《高等数学基础教程》课件

高等数学基础教程本教程旨在帮助您掌握高等数学的基本概念和应用，为后续的专业学习打下坚实基础课程概述课程目标课程内容培养学生对高等数学的基本概念和方法的理解，提升分析问题和函数与极限、导数与微分、积分学、微分方程、无穷级数等内容解决问题的能力学习目标和要求掌握高等数学的基本概念和理熟练运用高等数学的基本方法12论体系和技巧能够将高等数学知识应用到实际问题中3考核方式说明平时成绩期中考试课堂参与、作业完成情况等占总成绩的30%期末考试占总成绩的70%课程大纲第一章1函数与极限第二章2导数与微分第三章3积分学第四章4微分方程第五章5无穷级数第一章函数函数的概念函数的概念及性质、函数的表示方法常见函数类型幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等复合函数复合函数的定义、复合规则反函数反函数的概念、求解方法函数的定义域与值域定义域值域定义域是指使函数有意义的自变量取值范围如何确定函数的定值域是指函数所有可能的输出值范围如何计算函数的值域？义域？基本初等函数幂函数指数函数对数函数形如的函数，其形如的函数，其形如的函数y=x^n y=a^x y=log_ax中为实数中为大于且不等于，其中为大于且不等n a01a0的常数于的常数1三角函数正弦函数、余弦函数、正切函数等复合函数复合规则复合函数的求值需要先求内层函数的值，再将结果代入外层函数定义示例复合函数是指一个函数的变量是由另一个例如，，其中内层函数为fx=sinx^2函数的值所决定的函数，外层函数为x^2sinx213反函数概念1反函数是指将函数的输入和输出互换得到的函数条件2只有单调函数才存在反函数方法3求反函数的方法是将函数关系式中的和互换，然后解出x y y函数的性质（上）周期性奇偶性函数在一定区间内重复出现的性质单调性函数关于原点对称或关于轴对称的性质y函数在定义域内单调递增或单调递减的性质函数的性质（下）有界性1函数在定义域内取值范围有限的性质连续性2函数在定义域内没有间断点的性质判断方法3通过函数的图像或解析式判断函数的性质第二章极限概念12数列极限函数极限数列极限是指当趋于无穷大时，数列的值趋于一个定值的性质函数极限是指当趋于某个值时，函数的值趋于一个定值的性质n x数列极限收敛数列常见数列收敛数列是指具有极限的数列收敛数列具有哪些性质？等比数列、等差数列等常见数列的极限如何求解？函数极限左极限与右极限无穷大与无穷小函数从左侧和右侧趋近于某个值当自变量趋于无穷大或无穷小时时，函数的值分别趋近于不同的，函数的值分别趋于无穷大或无极限穷小极限存在函数极限存在的条件是左右极限相等极限运算法则四则运算夹逼准则单调有界准则极限的四则运算法则和、差、积、商的夹逼准则如果两个函数的极限相等，并单调有界准则如果一个函数在定义域内极限且第三个函数始终介于这两个函数之间，单调递增且有上界，或者单调递减且有下那么第三个函数的极限也等于这两个函数界，那么该函数就存在极限的极限重要极限无穷小量阶数2无穷小量的阶数是指无穷小量与自变量的幂的比值的极限定义1无穷小量是指当自变量趋于某个值时，函数的值趋于的量0等价如果两个无穷小量的比值的极限为，那13么这两个无穷小量称为等价无穷小函数的连续性定义1函数在某个点连续是指当自变量趋近于该点时，函数的值趋近于该点的函数值间断点2函数在某个点不连续，称为该点是函数的间断点性质3连续函数在定义域内没有间断点，具有许多重要的性质一致连续性定义一致连续是指函数在整个定义域内连续，且连续性程度一致区别与普通连续的区别在于一致连续要求连续性程度一致，而普通连续只要求在每个点连续判断判断函数是否一致连续的方法可以通过图像或解析式分析第三章导数定义123物理意义几何意义可导性导数代表了函数在某一点的变化率，例如导数代表了函数在某一点的切线的斜率，函数在某一点可导是指函数在该点存在导速度就是位移函数关于时间的导数即函数图像在该点的切线与轴正方向所数，可导性与连续性之间存在一定的关系x成的角的正切值导数计算规则基本公式四则运算复合函数基本求导公式，如和、差、积、商的求导复合函数求导法则，即x^n的导数，的导数等法则链式法则sinx高阶导数定义高阶导数是指对函数进行多次求导得到的导数例如，二阶导数是指对函数求导两次1得到的导数莱布尼茨公式2莱布尼茨公式是用于计算两个函数的乘积的高阶导数的公式常见函数3一些常见函数的高阶导数，如x^n的n阶导数，sinx的二阶导数等隐函数求导存在定理求导方法隐函数存在定理是指在一定条件下，可以从隐函数关系式中解出隐函数求导方法是将隐函数关系式两边同时对求导，然后解出x显函数y参数方程求导导数计算方法参数方程的导数是指将参数方程计算参数方程的导数需要使用链中的和分别对参数求导，然式法则x yt后用表示关于的导数yyx应用实例参数方程求导可以用于求解曲线在某一点的切线斜率，以及曲线的弧长等微分概念不变性关系微分形式不变性是指微分与自变量的变化定义微分与导数之间存在紧密的联系微分是量成正比微分是指函数在某一点的变化量，它可以导数的乘积形式用导数来表示导数的应用

（一）单调性1导数可以判断函数的单调性，导数大于则函数单调递增，导数0小于则函数单调递减0极值点2导数可以找到函数的极值点，极值点是指函数的导数为或不存0在的点最值问题3导数可以解决函数在给定区间上的最值问题，通过求导找到函数的极值点，并比较极值点和端点处的函数值即可得到最值导数的应用

（二）凹凸性导数的二阶导数可以判断函数的凹凸性，二阶导数大于则函0数图像向上凹，二阶导数小于则函数图像向下凹0拐点拐点是指函数图像的凹凸性发生改变的点，拐点处的二阶导数等于或不存在0渐近线导数可以用于求解函数的渐近线，渐近线是指当自变量趋于无穷大或无穷小时，函数图像无限接近于的一条直线第四章不定积分12原函数不定积分原函数是指导数为给定函数的函数不定积分是指求原函数的运算，不定积分的结果是一族函数3基本积分表基本积分表列出了常见函数的积分公式换元积分法第一类第二类第一类换元法是指将被积函数中的部分代换成新的变量，然后进第二类换元法是指将自变量用新的变量表示，然后进行积分行积分分部积分法公式条件分部积分公式是用来求解两个函分部积分法的应用条件是，被积数的乘积的积分的公式函数可以分成两个可以分别求导和积分的函数循环积分在某些情况下，分部积分法可能会产生循环积分，需要用巧妙的方法来解决有理函数积分真分式假分式部分分式真分式是指分子次数小假分式是指分子次数大部分分式分解是指将假于分母次数的有理函数于或等于分母次数的有分式分解成若干个真分理函数式三角函数积分万能替换万能替换是指将三角函数用新的变量表示，然后进行积分1三角代换2三角代换是指将积分变量用三角函数表示，然后进行积分特殊技巧3对于一些特殊的三角函数积分，需要使用一些特殊的技巧来求解第五章定积分性质几何意义定积分具有线性性、可加性、积分中值定定义定积分的几何意义是指曲线围成的面积理等性质定积分是指对函数在一定区间上的积分，它可以用来计算曲线围成的面积、旋转体的体积等牛顿莱布尼茨公式-推导应用条件牛顿莱布尼茨公式是用来计算定积分的公式，它是微积分基本牛顿莱布尼茨公式的应用条件是被积函数在积分区间内连续--定理的体现定积分的换元法原理常见替换定积分的换元法是指将积分变量常见替换包括三角函数代换、指用新的变量表示，然后进行积分数函数代换等注意事项定积分的换元法需要注意积分限的改变定积分的分部积分公式技巧例题定积分的分部积分公式定积分的分部积分法需例题分析可以帮助我们是用来求解两个函数的要选择合适的函数进行更好地理解定积分的分乘积的定积分的公式分部积分部积分法的应用反常积分无穷限1无穷限反常积分是指积分区间包含无穷大的反常积分无界函数2无界函数反常积分是指被积函数在积分区间内存在无穷大的反常积分收敛性3反常积分的收敛性是指反常积分的值是否存在定积分的应用

（一）体积计算2定积分可以用来计算旋转体的体积面积计算1定积分可以用来计算曲线围成的面积弧长计算定积分可以用来计算曲线的弧长3定积分的应用

（二）旋转体体积1定积分可以用来计算曲线绕某直线旋转得到的旋转体的体积旋转体表面积2定积分可以用来计算曲线绕某直线旋转得到的旋转体的表面积物理应用3定积分在物理学中有很多应用，例如计算功、计算力矩等第六章微分方程12概念阶数微分方程是指包含未知函数及其导数微分方程的阶数是指方程中出现的最的方程高阶导数的阶数3解微分方程的解是指满足微分方程的函数一阶微分方程可分离变量齐次方程线性方程可分离变量方程是指可以将微分方程的左齐次方程是指微分方程的左右两边都是关线性方程是指微分方程关于未知函数及其右两边分别写成关于自变量和因变量的函于自变量和因变量的同次齐次函数导数是线性的数可降阶的高阶方程降阶方法常见类型解法步骤可降阶的高阶方程是指通过适当的代换常见类型包括二阶线性齐次方程、二阶解法步骤包括降阶、求解低阶微分方程，可以将高阶微分方程降阶为低阶微分线性非齐次方程等、还原求解高阶微分方程的解方程线性微分方程齐次线性非齐次线性齐次线性方程是指微分方程的右非齐次线性方程是指微分方程的边为右边不为00解的结构线性微分方程的解的结构可以分为齐次解和特解常系数线性方程特征方程法1特征方程法是用来求解常系数线性齐次微分方程的解的方法特解求法2特解求法是用来求解常系数线性非齐次微分方程的解的方法完全解构造3完全解构造是将齐次解和特解叠加得到常系数线性非齐次微分方程的完全解第七章多元函数概念多元函数是指自变量有多个的函数，例如二元函数、三元函数等几何意义二元函数的几何意义是指在三维空间中的曲面定义域定义域是指使多元函数有意义的自变量取值范围多元函数极限12二重极限存在条件二重极限是指当自变量趋近于某个点二重极限存在的条件是，无论自变量时，多元函数的值趋近于一个定值的从哪个方向趋近于该点，函数的值都性质趋近于同一个极限3计算方法计算二重极限的方法可以使用夹逼准则、单调有界准则等方法偏导数定义高阶偏导数混合偏导数偏导数是指多元函数对其中一个自变量高阶偏导数是指对多元函数进行多次偏混合偏导数是指对多元函数先对一个自求导，而其他自变量保持不变得到的导导得到的导数变量求偏导，再对另一个自变量求偏导数得到的导数全微分定义可微条件公式全微分是指多元函数在某一点的变化多元函数在某一点可微的条件是，函全微分公式是用来计算多元函数的全量，它可以用偏导数来表示数在该点的所有偏导数都存在且连续微分的公式复合函数求导求导法则链式法则全微分形式复合函数求导法则是指链式法则是指用来求解复合函数求导可以使用用来求解复合函数的导复合函数的导数的公式全微分形式来表示数的公式，它是复合函数求导法则的应用隐函数求导存在定理隐函数存在定理是指在一定条件下，可以从隐函数关系式中解出显函数求导方法隐函数求导方法是将隐函数关系式两边同时对求导，然后解出x y应用实例隐函数求导可以用于求解曲线在某一点的切线斜率等多元函数极值必要条件1多元函数在某一点取极值的必要条件是，函数在该点的梯度为零向量充分条件2多元函数在某一点取极值的充分条件是，函数在该点的矩阵是正定矩阵或负定矩阵Hessian条件极值3条件极值是指多元函数在一定的约束条件下取得的极值第八章重积分概念二重积分是指对二元函数在某个区域上的积分，它可以用来计算曲面围成的体积、计算区域的面积等计算方法二重积分的计算方法可以分为直角坐标系下的计算、极坐标系下的计算以及换元法性质二重积分具有线性性、可加性、积分中值定理等性质二重积分的计算123直角坐标系极坐标系换元法直角坐标系下的二重积分可以表示为两个极坐标系下的二重积分可以表示为两个定换元法是指将二重积分的积分变量用新的定积分的嵌套积分的嵌套，其中需要将积分变量和积分变量表示，然后进行积分限进行相应的变换三重积分概念计算方法应用举例三重积分是指对三元函数在某个空间区三重积分的计算方法可以分为直角坐标三重积分在物理学、工程学等领域都有域上的积分，它可以用来计算空间体的系下的计算、柱坐标系下的计算以及球广泛的应用体积、计算空间区域的质量等坐标系下的计算第九章无穷级数常数项级数收敛性常数项级数是指由无穷多个常数常数项级数的收敛性是指级数的项相加而成的级数值是否收敛于一个有限值和函数和函数是指常数项级数的和，它是一个关于自变量的函数正项级数收敛判别法比较判别法比值判别法根值判别法正项级数的收敛判别法是指判比较判别法是将待判定的级数比值判别法是指用级数的相邻根值判别法是指用级数的每一断正项级数是否收敛的方法，与已知收敛或发散的级数进行两项的比值的极限来判断级数项的根值的极限来判断级数的常用的方法包括比较判别法、比较，来判断待判定级数的收的收敛性收敛性比值判别法、根值判别法等敛性交错级数莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法是用来判断交错级数是否收敛的方法，它要求级数的项的绝对值单调1递减且趋于0绝对收敛2绝对收敛是指级数的各项的绝对值之和收敛条件收敛3条件收敛是指级数本身收敛，但其各项的绝对值之和发散。