《立体空间两条直线》课件

立体空间两条直线本课件将带您深入探索立体空间两条直线之间的位置关系，包括相交、平行、异面，并学习如何求解它们之间的距离和夹角我们将通过生动的实例和练习，帮助您更好地理解和掌握相关知识课程目标理解空间直线的概念区分空间两直线的位置关系掌握异面直线的公垂线和距离计算方法掌握空间直线的表示方法，包括投影法能够判断两直线是否相交、平行或异面和方程法能够计算空间两直线的夹角知识回顾平面中两直线的位置关系相交两直线有且只有一个公平行两直线没有公共点，且12共点在同一平面内重合两直线完全重合3立体空间中的直线特征无限延长空间直线可以无限方向唯一空间直线的方向是12延长，没有端点唯一的，可以用方向向量表示位置确定空间直线的位置可以由两个点或一个点和一个方向向量确3定课程导入生活中的立体空间直线实例建筑物的棱边道路电线杆建筑物的棱边通常是直线，它们在三维道路在平面上看似直线，但实际上是地电线杆竖立在平面上，可以看作一条垂空间中相互交错球表面上的曲线，可以看作空间直线的直于平面的空间直线近似表示空间直线的表示方法投影表示法将空间直线投影到平面，得到平面上的一条直线，通过投影直线来表示空间直线方程法用方程来表示空间直线的位置，包括参数方程和一般方程直线的投影表示法将空间直线投影到一个平面上投影直线的形状取决于投影方12，得到一条投影直线向和空间直线的形状投影表示法直观易懂，但无法精确表示空间直线的位置3平行投影的基本原理投影方向平行于投影平面空间中平行线在投影平面上仍12为平行线空间中垂直于投影平面的直线，投影为一个点3空间坐标系的建立在空间中选取一个原点从原点引出三条互相垂直的O O12直线，称为坐标轴，分别为X轴、轴和轴Y Z坐标轴的正方向由右手定则确定3空间中点的坐标表示空间中一点到三个坐标轴的距离的坐标表示为（）坐标表示了点在空间中的位置P Px,y,z P123分别为、、x yz空间中直线的参数方程设空间直线过点（）上任意一点（）满足向量方的参数方程为l P0x0,y0,z0l Px,y,z l x=x0+a1t,y=123且方向向量为程，其中为参数a=a1,a2,a3OP=OP0+ta ty0+a2t,z=z0+a3t空间中直线的一般方程设空间直线的方向向量为上任意一点（）到直l a=l Px,y,z12线的投影向量与垂直a1,a2,a3l a的一般方程为lx-x0/a1=y-y0/a2=z-z0/a33空间中两直线的位置关系概述相交直线平行直线异面直线两直线有且只有一个公共点，它们的方两直线没有公共点，且它们的方向向量两直线没有公共点，且它们的方向向量向向量不平行平行不平行，它们也不在同一个平面上相交直线的特征两直线有且只有一个公共点两直线的方向向量不平行12两直线在同一个平面上3相交直线判定定理设直线的方向向量为，直线的方向向量为l1a1l2a21若和不平行，则和相交的充要条件是存在实数和，使得a1a2l1l2t1t22点在和上，即，P0x0,y0,z0l1l2x0=x1+t1a1=x2+t2a2y0=y1+，t1b1=y2+t2b2z0=z1+t1c1=z2+t2c2例题判断两直线是否相交（）1直线直线l1x=1+2t,y=2-t,z=3+t l2x=2+s,y=1+2s,z=1+s方向向量方向向量a1=2,-1,1a2=1,2,1由于和不平行，所以和可能相交若存在和满足方程组，则和相交a1a2l1l2t s1+2t=2+s,2-t=1+2s,3+t=1+s l1l2例题判断两直线是否相交（）2直线直线l1x-1/2=y+1/1=z-2/3l2x=3+t,y=-1+2t,z=4-t方向向量方向向量a1=2,1,3a2=1,2,-1由于和不平行，所以和可能相交若存在和满足方程组，则和相交a1a2l1l2t1t23+t2-1/2=-1+2t2+1/1=4-t2-2/3l1l2学生练习相交直线判断直线直线l1x=2+t,y=1-t,z=3+2t l2x=1+2s,y=2-s,z=4+s方向向量方向向量a1=1,-1,2a2=2,-1,1判断直线和是否相交，并说明理由l1l2相交直线的交点求解方法将两直线的参数方程联立成方程组，求解参数和t s1将或的值代入其中一条直线的参数方程，即可得到交点坐标t s2例题求两相交直线的交点直线直线l1x=1+2t,y=2-t,z=3+t l2x=2+s,y=1+2s,z=1+s方向向量方向向量a1=2,-1,1a2=1,2,1联立方程组，解得将代入的参数方程，得到交点坐标为（）1+2t=2+s,2-t=1+2s,3+t=1+s t=1,s=1t=1l13,1,4平行直线的特征两直线没有公共点两直线的方向向量平行12两直线在同一个平面上3平行直线判定定理设直线的方向向量为，直线的方向向量为l1a1l2a21若和平行，则和平行的充要条件是存在实数，使得a1a2l1l2k a1=2ka2例题判断两直线是否平行（）1直线直线l1x=1+2t,y=2-t,z=3+t l2x=2+4s,y=1-2s,z=1+2s方向向量方向向量a1=2,-1,1a2=4,-2,2由于，所以和平行a1=1/2a2l1l2例题判断两直线是否平行（）2直线直线l1x-1/2=y+1/1=z-2/3l2x=3+t,y=-1+2t,z=4-t方向向量方向向量a1=2,1,3a2=1,2,-1由于和不平行，所以和不平行a1a2l1l2学生练习平行直线判断直线直线l1x=2+t,y=1-t,z=3+2t l2x=1+2s,y=2-s,z=4+s方向向量方向向量a1=1,-1,2a2=2,-1,1判断直线和是否平行，并说明理由l1l2异面直线的概念引入两直线没有公共点，且它们的方向向量不平行1两直线不在同一个平面上2异面直线的特征两直线没有公共点两直线的方向向量不平行12两直线不在同一个平面上3异面直线判定定理设直线的方向向量为，直线的方向向量为l1a1l2a21若和不平行，且和上的任意两点都不在同一个平面上，则和a1a2l1l2l12为异面直线l2例题判断两直线是否异面（）1直线直线l1x=1+2t,y=2-t,z=3+t l2x=2+4s,y=1-2s,z=1+2s方向向量方向向量a1=2,-1,1a2=4,-2,2由于和平行，所以和不异面a1a2l1l2例题判断两直线是否异面（）2直线直线l1x-1/2=y+1/1=z-2/3l2x=3+t,y=-1+2t,z=4-t方向向量方向向量a1=2,1,3a2=1,2,-1由于和不平行，且和上的任意两点都不在同一个平面上，所以和为异面直线a1a2l1l2l1l2学生练习异面直线判断直线直线l1x=2+t,y=1-t,z=3+2t l2x=1+2s,y=2-s,z=4+s方向向量方向向量a1=1,-1,2a2=2,-1,1判断直线和是否异面，并说明理由l1l2异面直线的公垂线公垂线是指同时垂直于两条异面直线的直线1公垂线是连接两条异面直线的最短距离线段2公垂线的求解步骤设两异面直线分别为和，方向向量分别为和l1l2a1a21求出过上一点的平面，且与平行l1P1π1π1l22求出过上一点的平面，且与平行l2P2π2π2l13求出和的交线，即为和的公垂线π1π2l1l24例题求异面直线的公垂线（）1直线直线l1x=1+2t,y=2-t,z=3+t l2x=2+4s,y=1-2s,z=1+2s方向向量方向向量a1=2,-1,1a2=4,-2,2过上一点作平面，且与平行平面的方程为过上一点作平面，且与l1P11,2,3π1π1l2π12x-1-y-2+z-3=0l2P22,1,1π2π2l1平行平面的方程为求出和的交线，即为和的公垂线π24x-2-2y-1+2z-1=0π1π2l1l2例题求异面直线的公垂线（）2直线直线l1x-1/2=y+1/1=z-2/3l2x=3+t,y=-1+2t,z=4-t方向向量方向向量a1=2,1,3a2=1,2,-1过上一点作平面，且与平行平面的方程为过上一点作平面，且l1P11,-1,2π1π1l2π12x-1+y+1+3z-2=0l2P23,-1,4π2π2与平行平面的方程为求出和的交线，即为和的公垂线l1π2x-3+2y+1-z-4=0π1π2l1l2异面直线的距离定义异面直线之间的距离是指连接两直线上任意两点之间距离的最小值1异面直线的距离等于两条异面直线的公垂线段的长度2异面直线距离的计算方法求出两条异面直线的公垂线1求出公垂线段的长度，即为异面直线之间的距离2例题计算异面直线距离（）1直线直线l1x=1+2t,y=2-t,z=3+t l2x=2+4s,y=1-2s,z=1+2s方向向量方向向量a1=2,-1,1a2=4,-2,2根据公垂线求解步骤，求出和的公垂线段长度，即可得到异面直线之间的距离l1l2例题计算异面直线距离（）2直线直线l1x-1/2=y+1/1=z-2/3l2x=3+t,y=-1+2t,z=4-t方向向量方向向量a1=2,1,3a2=1,2,-1根据公垂线求解步骤，求出和的公垂线段长度，即可得到异面直线之间的距离l1l2学生练习异面直线距离计算直线直线l1x=2+t,y=1-t,z=3+2t l2x=1+2s,y=2-s,z=4+s方向向量方向向量a1=1,-1,2a2=2,-1,1计算直线和之间的距离l1l2空间两直线夹角的概念空间两直线的夹角是指两条直线方向向量所成的角1空间两直线的夹角取值范围为到0°90°2空间两直线夹角的计算方法设直线的方向向量为，直线的方向向量为l1a1l2a21两直线的夹角满足θcosθ=a1·a2/|a1|·|a2|2例题计算空间两直线夹角（）1直线直线l1x=1+2t,y=2-t,z=3+t l2x=2+4s,y=1-2s,z=1+2s方向向量方向向量a1=2,-1,1a2=4,-2,2根据夹角公式，计算和的夹角l1l2θ例题计算空间两直线夹角（）2直线直线l1x-1/2=y+1/1=z-2/3l2x=3+t,y=-1+2t,z=4-t方向向量方向向量a1=2,1,3a2=1,2,-1根据夹角公式，计算和的夹角l1l2θ学生练习空间两直线夹角计算直线直线l1x=2+t,y=1-t,z=3+2t l2x=1+2s,y=2-s,z=4+s方向向量方向向量a1=1,-1,2a2=2,-1,1计算直线和之间的夹角l1l2综合应用例题（）1在空间直角坐标系中，已知直线，直线判断和的位置关系O-xyz l1x=1+2t,y=2-t,z=3+t l2x=2+4s,y=1-2s,z=1+2s l1l2，并求出它们之间的距离综合应用例题（）2在空间直角坐标系中，已知直线，直线求出和的公垂线方程O-xyz l1x-1/2=y+1/1=z-2/3l2x=3+t,y=-1+2t,z=4-t l1l2，并计算它们之间的距离综合应用例题（）3在空间直角坐标系中，已知直线，直线O-xyz l1x=2+t,y=1-t,z=3+2t l2求出和的夹角x=1+2s,y=2-s,z=4+s l1l2学生综合练习（）1在空间直角坐标系中，已知直线，直线判断和的位置关系，O-xyz l1x=1+t,y=2-t,z=3+2t l2x=2+2s,y=1-s,z=4+s l1l2并求出它们之间的距离学生综合练习（）2在空间直角坐标系中，已知直线，直线O-xyz l1x-2/1=y-1/2=z-3/3l2求出和的公垂线方程，并计算它们之间的x=1+t,y=2-t,z=4+2t l1l2距离常见错误分析混淆空间直线与平面直线概念，导错误理解异面直线公垂线的概念和忽视方向向量在判断直线位置关系123致判断错误求解方法中的重要作用解题技巧总结利用方向向量判断直线的位置利用参数方程和一般方程表示12关系空间直线结合图形分析，帮助理解空间直线的位置关系3知识点归纳相交直线两直线有且只有一个公共点1两直线的方向向量不平行2两直线在同一个平面上3可以用参数方程联立求解交点坐标4知识点归纳平行直线两直线没有公共点1两直线的方向向量平行2两直线在同一个平面上3可以用方向向量比例关系判断平行关系4知识点归纳异面直线两直线没有公共点1两直线的方向向量不平行2两直线不在同一个平面上3可以通过公垂线求解异面直线之间的距离4知识点联系与区别相交直线平行直线异面直线两直线有公共点，方向向量不平行，在两直线没有公共点，方向向量平行，在两直线没有公共点，方向向量不平行，同一平面同一平面不在同一平面实际应用举例建筑设计设计师需要根据建筑物的机械制造在设计机械零件时，需要航空航天在设计飞行器时，需要根空间结构，确定不同直线之间的位置根据零件的几何形状，确定不同直线据飞行器的空间结构，确定不同直线关系，并计算它们之间的距离，例如之间的位置关系，并计算它们之间的之间的位置关系，并计算它们之间的在设计楼梯时，需要确保楼梯扶手与距离，例如在设计齿轮时，需要确保距离，例如在设计飞机机翼时，需要楼梯踏步之间平行，且保持合适的距齿轮的齿条与齿轮轴之间平行，且保确保机翼的翼展与机身之间平行，且离持合适的距离保持合适的距离课堂小结本节课学习了立体空间中两条直线的掌握了判断直线位置关系、求解公垂通过实际应用举例，体会空间直线在位置关系，包括相交、平行、异面线、计算距离和夹角等方法生活和工程中的应用课后作业布置练习册上的相关习题课本中的例题和思考题12设计一个空间直线位置关系的应用场景，并进行分析和计算3拓展思考题空间中三条直线的位置关系有空间中直线与平面的位置关系哪些？如何判断？有哪些？如何判断？空间中两条直线的位置关系与平面中两条直线的位置关系有什么区别和联系？。