛硬币、掷骰子等都本空间包含的样本点总数，即PA=事件A包含的样本点个数/样本属于古典概型空间包含的样本点总数频率定义与概率定义频率定义1在相同的条件下重复进行n次试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为m/n频率反映了事件在过去试验中发生的频繁程度概率定义概率是事件发生的可能性大小的度量，是客观存在的当试验次2数趋于无穷大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是n事件发生的概率A频率是概率的近似值，概率是频率的理论极限通过大量的试验，我们可以用频率来估计概率，从而了解事件发生的可能性条件概率的基本概念定义计算公式条件概率是指在事件B已经发生的条件条件概率的计算公式为下，事件发生的概率，记作，其中A PA|B PA|B=PA∩B/PB PB0它反映了在已知某些信息的情况下，这个公式表明，条件概率等于A和B同事件发生的可能性大小时发生的概率除以B发生的概率乘法公式详解公式内容公式应用乘法公式是根据条件概率的定义推导出来的，用于计算两个事件同乘法公式可以推广到多个事件的情况例如，对于三个事件A、时发生的概率公式为、，有乘法公式在解决实际PA∩B=PBPA|B=PAPB|A BC PA∩B∩C=PAPB|APC|A∩B问题中非常有用，可以帮助我们计算复杂事件的概率全概率公式公式内容公式意义应用场景123设B1,B2,...,Bn是一组互斥事件，且全概率公式提供了一种计算事件A发全概率公式常用于解决以下类型的问它们的并等于样本空间Ω，则对于任生的概率的方法，即将A分解为在不题已知事件A在不同条件下发生的何事件A，有同条件下发生的概率之和它在解决概率，以及各个条件发生的概率，求PA=PA|B1PB1+PA|B2PB2+...实际问题中非常有用，可以帮助我们事件A发生的总概率+PA|BnPBn计算复杂事件的概率贝叶斯公式公式内容贝叶斯公式是根据条件概率和全概率公式推导出来的，用于计算在已知事件发生的条件下，事件发生的概率公式为A BiPBi|A=PA|BiPBi/PA公式意义贝叶斯公式提供了一种根据已知信息更新概率的方法，它可以帮助我们根据新的证据调整对事件发生的可能性的判断它在人工智能、机器学习等领域有着广泛的应用应用场景贝叶斯公式常用于解决以下类型的问题已知事件在不同条件下A发生的概率，以及各个条件发生的概率，求在事件已经发生的条A件下，某个条件发生的概率独立性与相互独立事件独立事件相互独立事件如果事件和事件满足，则称和是独立事如果事件满足对于任何（）个事件A B PA∩B=PAPB A BA1,A2,...,An k2≤k≤n Ai1,Ai2,...,件，即的发生与否不影响的发生，反之亦然，都有，则称A BAik PAi1∩Ai2∩...∩Aik=PAi1PAi

2...PAik A1,是相互独立事件A2,...,An伯努利概型定义1伯努利概型是指在相同的条件下重复进行n次独立的试验，每次试验只有两种可能的结果成功或失败每次试验成功的概率为，失败的概率为p1-p伯努利试验2每次独立的试验称为伯努利试验，也称为试验0-1二项分布在次伯努利试验中，成功的次数服从二项分布，记作n Bn,p3二项分布的概率质量函数为，其中PX=k=Cn,kp^k1-p^n-kk=0,1,...,n随机变量的概念定义作用随机变量是指取值具有随机性的变量，随机变量是概率论中重要的概念，它它可以是离散的，也可以是连续的可以将随机试验的结果数量化，从而随机变量通常用大写字母X、Y、Z等表可以用数学方法来研究随机现象的规示律离散型随机变量定义概率质量函数离散型随机变量是指取值只能取有限个或可列无限个值的随机变量离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数来描述，概率质量例如，掷骰子的点数、某地区一天的降雨量等都是离散型随机变量函数是指随机变量取每个值的概率通常用PX=x表示随机变量X取值为的概率x连续型随机变量定义1连续型随机变量是指取值可以取某个区间内的任何值的随机变量例如，人的身高、温度等都是连续型随机变量概率密度函数2连续型随机变量的概率分布可以用概率密度函数来描述，概率密度函数是指随机变量在某个点附近的概率密度通常用表示随机变量在处的概率密度fx X x概率计算3连续型随机变量在某个区间内的概率等于概率密度函数在该区间上的积分，即到Pa≤X≤b=∫a bfxdx概率分布函数定义性质概率分布函数是指随机变量取值小于等于的概率，通常用表概率分布函数具有以下性质非负性、单调递增性、右连续性、XxFx F-示，即概率分布函数是描述随机变量概率分布的通用，Fx=PX≤x∞=0F+∞=1方法，适用于离散型和连续型随机变量概率密度函数定义性质概率密度函数是指连续型随机变量在某个点附近的概率密度，通常概率密度函数与概率分布函数之间存在以下关系Fx=∫-∞到用表示概率密度函数是非负的，且在整个实数范围内的积分，这意味着概率分布函数是概率密度函数的积fx xftdtfx=Fx等于1，即∫-∞到+∞fxdx=1分，概率密度函数是概率分布函数的导数常见离散型分布伯努利分布二项分布12伯努利分布是指只进行一次试二项分布是指在相同的条件下验，试验结果只有两种可能重复进行n次独立的伯努利试验，成功或失败的分布成功的概成功的次数的分布率为，失败的概率为p1-p泊松分布3泊松分布是指在一定时间或空间内，随机事件发生的次数的分布例如，某医院一天内接诊的急诊病人数量、某地区一年内发生的交通事故数量等都服从泊松分布二项分布定义二项分布是指在相同的条件下重复进行次独立的伯努利试验，成n功的次数的分布每次试验成功的概率为，失败的概率为p1-p概率质量函数二项分布的概率质量函数为，其中PX=k=Cn,kp^k1-p^n-k，表示从个元素中选取个元素的组合数k=0,1,...,n Cn,k nk期望与方差二项分布的期望为，方差为EX=np DX=np1-p泊松分布定义概率质量函数泊松分布是指在一定时间或空间内，随机事件发生的次数的分布泊松分布的概率质量函数为PX=k=λ^k e^-λ/k!，其中k=0,1,例如，某医院一天内接诊的急诊病人数量、某地区一年内发生的交2,...，λ表示单位时间或空间内事件发生的平均次数通事故数量等都服从泊松分布几何分布定义1几何分布是指在相同的条件下重复进行伯努利试验，直到第一次成功为止，试验次数的分布每次试验成功的概率为，失败的概率为p1-p概率质量函数2几何分布的概率质量函数为PX=k=1-p^k-1p，其中k=1,2,3,...，表示在第k次试验时第一次成功的概率期望与方差3几何分布的期望为，方差为EX=1/p DX=1-p/p^2常见连续型分布正态分布均匀分布指数分布正态分布是自然界中最常见的分布之一，许均匀分布是指在某个区间内，随机变量取任指数分布是指随机事件发生的时间间隔的分多随机变量都近似服从正态分布例如，人何值的概率都相等的分布例如，随机数生布例如，电子设备的寿命、顾客到达服务的身高、体重、智商等都近似服从正态分布成器生成的随机数就服从均匀分布台的时间间隔等都服从指数分布正态分布定义性质正态分布是指概率密度函数为正态分布具有以下性质关于对称，在处取得最大值，曲fx=1/σ√2πe^-x-μ^2/2σ^2x=μx=μ的分布，其中表示期望，表示标准差线呈钟形，决定了曲线的位置，决定了曲线的陡峭程度正态μσμσ分布在统计推断中有着重要的应用均匀分布定义1均匀分布是指在某个区间[a,b]内，随机变量取任何值的概率都相等的分布概率密度函数为fx=1/b-a，a≤x≤b性质2均匀分布具有以下性质在区间[a,b]内，概率密度函数为常数，在区间[a,b]外，概率密度函数为均匀分布的期望为，方差为0EX=a+b/2DX=b-a^2/12应用3均匀分布常用于模拟随机事件的发生，例如，随机数生成器生成的随机数就服从均匀分布指数分布定义无记忆性指数分布是指随机事件发生的时间间指数分布具有无记忆性，即隔的分布概率密度函数为，表示如果事件fx=λe^-PXs+t|Xs=PXt，，，表示单位时间或空已经持续了时间，那么它再持续时间λx x≥0λ0λs t间内事件发生的平均次数的概率与它一开始就持续t时间的概率相同随机变量的数字特征数字特征作用随机变量的数字特征是指用于描述随机变量概率分布某些方面的数随机变量的数字特征可以帮助我们了解随机变量的取值范围、平均值例如，期望、方差、标准差、协方差、相关系数等都是随机变水平、离散程度、相关性等信息，从而更好地理解和应用概率论量的数字特征数学期望的定义离散型随机变量连续型随机变量12离散型随机变量的数学期望是连续型随机变量的数学期望是X X指的每个取值乘以其概率的指乘以其概率密度函数的积X X和，即数学期分，即到EX=∑xPX=x EX=∫-∞+∞xfxdx望反映了随机变量的平均水数学期望也反映了随机变量的平平均水平性质3数学期望具有线性性质，即，其中和是常数，EaX+bY=aEX+bEY ab X和是随机变量数学期望在统计推断中有着重要的应用Y方差的定义定义方差是指随机变量的每个取值与其期望的差的平方的期望，即X方差反映了随机变量的离散程度，方差越大，DX=E[X-EX^2]随机变量的取值越分散计算公式方差的计算公式为这个公式表明，方差等DX=EX^2-[EX]^2于的平方的期望减去的期望的平方X X性质方差具有以下性质，其中和是常数，是随DaX+b=a^2DX ab X机变量方差在风险评估、投资决策等方面有着重要的应用标准差定义意义标准差是指方差的平方根，即σ=√DX标准差也反映了随机变量标准差的单位与随机变量的单位相同，因此比方差更具有实际意义的离散程度，标准差越大，随机变量的取值越分散例如，如果随机变量表示身高，单位是厘米，那么标准差的单位也是厘米，可以直观地表示身高的离散程度期望的线性性质公式1对于随机变量X和Y，以及常数a和b，有EaX+bY=aEX+bEY这个公式表明，线性组合的期望等于期望的线性组合应用2期望的线性性质可以简化期望的计算，例如，如果已知EX和EY，就可以直接计算，而不需要知道和的具体分布EaX+bY X Y推广期望的线性性质可以推广到多个随机变量的情况例如，对于随3机变量，以及常数，有X1,X2,...,Xn a1,a2,...,anEa1X1+a2X2+...+anXn=a1EX1+a2EX2+...+anEXn方差的计算方法公式简化计算方差的计算公式为这个公式表在实际计算中，可以先计算出和，然后代入公式计算方DX=E[X-EX^2]=EX^2-[EX]^2EX EX^2明，方差等于的平方的期望减去的期望的平方差这样可以避免直接计算，从而简化计算过程X XE[X-EX^2]协方差与相关系数协方差相关系数协方差是指随机变量和的每个取值与其期望的差的乘积的期望，相关系数是指协方差除以和的标准差的乘积，即X YX Yρ=CovX,即协方差反映了随相关系数的取值范围为，相关系数越接近，表CovX,Y=E[X-EXY-EY]=EXY-EXEY Y/σXσY[-1,1]1机变量和之间的线性相关程度示和之间的正相关程度越高；相关系数越接近，表示和之X YX Y-1X Y间的负相关程度越高；相关系数越接近，表示和之间的线性相0XY关程度越低大数定律切比雪夫大数定律辛钦大数定律12切比雪夫大数定律是指对于随辛钦大数定律是指对于随机变机变量，如果它们量，如果它们相互X1,X2,...,Xn X1,X2,...,Xn相互独立，且具有相同的期望独立，且具有相同的分布和期和有限的方差，则它们的平均望，则它们的平均值依概率收值依概率收敛于它们的期望敛于它们的期望即对于任意即对于任意的，有的，有ε0ε0limn→∞P|X1+X2+...+Xn/n-limn→∞P|X1+X2+...+Xn/n-EX|ε=0EX|ε=0伯努利大数定律3伯努利大数定律是指在次独立的伯努利试验中，成功的频率依概率收敛n于成功的概率即对于任意的，有成功的次数ε0limn→∞P|/n-，其中表示每次试验成功的概率p|ε=0p切比雪夫不等式公式切比雪夫不等式是指对于随机变量，如果它具有期望和方差X EX，则对于任意的，有这个不等式给DXε0P|X-EX|≥ε≤DX/ε^2出了随机变量取值偏离其期望的概率的上界应用切比雪夫不等式可以用于估计随机变量的取值范围，例如，可以用于估计某产品的合格率、某地区的平均收入等切比雪夫不等式不需要知道随机变量的具体分布，只需要知道其期望和方差即可意义切比雪夫不等式是概率论中重要的不等式之一，它为我们提供了一种在不知道随机变量具体分布的情况下，估计随机变量取值范围的方法中心极限定理内容意义中心极限定理是指对于随机变量X1,X2,...,Xn，如果它们相互独立，中心极限定理是概率论中最重要的定理之一，它表明许多随机变量且具有相同的分布，则当n足够大时，它们的平均值近似服从正态的平均值都近似服从正态分布，这为统计推断提供了理论基础中分布即X1+X2+...+Xn/n近似服从NEX,DX/n，其中EX表心极限定理在工程、金融、医学等领域有着广泛的应用示的期望，表示的方差X DXX正态分布的应用统计推断1由于中心极限定理的存在，许多统计量都近似服从正态分布，因此可以使用正态分布进行统计推断，例如，假设检验、置信区间估计等风险评估2在金融领域，正态分布常用于模拟资产价格的波动，从而进行风险评估例如，可以使用正态分布来计算投资组合的风险价值质量控制在质量控制领域，正态分布常用于分析产品的质量特性，从而进3行质量控制例如，可以使用正态分布来判断某产品的质量是否符合标准随机抽样定义方法随机抽样是指从总体中随机抽取一部分个体作为样本的过程随机常见的随机抽样方法有简单随机抽样、分层抽样、整群抽样、系统抽样是统计推断的基础，通过对样本进行分析，可以推断总体的特抽样等不同的抽样方法适用于不同的情况，应根据实际情况选择征合适的抽样方法参数估计基本概念定义类型参数估计是指利用样本信息对总体的未知参数进行估计的过程参参数估计分为点估计和区间估计两种类型点估计是指用一个具体数估计是统计推断的重要内容，通过对样本进行分析，可以估计总的数值来估计总体的参数值，区间估计是指用一个区间来估计总体体的参数值的参数值点估计定义评价标准12点估计是指用一个具体的数值评价点估计的标准有无偏性、来估计总体的参数值例如，有效性、一致性等无偏性是可以用样本均值来估计总体均指估计量的期望等于被估计的值，用样本方差来估计总体方参数值；有效性是指在无偏估差计量中，方差最小的估计量；一致性是指当样本容量趋于无穷大时，估计量依概率收敛于被估计的参数值常用方法3常用的点估计方法有矩估计法、极大似然估计法等矩估计法是利用样本矩来估计总体的参数值；极大似然估计法是选择使样本出现的概率最大的参数值作为估计值区间估计定义区间估计是指用一个区间来估计总体的参数值例如，可以用样本均值误差范围，样本均值误差范围来估计总体均值-+置信水平置信水平是指区间估计的可靠程度，通常用表示，其中表示1-αα显著性水平置信水平越高，表示区间估计越可靠置信区间置信区间是指在给定的置信水平下，包含总体参数值的区间置信区间的长度反映了估计的精度，置信区间越短，表示估计的精度越高假设检验基础定义步骤假设检验是指根据样本信息判断对总体的某种假设是否成立的过程假设检验的步骤包括提出原假设和备择假设、选择检验统计量、假设检验是统计推断的重要内容，通过对样本进行分析，可以判断确定显著性水平、计算检验统计量的值、做出决策原假设是指研总体的某种假设是否成立究者希望推翻的假设；备择假设是指研究者希望证明的假设；检验统计量是指用于判断原假设是否成立的统计量；显著性水平是指拒绝原假设的概率显著性水平定义1显著性水平是指在原假设成立的情况下，拒绝原假设的概率，通常用α表示显著性水平是研究者事先设定的，常用的取值为、、等

0.

050.

010.10意义2显著性水平反映了研究者对犯第一类错误的容忍程度显著性水平越低，表示研究者对犯第一类错误的容忍程度越低选择显著性水平的选择应根据实际情况而定如果研究的后果比较严3重，应选择较低的显著性水平；如果研究的后果不严重，可以选择较高的显著性水平第一类错误与第二类错误第一类错误第二类错误检验效能第一类错误是指原假设第二类错误是指原假设检验效能是指当原假设为真，但被拒绝的错为假，但未被拒绝的错为假时，拒绝原假设的误，也称为弃真错误误，也称为取伪错误概率，即1-β检验效能犯第一类错误的概率为犯第二类错误的概率为越高，表示检验越能正α，即显著性水平β确地拒绝原假设置信区间定义计算置信区间是指在给定的置信水平下，包含总体参数值的区间置信置信区间的计算方法取决于总体参数的分布和样本容量对于总体区间的长度反映了估计的精度，置信区间越短，表示估计的精度越均值，如果总体方差已知，且样本容量较大，可以使用正态分布来高计算置信区间；如果总体方差未知，且样本容量较小，可以使用t分布来计算置信区间参数假设检验定义类型步骤123参数假设检验是指对总体参数的某种参数假设检验分为单侧检验和双侧检参数假设检验的步骤与一般的假设检假设进行检验的过程例如，可以检验两种类型单侧检验是指只关注总验相同，包括提出原假设和备择假验总体均值是否等于某个值，总体方体参数是否大于或小于某个值；双侧设、选择检验统计量、确定显著性水差是否等于某个值等检验是指关注总体参数是否等于某个平、计算检验统计量的值、做出决策值单总体均值检验检验Z如果总体方差已知，或者样本容量较大，可以使用检验检验Z Z的检验统计量为样本均值总体均值总体标准差样本容Z=-//√量检验t如果总体方差未知，且样本容量较小，可以使用检验检验的检t t验统计量为样本均值总体均值样本标准差样本容量t=-//√假设单总体均值检验的原假设通常为总体均值等于某个值，备择假设通常为总体均值不等于、大于或小于某个值两总体均值比较独立样本检验配对样本检验t t如果两个总体相互独立，且都服从正态分布，可以使用独立样本如果两个总体不独立，而是配对的，可以使用配对样本检验配t t检验独立样本检验的检验统计量为样本均值样本均值对样本检验的检验统计量为配对差值的平均值配对差值的标t t=1-t t=/样本方差样本容量样本方差样本容量准差配对数2/√1/1+2/2/√方差分析定义1方差分析是指检验多个总体均值是否相等的统计方法方差分析的基本思想是将总体的方差分解为多个来源的方差，通过比较不同来源的方差大小，来判断总体均值是否相等类型2方差分析分为单因素方差分析和多因素方差分析两种类型单因素方差分析是指只有一个因素影响总体均值；多因素方差分析是指有多个因素影响总体均值假设3方差分析的原假设通常为所有总体均值都相等，备择假设通常为至少有一个总体均值不相等相关分析定义类型相关系数相关分析是指研究两个或多个变量之间关系的相关分析分为线性相关分析和非线性相关分析相关系数是衡量变量之间相关程度的指标，常统计方法相关分析可以帮助我们了解变量之两种类型线性相关分析是指研究变量之间的用的相关系数有皮尔逊相关系数、斯皮尔曼相间的相关程度、相关方向等信息线性关系；非线性相关分析是指研究变量之间关系数等相关系数的取值范围为[-1,1]，相关的非线性关系系数越接近1，表示变量之间的正相关程度越高；相关系数越接近，表示变量之间的负相关程-1度越高；相关系数越接近，表示变量之间的相0关程度越低线性回归定义模型线性回归是指利用线性模型来描述变量之间关系的统计方法线性线性回归模型通常表示为Y=a+bX，其中Y表示因变量，X表示自变回归可以帮助我们预测一个变量的值，或者解释一个变量的变化量，a表示截距，b表示斜率线性回归的目标是找到合适的a和b，使模型能够最好地拟合数据概率论实际应用案例天气预报彩票12天气预报利用概率论来预测未彩票是一种概率游戏，购买彩来的天气情况例如，预测明票的中奖概率可以用概率论来天是否下雨，预测未来一周的计算例如，计算购买双色球最高气温和最低气温等的中奖概率、计算购买3D的中奖概率等保险3保险公司利用概率论来评估风险，并制定保险费率例如，评估车辆的损坏概率、评估人身意外的发生概率等概率论在金融中的应用风险评估概率论可以用于评估金融市场的风险，例如，评估股票价格的波动风险、评估债券的违约风险等通过评估风险，投资者可以更好地进行投资决策投资组合优化概率论可以用于优化投资组合，例如，选择合适的资产配置比例，以实现风险最小化和收益最大化通过优化投资组合，投资者可以更好地管理风险，并提高收益衍生品定价概率论可以用于衍生品定价，例如，对期权、期货等衍生品进行定价通过合理地定价衍生品，可以更好地进行风险管理和套利概率论在机器学习中的应用模型选择参数估计概率论可以用于选择合适的机器学习模型例如，可以使用贝叶斯概率论可以用于估计机器学习模型的参数例如，可以使用极大似信息准则来选择模型，贝叶斯信息准则考虑了模型的复杂度和拟合然估计法来估计模型的参数，极大似然估计法选择使数据出现的概程度，可以防止模型过拟合率最大的参数值作为估计值复习要点总结基本概念随机变量数字特征123概率的基本概念、随机事件的定义、随机变量的概念、离散型随机变量、随机变量的数字特征、数学期望的定事件的基本运算、概率的基本性质、连续型随机变量、概率分布函数、概义、方差的定义、标准差、期望的线古典概型、频率定义与概率定义、条率密度函数、常见离散型分布、常见性性质、方差的计算方法、协方差与件概率的基本概念、乘法公式、全概连续型分布相关系数率公式、贝叶斯公式、独立性与相互独立事件、伯努利概型重要定理统计推断45大数定律、切比雪夫不等式、中心极限定理随机抽样、参数估计基本概念、点估计、区间估计、假设检验基础常见易错点分析条件概率注意条件概率与无条件概率的区别，和是不同的，只PA|BPA有当和相互独立时，才有ABPA|B=PA全概率公式与贝叶斯公式理解全概率公式和贝叶斯公式的应用场景，全概率公式用于计算事件发生的总概率，贝叶斯公式用于计算在已知事件已经发生的条件下，某个条件发生的概率期望与方差掌握期望和方差的计算方法，注意离散型随机变量和连续型随机变量的期望和方差的计算公式不同考试答题技巧审题1认真审题，理解题意，明确已知条件和所求问题思路2理清思路，选择合适的公式和方法，列出解题步骤计算3仔细计算，避免计算错误，注意单位和有效数字检查4认真检查，验证答案的合理性，确保答案正确。