《线性代数与微分方程》课件

线性代数与微分方程本课程将深入探讨线性代数和微分方程的基础知识，旨在培养学生运用数学工具解决实际问题的能力课程目标与学习要求课程目标学习要求本课程旨在使学生掌握线性代数与微分方程的基本概念、理论和学生应认真学习教材内容，完成作业，积极参与课堂讨论，并能方法，并能运用这些知识解决实际问题够运用所学知识独立完成相关任务教材与参考资料介绍教材参考资料《线性代数》同济大学数学《微分方程》王高雄编著————系编著其他参考资源网络课程、相关专业书籍考核方式说明1平时成绩（20%）课堂表2期中考试（30%）测试对现、作业完成情况课程内容的掌握程度3期末考试（50%）综合考查对课程内容的理解和运用能力向量空间的基本概念向量空间是线性代数的向量空间的维度是指其向量空间中的任意向量核心概念之一，它是一基向量组的个数，它决都可以表示为基向量的个集合，其中定义了加定了向量空间的自由度线性组合法和标量乘法运算，并满足一些特定的公理向量的定义与表示定义1向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头长度表示大小，箭头方向表示方向表示2向量可以用坐标表示，例如，二维向量可以表示为，三x,y维向量可以表示为x,y,z零向量3大小为零的向量，通常用表示0向量运算法则加法两个向量相加，可以将它们首尾相接，结果向量为从第一个向量的起点到第二个向量的终点减法两个向量相减，可以将第二个向量的起点与第一个向量的终点相连，结果向量为从第一个向量的起点到第二个向量的终点标量乘法标量乘以向量，会改变向量的长度，但不改变其方向点积两个向量点积的结果是一个标量，它等于两个向量长度的乘积再乘以它们夹角的余弦向量的线性相关性线性无关线性相关如果一组向量中，任何一个向量都不能表示为其他向量的线性组如果一组向量中，存在一个向量可以表示为其他向量的线性组合合，则称这组向量线性无关，则称这组向量线性相关向量组的秩秩的概念1向量组的秩是指其线性无关向量组的最大个数秩的求法2可以使用初等行变换将向量组化简为阶梯形矩阵，非零行的个数即为向量组的秩线性方程组的几何解释方程组线性方程组可以表示为一组线性方程，每个方程对应一个超平面解方程组的解是所有满足所有方程的点的集合，它对应于所有超平面的交点无解如果所有超平面没有交点，则方程组无解唯一解如果所有超平面只有一个交点，则方程组有唯一解无穷多解如果所有超平面有一个交点，但交点是一个点集，则方程组有无穷多解矩阵的定义与类型类型定义矩阵可以根据其元素的性质和大小进行12矩阵是一个由数字排列成的矩形数组分类，例如，方阵、零矩阵、单位矩阵、对角矩阵等矩阵的基本运算加法两个矩阵相加，对应位置的元素相加减法两个矩阵相减，对应位置的元素相减标量乘法标量乘以矩阵，每个元素都乘以该标量矩阵乘法两个矩阵相乘，第一个矩阵的行向量与第二个矩阵的列向量进行点积运算矩阵的转置与对称性转置1矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，用表示A^T对称性2如果一个矩阵等于其转置，即，则称该矩阵是对称A=A^T矩阵反对称性3如果一个矩阵等于其转置的负数，即，则称该矩阵A=-A^T是反对称矩阵矩阵的初等变换123行变换列变换应用交换两行、将一行乘以一个非零常数、将交换两列、将一列乘以一个非零常数、将初等变换可以用来简化矩阵，例如，求矩一行的倍数加到另一行一列的倍数加到另一列阵的秩、求解线性方程组等矩阵的秩定义1矩阵的秩是指其线性无关行向量组或线性无关列向量组的最大个数求法2可以使用初等行变换将矩阵化简为阶梯形矩阵，非零行的个数即为矩阵的秩逆矩阵的概念逆矩阵是指一个矩阵的只有方阵才可能存在逆如果一个矩阵的行列式乘法逆元，即与其相乘矩阵不为零，则该矩阵可逆得到单位矩阵逆矩阵的计算方法初等变换法将原矩阵和单位矩阵合并成一个增广矩阵，对增广矩阵进行初等行变换，将原矩阵化为单位矩阵，则增广矩阵中单位矩阵右侧的矩阵即为原矩阵的逆矩阵伴随矩阵法原矩阵的伴随矩阵是指原矩阵的代数余子式矩阵的转置，逆矩阵等于伴随矩阵除以原矩阵的行列式行列式的定义定义计算行列式是方阵的一个数值，它可以用来判定矩阵的可逆性、求解对于二阶矩阵，行列式等于对角线元素的乘积减去副对角线元素线性方程组等的乘积对于三阶矩阵，行列式可以用萨拉斯法则或展开公式计算行列式的性质1行列式与其转置相等2交换两行或两列，行列式变号3将一行或一列乘以一个常数，行列式也乘以该常数4将一行的倍数加到另一行，行列式不变行列式的计算技巧化简法展开公式使用初等变换将矩阵化为上三角将行列式沿某一行或某一列展开矩阵或下三角矩阵，行列式等于，展开式中的每一项都是一个子对角线元素的乘积行列式乘以相应的代数余子式拉普拉斯展开将行列式沿若干行或若干列展开，展开式中的每一项都是一个子行列式的行列式乘以相应的代数余子式克拉默法则定义1克拉默法则是一种用行列式来解线性方程组的方法，它适用于系数矩阵可逆的线性方程组步骤2计算系数矩阵的行列式用常数项向量替换系数矩阵

1.D

2.的第列，得到矩阵每个未知数的解等于除i D_i

3.x_i D_i以D特征值与特征向量特征值是指一个矩阵作特征向量是指一个矩阵特征值和特征向量在矩用在某个向量上，使得作用在该向量上，使得阵的线性变换中具有重该向量只发生缩放，而该向量只发生缩放，而要的应用不改变方向的比例因子不改变方向的向量特征方程的求解特征方程特征方程是一个矩阵的特征值满足的方程，其形式为，其|A-λI|=0中是矩阵，是特征值，是单位矩阵AλI解法计算行列式，得到一个关于的多项式方程解多项式

1.|A-λI|λ

2.方程，得到特征值将每个特征值代入方程，求解

3.A-λIx=0得到对应的特征向量矩阵对角化定义条件步骤矩阵对角化是指将一个矩阵通过相似变一个矩阵可以对角化的条件是该矩阵有求出矩阵的个线性无关的特征向n

1.A n换化为对角矩阵的过程个线性无关的特征向量量将这些特征向量构成矩阵

2.P

3.计算，得到对角矩阵，其中P^-1AP D的对角线元素为的特征值D A二阶常系数微分方程12形式类型二阶常系数微分方程是指形式为二阶常系数微分方程可以分为齐次方程ay+的微分方程，其中和非齐次方程，根据是否为零而定+cy=fx a,b,c fx是常数，是一个已知函数fx3解法齐次方程可以使用特征方程法求解，非齐次方程可以使用待定系数法或变易系数法求解一阶微分方程的基本概念定义1一阶微分方程是指包含未知函数及其一阶导数的方程，其形式为dy/dx=fx,y解2一阶微分方程的解是满足该方程的函数，通常用表y=φx示初始条件3为了确定一阶微分方程的唯一解，需要指定一个初始条件，即在某个点处，函数的值x_0y_0变量可分离方程变量可分离方程是指可以将未知函数解变量可分离方程，需要将方程两侧及其导数分别放在方程两侧的微分方分别积分，得到一个关于和的关y x程系式齐次微分方程定义齐次微分方程是指形式为的微分方程dy/dx=fy/x解法令，则将上述式子代入原方程

1.u=y/x dy/dx=u+x du/dx

2.，得到一个关于和的变量可分离方程解这个变量可分离方u x

3.程，得到关于的关系式将代回，得到关于的u x

4.u=y/x y x关系式线性微分方程定义解法线性微分方程是指未知函数及其导数都是线性函数的微分方程，求解积分因子将积分因子乘以原方

1.μx=exp∫pxdx

2.其形式为程，得到积分方程两侧dy/dx+pxy=qxμxdy/dx+μxpxy=μxqx

3.，得到y=1/μx∫μxqxdx+C伯努利方程定义1伯努利方程是指形式为的微分方dy/dx+pxy=qxy^n程，其中是一个常数n解法2将原方程两边除以，得到

1.y^n y^-ndy/dx+pxy^1-n令，则=qx

2.u=y^1-n du/dx=1-ny^-ndy/dx将上述式子代入原方程，得到一个关于和的线性微分

3.u x方程解这个线性微分方程，得到关于的关系式

4.u x

5.将代回，得到关于的关系式u=y^1-n y x全微分方程1定义全微分方程是指可以写成的微分方程，其中Mx,ydx+Nx,ydy=0M和是和的函数，并且满足N x y∂M/∂y=∂N/∂x2解法求解积分因子，使其满足

1.μx,yμx,yMx,ydx+μx,yNx,ydy=是一个全微分方程积分方程两侧，得到一个关于和的关系式

02.x y二阶微分方程的基本概念二阶微分方程的解可以是两个线性无为了确定二阶微分方程的唯一解，需关的函数的线性组合要指定两个初始条件，即在某个点处，函数的值和其导数x_0y_0y_0降阶法定义降阶法是将高阶微分方程转化为低阶微分方程的方法，适用于某些特殊的二阶微分方程步骤将二阶微分方程化为一个一阶微分方程求解这个一阶微

1.

2.分方程，得到一个关于和的关系式将代回原方程y x

3.y，得到另一个关于和的关系式解这两个关系式，得y x

4.到关于的关系式yx常系数齐次线性微分方程定义解法常系数齐次线性微分方程是指形式为的微分方求解特征方程，得到特征根和ay++cy=

01.ar^2+br+c=0r_1r_

22.程，其中是常数根据特征根的不同情况，得到微分方程的通解a,b,c

①r_1≠r_2；y=C_1e^r_1x+C_2e^r_2x

②r_1=r_2y=C_1+；为复数C_2xe^r_1x

③r_1,r_2y=e^αxC_1cosβx，其中+C_2sinβx r_1,r_2=α±iβ特征方程法特征方程特征方程是求解常系数齐次线性微分方程的关键，它是一个关于特征根的二次方程解法将原方程化为特征方程解特征方程，得到特征根根据特

1.

2.

3.征根的不同情况，写出微分方程的通解常系数非齐次线性微分方程定义1常系数非齐次线性微分方程是指形式为ay++cy=fx的微分方程，其中是常数，是一个非零函数a,b,c fx解法2求解对应的齐次方程的通解求解非齐次方程的特

1.y_h

2.解非齐次方程的通解为y_p

3.y=y_h+y_p待定系数法待定系数法是一种求解特解的形式通常与非齐将猜测的特解代入原方常系数非齐次线性微分次项的形式有关，程，可以得到一个关于fx方程的特解的方法，它可以是多项式、指数函待定系数的方程组，解需要根据非齐次项数、三角函数或它们的方程组可以得到待定系fx的形式猜测特解的形式线性组合数的值，并确定其中的待定系数欧拉方程定义解法欧拉方程是指形式为将原方程化为一个关于和ax^2y+

1.xy的微分方程，其的二阶微分方程使用特征方bxy+cy=

02.中是常数程法求解这个二阶微分方程，得a,b,c到关于的关系式yx应用欧拉方程在工程和物理学中有着广泛的应用，例如，求解热传导方程、波动方程等高阶微分方程概述解法定义高阶微分方程的解法一般比较复杂，需高阶微分方程是指包含未知函数及其高12要使用一些特殊的技巧，例如，特征方阶导数的微分方程程法、待定系数法、变易系数法等微分方程组的基本概念123定义类型解微分方程组是指包含多个未知函数及其导微分方程组可以分为线性微分方程组和非微分方程组的解是指满足所有方程的一组数的方程组线性微分方程组，根据未知函数及其导数函数是否为线性函数而定一阶微分方程组定义1一阶微分方程组是指包含多个未知函数及其一阶导数的方程组解法2一阶微分方程组的解法取决于方程组的形式，可以尝试使用变量可分离法、齐次方程法、线性方程法等常系数线性微分方程组定义解法常系数线性微分方程组是指系数为常数的线性微分方程组常系数线性微分方程组的解法可以使用矩阵方法，将方程组转化为矩阵形式，然后利用特征值和特征向量求解拉普拉斯变换的定义定义公式拉普拉斯变换是一种将时间域函数转换为复频域函数的积分变换函数的拉普拉斯变换定义为ft L[ft]=Fs=∫0^∞e^-，它可以将微分方程转化为代数方程，便于求解，其中是一个复数stftdt s拉普拉斯变换的性质1线性性L[aft+bgt]=aL[ft]+bL[gt]2平移性L[ft-a]=e^-asFs3微分性L[ft]=sFs-f04积分性L[∫0^t fτdτ]=1/sFs拉普拉斯逆变换定义拉普拉斯逆变换是拉普拉斯变换的逆运算，它将复频域函数转换为时间域函数方法常用的拉普拉斯逆变换方法包括部分分式法、查表法、卷积定理法等用拉普拉斯变换解微分方程步骤对微分方程两边进行拉普拉斯变换，得到一个关于的代数方程

1.Fs解代数方程，得到对进行拉普拉斯逆变换，得到微分方

2.Fs

3.Fs程的解ft优点拉普拉斯变换方法可以将微分方程转化为代数方程，简化求解过程，并且可以方便地处理非齐次项级数解法级数解法是求解微分方程的一种方法级数解法需要考虑幂级数的收敛性，，它利用幂级数来表示微分方程的解确保解的有效性幂级数解法步骤1将微分方程的解表示为幂级数形式将幂级数代入原方

1.

2.程，得到一个关于系数的方程组解方程组，得到幂级数

3.的系数将系数代回幂级数，得到微分方程的解

4.适用范围2幂级数解法适用于一些无法用解析方法求解的微分方程傅里叶级数展开定义应用傅里叶级数展开是一种将周期函数表示为三角函数的无穷级数的傅里叶级数展开在信号处理、图像处理、物理学等领域有着广泛表示方法的应用边值问题的概念12定义条件边值问题是指求解满足特定边值条件边值条件是指在某个区间端点处，未的微分方程的解知函数或其导数的值3应用边值问题在物理学、工程学等领域有着广泛的应用，例如，求解振动问题、热传导问题等齐次边值问题齐次边值问题是指边值条件为齐次条齐次边值问题可以转化为一个特征值件的边值问题问题，求解其特征值和特征函数非齐次边值问题解法定义非齐次边值问题可以通过一些特殊的技巧来求解，例如，使用格非齐次边值问题是指边值条件为非齐次条件的边值问题林函数法、有限差分法等偏微分方程简介定义偏微分方程是指包含未知函数及其偏导数的方程类型偏微分方程可以分为线性偏微分方程和非线性偏微分方程，根据未知函数及其偏导数是否为线性函数而定应用偏微分方程在物理学、工程学、生物学等领域有着广泛的应用，例如，求解热传导问题、波动问题、流体动力学问题等波动方程定义形式波动方程描述了波动现象的数学波动方程的一般形式为模型，例如，声波、光波、水波∂^2u/∂t^2=c^2∂^2u/∂x^2+等，其∂^2u/∂y^2+∂^2u/∂z^2中是波函数，是波速u c解法波动方程的解法可以使用分离变量法、傅里叶变换法、格林函数法等热传导方程定义1热传导方程描述了热量在物体内部的传导过程形式2热传导方程的一般形式为∂u/∂t=α∂^2u/∂x^2+，其中是温度，是热扩散系∂^2u/∂y^2+∂^2u/∂z^2uα数解法3热传导方程的解法可以使用分离变量法、傅里叶变换法、格林函数法等拉普拉斯方程拉普拉斯方程描述了静电势、引力势等势场的数学模型拉普拉斯方程的解称为调和函数，它具有许多重要的性质，例如，最大值原理、平均值原理等数值解法简介12定义方法数值解法是指用数值方法求解微分方程常用的数值解法包括有限差分法、有限的解，它通常用于无法用解析方法求解元法、谱方法等的微分方程3应用数值解法在工程学、物理学、生物学等领域有着广泛的应用，例如，求解流体力学问题、热传导问题、电磁场问题等实际应用案例分析案例一案例二案例三用微分方程模拟弹簧振子的运动用拉普拉斯变换求解电路中的电流和电用数值方法求解热传导问题，例如，模压拟房屋的保温性能课程总结与回顾展望未来回顾重点鼓励学生继续学习更深入的线性代数和微分方程知识，并将其应回顾课程中介绍的线性代数和微分方程的基本概念、理论和方法用于实际问题中，例如，向量空间、矩阵运算、微分方程的分类、解法等复习重点难点重点矩阵的秩、逆矩阵的计算、特征值和特征向量的求解、二阶常系数微分方程的解法、拉普拉斯变换的应用难点高阶微分方程的解法、微分方程组的求解、偏微分方程的解法、数值解法。