《高等数学中的极限问题》课件

高等数学中的极限问题本课程将带您深入探讨高等数学中的极限问题，从极限的概念历史发展到现代数学中的重要性，并涵盖极限的定义、性质、运算以及在实际问题中的应用我们将通过丰富的例题和练习，帮助您掌握极限问题，为后续的数学学习打下坚实基础课程目标理解极限概念掌握极限性质熟练极限运算深入理解极限的基本定义和概念，掌握掌握极限的各种性质，包括唯一性、有掌握极限的各种运算规则，包括四则运极限的直观意义和数学定义，为后续学界性、保号性、迫敛性等，并学会如何算、复合运算、幂指运算等，并学会如习奠定基础运用这些性质解决实际问题何应用这些规则进行极限计算极限的历史发展古希腊时期1古希腊数学家们开始研究无穷小和无穷大，并试图用几何方法来解决一些极限问题，例如求曲线面积和体积的问题例如阿基米德用穷竭法求圆的面积和球的体积，预示着极限思想的萌芽牛顿和莱布尼茨时代2牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微积分，而微积分的基础是极限理论他们用无穷小的思想来解决一些物理问题，例如求速度、加速度、曲线切线等牛顿的流数法和莱布尼茨的微积分奠定了现代极限理论的基础柯西时期3柯西用ε-N语言对极限进行了严格的定义，使得极限理论更加严谨和完善，并发展出了现代极限理论的基本框架，为数学的进一步发展奠定了坚实的基础数列极限的定义语言定义直观几何意义ε-N对于数列{an}，如果存在实数a，使得对于任意正数ε，总存在正在数轴上，当n越来越大时，数列{an}的点越来越靠近点a对于整数N，当nN时，都有|an-a|ε，则称数列{an}收敛于a，记为任意小的正数ε，都可以在数轴上找到一个包含点a的长度为2ε的limn→∞an=a区间，使得当nN时，数列{an}的点都落在这个区间内函数极限的定义₀时的极限时的极限x→x x→∞对于函数fx，如果存在实数A，使得对于任意正数ε，总存在正对于函数fx，如果存在实数A，使得对于任意正数ε，总存在正数δ，当0|x-x₀|δ时，都有|fx-A|ε，则称函数fx在x→x₀数M，当|x|M时，都有|fx-A|ε，则称函数fx在x→∞时极限时极限为A，记为limx→x₀fx=A为A，记为limx→∞fx=A重要极限的定义极限三角函数重要极限e12limx→01+x^1/x=e，其limx→0sinx/x=1，中e为自然对数的底数，约等limx→01-cosx/x=0，于

2.71828limx→0tanx/x=1的极限sinx/x3limx→0sinx/x=1，这个极限非常重要，它是许多其他极限和微积分公式的基础极限存在的条件有界性单调性如果数列{an}或函数fx在某个点如果数列{an}或函数fx在某个点或某个区间上有界，那么它在该或某个区间上单调，那么它在该点或该区间上可能存在极限，但点或该区间上可能存在极限，但并不一定存在并不一定存在夹逼准则如果两个函数gx和hx在某个点或某个区间上都存在极限，并且在该点或该区间上gx≤fx≤hx，那么函数fx在该点或该区间上也存在极限，并且limx→x₀fx=limx→x₀gx=limx→x₀hx数列极限的性质唯一性有界性保号性如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一如果数列{an}收敛，那么它一定是有界的如果数列{an}收敛于正数a，那么从某个项的开始，数列{an}的各项都大于零如果数列{an}收敛于负数a，那么从某个项开始，数列{an}的各项都小于零函数极限的性质局部保号性如果函数fx在x→x₀时极限为正数，那么fx在x₀的某个去心邻域内，其值都大于零如果函数fx在x→x₀时极限为负数，那2么fx在x₀的某个去心邻域内，其值都小于零局部有界性如果函数fx在x→x₀时极限存在，那1迫敛性么fx在x₀的某个邻域内是有界的如果两个函数gx和hx在某个点或某个区间上都存在极限，并且在该点或该区间上3gx≤fx≤hx，那么函数fx在该点或该区间上也存在极限，并且limx→x₀fx=limx→x₀gx=limx→x₀hx无穷小量定义1如果函数αx在x→x₀时极限为零，则称αx为x→x₀时的无穷小量性质2无穷小量可以表示为一个趋近于零的函数，其值可以无限接近于零，但永远不会等于零高阶无穷小3如果两个无穷小量αx和βx在x→x₀时，满足limx→x₀αx/βx=0，则称αx是比βx高阶的无穷小量等价无穷小4如果两个无穷小量αx和βx在x→x₀时，满足limx→x₀αx/βx=1，则称αx和βx是x→x₀时的等价无穷小量无穷大量定义1如果函数fx在x→x₀时，满足limx→x₀|fx|=+∞，则称fx为x→x₀时的无穷大量分类2无穷大量可以分为正无穷大量和负无穷大量如果limx→x₀fx=+∞，则称fx为正无穷大量如果limx→x₀fx=-∞，则称fx为负无穷大量与无穷小的关系3无穷大量是无穷小的倒数，无穷小量是无穷大量的倒数常见类型41/x，1/x-1等都是x→0时的无穷大量e^x，lnx等都是x→+∞时的无穷大量极限运算法则12四则运算复合运算limx→x₀[fx±gx]=limx→x₀fx limx→x₀f[gx]=f[limx→x₀gx]±limx→x₀gx，前提是limx→x₀gx存在且在fx的定义域内3幂指运算limx→x₀[fx]^n=[limx→x₀fx]^n，limx→x₀a^fx=a^limx→x₀fx等价无穷小替换常用等价无穷小sinx~x，tanx~x，1-cosx~x^2/2，ln1+x~x，e^x-1~x，1+x^n-1~nx，arcsinx~x，arctanx~x替换条件等价无穷小替换只能在极限计算中进行，不能在其他情况下使用注意事项等价无穷小替换只能在无穷小量相加或相减的情况下使用，不能在无穷小量相乘、相除或进行其他运算时使用夹逼准则应用典型例题求极限limx→0sinx/x应用技巧找到两个比函数小的函数和比函数大的函数，使得它们的极限相等，那么原函数的极限也等于这个值常见误区不能直接将函数替换为等价无穷小，必须满足夹逼准则的条件单调有界准则理论基础单调有界准则指出，如果数列{an}单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么它一定收敛应用条件应用单调有界准则需要先证明数列{an}的单调性和有界性实例分析例如，数列{an}=1/n单调递减且有下界0，因此它一定收敛于0柯西极限存在准则柯西极限存在准则表明，如果一个数列{an}满足柯西收敛准则，即对于任意正数ε，总存在正整数N，当mN，nN时，都有|am-an|ε，那么该数列一定收敛函数连续性连续的定义间断点类型连续性与极限函数fx在点x₀处连续，是指函数的间断点可以分为第一类间断点和函数的连续性是极限存在的一种特殊情limx→x₀fx=fx₀，即函数在该点的第二类间断点第一类间断点包括可去况，如果函数在某个点连续，那么它在极限等于函数在该点的值间断点和跳跃间断点，第二类间断点包该点的极限一定存在括无穷间断点和振荡间断点一致连续性概念解释与普通连续的区别如果函数fx在区间I上一致连续普通连续是指函数在某个点连续，是指对于任意正数，总存在正，而一致连续是指函数在整个区ε数δ，使得对于区间I上的任意两间上连续点x₁和x₂，只要|x₁-x₂|δ，就一定有|fx₁-fx₂|ε判断方法判断一致连续性可以使用柯西一致连续准则，即如果函数在区间I上满足柯西一致连续准则，那么它在区间I上一致连续间断点第二类间断点函数在该点的左右极限至少有一个不存2在，或者左右极限都存在，但都不等于函数在该点的值第一类间断点1函数在该点的左右极限都存在，但左右可去间断点极限不相等函数在该点的左右极限都存在且相等，但函数在该点的值不存在或与左右极限3不相等这种间断点可以通过重新定义函数值来消除极限存在判断方法定义法1根据极限的定义，直接证明极限存在的条件，即对于任意正数ε，总存在正数δ，使得当0|x-x₀|δ时，都有|fx-A|ε夹逼法2找到两个函数gx和hx，使得在某个点或某个区间上gx≤fx≤hx，并且这两个函数的极限相等，那么原函数的极单调有界法3限也等于这个值如果函数fx在某个点或某个区间上单调且有界，那么它在该点或该区间上一定存在极限常见错误类型运算顺序错误替换条件不满足无穷形式处理不当例如，在计算limx→01+x/x时，不能直等价无穷小替换只能在无穷小量相加或相例如，在计算limx→∞x^2+1/x-1时，接将1+x替换为1，而应该先将1+x分解为减的情况下使用，不能在无穷小量相乘、不能直接将x^2+1和x-1同时除以x，而应1+x-1，然后再进行计算相除或进行其他运算时使用该先将x^2+1和x-1同时除以x^2，然后再进行计算极限计算方法一有理化方法介绍适用情况典型例题有理化方法主要用于处理含有根式或分有理化方法适用于分子或分母含有根式求极限limx→0√1+x-1/x将分子有母为根式的极限，通过将分子或分母有，并且直接代入会得到无穷大的极限理化，得到limx→01+x-理化，消去根号，从而简化计算1/[x√1+x+1]=limx→01/√1+x+1=1/2极限计算方法二换元法基本思路换元法就是用新的变量替换原变量，将原极限转化为新的极限，从而简化计算常用换元常用的换元方法包括令t=x-a，t=1/x，t=x^2，t=sinx等实例分析求极限limx→1x^2-1/x-1令t=x-1，则x=t+1，当x→1时，t→0代入原极限，得到limt→0[t+1^2-1]/t=limt→0t^2+2t/t=limt→0t+2=2极限计算方法三泰勒展开泰勒公式麦克劳林展开应用实例泰勒公式是指将一个函数展开成以x₀麦克劳林展开是泰勒公式在x₀=0时的求极限limx→0sinx-x/x^3使用麦为中心的无限项和的形式，即特殊情况，即克劳林展开，得到sinx=x-fx=fx₀+fx₀x-fx=f0+f0x/1!+f0x^2/2!+...+f^x^3/3!+ox^5，代入原极限，得到x₀/1!+fx₀x-n0x^n/n!+Rx limx→0x-x^3/3!-x₀^2/2!+...+f^nx₀x-x/x^3=limx→0-x^3/3!/x^3=-1/6x₀^n/n!+Rx无穷大量的比较比较方法1比较无穷大量的大小，可以使用极限的方法，即比较两个无穷大量在x→∞时的极限，如果一个无穷大量在x→∞时的极限比另一个无穷大量大，则称前者比后者增长速度快增长速度2常见的无穷大量按增长速度从慢到快排列为logx，x^α，a^x，x!，x^x，其中α为正数，a1常见类型3例如，limx→∞lnx/x=0，说明lnx的增长速度比x慢limx→∞x^2/e^x=0，说明x^2的增长速度比e^x慢法则LHospital12使用条件注意事项LHospital法则适用于求解形如0/0或LHospital法则只能用于求解0/0或∞/∞的不定式极限∞/∞的不定式极限，不能用于求解其他形式的极限3常见形式limx→x₀fx/gx=limx→x₀fx/gx，其中fx和gx在x→x₀时都趋于0或∞重要极限证明的定义极限证明极限证明极限e sinx/x1+x^1/x证明利用ε-N语言证明利用夹逼准则证明limx→01+x^1/x=e limx→0sinx/x=1利用导数证明limx→01+x^1/x=e数列极限经典例题递推数列极限求数列{an}的极限，其中an=1/n，an+1=an+1/n+1^2夹逼准则应用求数列{an}的极限，其中an=1+1/n^n单调有界应用求数列{an}的极限，其中an=1+1/2+1/3+...+1/n函数极限经典例题有理函数极限无理函数极限复合函数极限求极限limx→1x^2-1/x-1求极限limx→0√1+x-1/x求极限limx→0sinx^2/x^2无穷小量的阶比较比较方法常用结论比较无穷小量的阶，可以使用极sinx~x，tanx~x，1-cosx~x^2/2限的方法，即比较两个无穷小量，ln1+x~x，e^x-1~x，在x→x₀时的极限，如果一个无1+x^n-1~nx，arcsinx~x，穷小量在x→x₀时的极限比另一arctanx~x个无穷小量大，则称前者比后者阶低典型例题比较两个无穷小量αx=x^2和βx=sinx在x→0时的阶limx→0αx/βx=limx→0x^2/sinx=limx→0x/1=0，因此αx是比βx高阶的无穷小量极限与微分微分与极限的关系微分是函数在某个点处变化量的线性部2分，可以看作是函数在该点的切线斜率微分的计算需要用到极限，而极限也导数的极限定义是微积分的基础1函数fx在点x₀处的导数定义为fx₀=limΔx→0[fx₀+Δx-应用实例fx₀]/Δx，其中Δx表示x的增量求函数fx=x^2在点x=1处的导数f1=limΔx→0[1+Δx^2-31^2]/Δx=limΔx→02Δx+Δx^2/Δx=limΔx→02+Δx=2极限与积分定积分的极限定义1定积分的定义是将区间[a,b]分成n个子区间，每个子区间上的函数值乘以子区间的长度，然后将所有这些乘积相加，再求极限，即∫[a,b]fxdx=limn→∞∑[i=1,n]fξiΔxi反常积分中的极限2反常积分是指积分区间为无穷区间或被积函数在积分区间内有无穷间断点求解反常积分需要用到极限，例如∫[1,∞]1/x^2dx=limt→∞∫[1,t]1/x^2dx计算方法3求解定积分可以使用牛顿-莱布尼茨公式，即∫[a,b]fxdx=Fb-Fa，其中Fx是fx的原函数数项级数极限收敛性判断判断数项级数是否收敛，可以使用各种收敛性判别法，例如比较判别法、比值判别法、根式判别法、积分判别法等和函数极限如果数项级数收敛，那么它的和函数在n→∞时的极限就是数项级数的和常见类型常见的数项级数类型包括等比级数、调和级数、幂级数等幂级数极限收敛半径和函数性质计算技巧幂级数的收敛半径是指一个圆，在这个幂级数的和函数是一个连续函数，它可计算幂级数的和函数可以使用泰勒展开圆内，幂级数收敛，在这个圆外，幂级以进行求导和积分运算或微积分方法数发散收敛半径可以使用比值判别法或根式判别法来计算参数极限问题问题类型解决思路参数极限问题是指含有参数的极解决参数极限问题，需要先分析限问题，需要根据参数的取值范参数的取值范围，然后根据不同围来讨论极限是否存在，以及极的取值范围来讨论极限对于不限的值同的取值范围，可能需要使用不同的极限计算方法典型例题求极限limx→01+ax/x，其中a为实数当a=0时，极限不存在当a≠0时，极限为∞多元函数极限定义特点1多元函数的极限是指函数在多个变量同时趋近于某个点时的极限多元函数的极限需要满足对于任意正数，总存在正数，使得εδ当|x,y-x₀,y₀|δ时，都有|fx,y-A|ε计算方法2计算多元函数的极限，可以使用各种方法，例如直接代入法、换元法、极坐标法等路径极限3多元函数的极限可能不存在，因为函数沿着不同的路径趋近于某个点时，极限值可能不同例如，函数fx,y=xy/x^2+y^2在点0,0处的极限不存在重极限123概念理解计算方法注意事项重极限是指对一个二重极限进行第二次极计算重极限，需要先计算内层的极限，然重极限的计算需要满足一定的条件，例如限计算，即limx→x₀limy→y₀fx,y后再计算外层的极限内层的极限必须存在，并且外层的极限也必须存在极限在物理中的应用速度与加速度功与功率电磁感应速度是位移关于时间的变化率，加速度功是力与位移的乘积，功率是功关于时电磁感应现象是电磁学中的重要现象，是速度关于时间的变化率，它们的计算间的变化率，它们的计算也需要用到极它的计算也需要用到极限例如，感应都需要用到极限例如，瞬时速度可以限例如，瞬时功率可以通过功关于时电动势可以通过磁通量关于时间的变化通过位移关于时间的变化率的极限来定间的变化率的极限来定义率的极限来定义义极限在经济中的应用边际分析弹性概念边际分析是指研究经济变量变化弹性是指经济变量变化对其他经对其他经济变量影响的分析方法济变量的反应程度，它的计算也，而边际概念的定义需要用到极需要用到极限例如，需求价格限例如，边际成本是指每增加弹性是指价格变化对需求量的影一单位产品的成本变化量，它可响程度，它可以通过需求量关于以通过成本函数关于产量的变化价格的变化率的极限来定义率的极限来定义优化问题经济学中的许多问题都可以转化为优化问题，而求解优化问题需要用到微积分，而微积分的基础是极限理论例如，企业利润最大化问题可以通过求解利润函数的极值来解决极限在工程中的应用极限理论在工程领域有着广泛的应用，例如误差分析、近似计算、工程优化等例如，在桥梁设计中，需要考虑桥梁的抗风性能，而抗风性能的计算需要用到极限理论习题解析数列极限基础题型1求数列{an}的极限，其中an=1/n，an+1=an+1/n+1^2中等难度2求数列{an}的极限，其中an=1+1/n^n挑战题目3求数列{an}的极限，其中an=1+1/2+1/3+...+1/n习题解析函数极限有理函数极限无理函数极限复合函数极限求极限limx→1x^2-1/x-1求极限limx→0√1+x-1/x求极限limx→0sinx^2/x^2习题解析参数极限参数方程求极限limt→0sint/t,cost隐函数求极限limx→0y-1/x，其中y=√1+x多参数问题求极限limx→0x^2+ay/x，其中a为实数习题解析无穷小量123等价替换阶的比较综合应用求极限limx→0sinx-x/x^3比较两个无穷小量αx=x^2和βx=sinx在求极限limx→0e^x-1-x/x^2x→0时的阶极限研究方法定义应用性质运用根据极限的定义，直接证明极限运用极限的各种性质，例如唯一存在的条件，即对于任意正数，性、有界性、保号性、迫敛性等ε总存在正数δ，使得当0|x-，来简化极限计算或判断极限是x₀|δ时，都有|fx-A|ε否存在定理使用使用各种极限定理，例如夹逼定理、单调有界定理、柯西极限存在定理、LHospital法则等，来求解极限极限题目解题策略识别题型首先要判断题目是数列极限还是函数极限，以及极限的形式，例如0/0或∞/∞等选择方法根据题目的特点和极限的形式，选择合适的解题方法，例如有理化、换元法、泰勒展开、夹逼准则、LHospital法则等验证结果最后要验证结果的正确性，可以将结果代入原极限式，或者使用其他方法来进行验证常用极限公式导出极限2limx→∞1+1/x^x=e，基本极限limx→01+x^1/x=elimx→0sinx/x=1，limx→01-cosx/x=01，limx→0tanx/x=1特殊形式limx→∞x^α/e^x=0，limx→∞lnx/x=0，其中为正数α3极限计算技巧总结化简技巧使用代数运算、三角恒等式、函数性质等化简极限表达式，例如将分子或分母有理化、合并同类项、使用三角恒等式等转化方法将极限问题转化为其他形式的极限问题，例如使用换元法、等价无穷小替换、夹逼准则等常见陷阱避免一些常见的错误，例如运算顺序错误、替换条件不满足、无穷形式处理不当等考试重点内容重要概念极限的定义、性质、分类、无穷小量、无穷大量等1关键定理2夹逼准则、单调有界准则、柯西极限存在准则、LHospital法则等典型题型3数列极限、函数极限、参数极限、无穷小量比较、极限与微积分的联系等解题方法归纳基本思路常用方法技巧总结分析题目的特点和极限的形式，选择合有理化、换元法、泰勒展开、夹逼准则使用一些技巧来简化计算或避免错误，适的解题方法，进行化简、转化，最后、LHospital法则、定义法、性质法、定例如使用等价无穷小替换、注意运算顺验证结果的正确性理法等序、防止无穷形式处理不当等重点难点分析理解难点1理解极限的定义和概念，例如ε-N语言定义、无穷小量、无穷大量等计算难点2掌握极限的各种运算规则，例如四则运算、复合运算、幂指运算等，并学会如何应用这些规则进行极限计算应用难点3将极限理论应用到实际问题中，例如解决物理、经济、工程等领域的问题常见误区辨析概念误区计算误区应用误区混淆极限的定义和概念在极限计算中出现错误错误地将极限理论应用，例如将无穷小量与无，例如运算顺序错误、到实际问题中，例如将穷大量混淆、将极限与替换条件不满足、无穷LHospital法则用于求连续性混淆等形式处理不当等解非0/0或∞/∞的不定式极限综合练习一数列极限1求数列{an}的极限，其中an=1/n，an+1=an+1/n+1^2函数极限2求极限limx→1x^2-1/x-1参数极限3求极限limx→01+ax/x，其中a为实数综合练习二无穷小量夹逼定理法则LHospital求极限limx→0sinx-x/x^3求极限limx→0sinx/x求极限limx→∞x^2+1/x-1综合练习三连续性判断函数fx=|x|在点x=0处的连续性间断点判断函数fx=1/x在点x=0处的间断点类型一致连续判断函数fx=x^2在区间[0,1]上一致连续性高考真题解析本节将选取近年高考真题，讲解常见的极限问题类型，并分析解题思路和得分要点，帮助同学们更好地掌握高考考点，提高解题能力竞赛题目选讲奥赛题目思维方法本节将选取一些奥赛题目，探讨讲解竞赛解题的思维方法，例如竞赛中常见的极限问题类型，例逆向思维、构造法、转化法等如求解复杂函数的极限、证明极限不等式等解题技巧分享一些竞赛解题的技巧，例如使用等价无穷小替换、利用函数的性质等知识点总结12基本概念重要定理极限的定义、性质、分类、无穷小量夹逼准则、单调有界准则、柯西极限、无穷大量等存在准则、LHospital法则等3计算方法有理化、换元法、泰勒展开、夹逼准则、LHospital法则、定义法、性质法、定理法等。