《高等数学教学》课件

高等数学教学课标程概述与教学目课标程概述教学目高等数学是大学理工科专业的基础课程，内容涵盖函数、极限、连续、导数、微分、积分、多元函数、级数、微分方程等内容专业应高等数学在各中的用价值高等数学是许多学科的基础，如高等数学在工程领域中至关重要，物理学、化学、生物学、经济学、用于解决各种实际问题，例如桥金融学等，在这些学科中都有广梁设计、飞机制造、电力系统分泛的应用析等纲读教学大解函数与极限介绍函数的基本概念、极限的定义、性质和计算方法，以及函数的连续性一元函数微积分介绍导数的概念、求导法则、微分和积分的概念以及应用，包括函数的单调性、极值、凹凸性和拐点多元函数微积分介绍多元函数的偏导数、全微分、方向导数、梯度，以及多元函数的极值和重积分的概念和计算无穷级数与微分方程介绍无穷级数的收敛性、幂级数、傅里叶级数，以及常微分方程的基本概念和求解方法课说程考核方式明时绩试试平成期中考期末考占总成绩的30%，包括占总成绩的35%，主要占总成绩的35%，主要课堂参与、作业完成情考察函数与极限、一元考察多元函数微积分、况等函数微积分部分的知识无穷级数、微分方程部分的知识导论函数与极限函数概念1函数是将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的对应关系义极限定2函数在某点处的极限是指当自变量无限接近该点时，函数值无限接近一个常数连续性3函数在某点处的连续性是指函数在该点的极限值等于函数在该点的值函数的概念和特性义值单调定域域性奇偶性定义域是指函数可以取值的自值域是指函数可以取到的所有函数的单调性是指函数在定义函数的奇偶性是指函数关于原变量的集合函数值的集合域内随自变量的变化而变化的点的对称性，包括奇函数和偶趋势，包括单调递增和单调递函数减见常基本初等函数一次函数y=ax+b二次函数y=ax^2+bx+c指数函数y=a^x对数函数y=log_a x三角函数y=sin x,y=cos x,y=tan x复应合函数的理解与用义定复合函数是指将一个函数的自变量替换为另一个函数，形成一个新的函数运算复合函数的运算需要先求内层函数的值，再将结果代入外层函数进行计算应用复合函数在数学、物理、经济等领域都有广泛的应用义函数的极限定义定函数fx在x趋近于a时，如果函数值无限接近于一个常数L，则称L为fx在x趋近于a时的极限，记作lim_x→a fx=L义ε-δ定对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当0|x-a|δ时，有|fx-L|ε质运则极限的性与算法唯一性1一个函数在某点的极限，如果存在，那么一定是唯一的运质算性2极限可以进行加减乘除运算，并满足相应的运算法则夹逼定理3如果两个函数在某点的极限都存在且相等，那么夹在这两个函数之间的函数在该点的极限也存在且等于这两个函数的极限单调有界定理4如果一个函数在某区间上单调且有界，那么该函数在该区间的极限一定存在穷穷无小量与无大量穷穷无小量无大量当自变量无限接近于某点时，函数值无12当自变量无限接近于某点时，函数值无限接近于零限增大或无限减小连续函数的性连续性函数在某点处的极限存在且等于函数在该点的值左连续函数在某点处的左极限存在且等于函数在该点的值右连续函数在某点处的右极限存在且等于函数在该点的值间类断点的型123间跃间类间可去断点跳断点第二断点函数在该点的极限存在，但函数值不存在，函数在该点的左右极限都存在，但左右极限函数在该点的左右极限至少有一个不存在，或极限值与函数值不相等不相等或者左右极限都存在，但都不等于函数值连续质函数的性介值定理如果函数在闭区间上零点定理如果函数在闭区间上连续，那么函数在该区间上取到连续，且函数在该区间两端点的介于函数值之间的所有值函数值异号，那么函数在该区间内至少有一个零点最大值最小值定理如果函数在闭区间上连续，那么函数在该区间上一定存在最大值和最小值一元函数微分学导数的概念1导数是函数在某一点处的变化率，表示函数在该点处的瞬时变化速度微分的概念2微分是指函数在某一点处的增量与自变量增量的比值，表示函数在该点处的局部变化情况导应数的用3导数可以用来求函数的极值、单调性、凹凸性、拐点等，并可以应用于物理学、经济学、工程学等领域导义数的概念与几何意义义定几何意函数fx在x=a处的导数定义为lim_h→0[fa+h-fa]/函数在某一点处的导数等于该点处切线的斜率，也就是函数在该点h如果这个极限存在，则称fx在x=a处可导，导数记为处的瞬时变化率fa导数的基本公式导幂导导常数函数的数函数的数指数函数的数dc/dx=0dx^n/dx=nx^n-1da^x/dx=a^x ln a对导导数函数的数三角函数的数dlog_a x/dx=1/x lna dsin x/dx=cos x,dcos x/dx=-sin x,dtan x/dx=sec^2x复导则合函数求法链则式法如果y=fu和u=gx都是可导函数，则复合函数y=fgx的导数为dy/dx=dy/du*du/dx应用链式法则可以用于求解各种复合函数的导数，例如y=sinx^2和y=lncos x等阶导高数义定函数的二阶导数是指函数的一阶导数的导数，记为fx或d^2y/dx^2类似地，可以定义三阶导数、四阶导数等义几何意函数的二阶导数可以用来判断函数的凹凸性，即判断函数的曲线在某一点处是向上弯曲还是向下弯曲应用高阶导数可以应用于求解函数的极值、拐点、函数展开式等隐导函数求导求方法对隐函数方程两边同时求导，并利用链式2法则求得y义定1隐函数是指用方程形式定义的函数，例如x^2+y^2=1应用隐函数求导可以用来求解一些无法用显式表达式表示的函数的导数，例如y=lnx3+y等导参数方程求12义导定求方法参数方程是指用一个参数t表示自变量利用链式法则，将dy/dx表示为dyx和因变量y的方程，例如x=t^2,y/dt除以dx/dt=t^33应用参数方程求导可以用来求解一些无法用显式表达式表示的函数的导数，例如圆的方程x^2+y^2=r^2等应微分的概念与用微分是指函数在某一点处的增量微分可以用来近似计算函数的增与自变量增量的比值，表示函数量，例如在工程学中，可以用来在该点处的局部变化情况估计误差微分还可以应用于物理学、经济学、工程学等领域，例如在物理学中，微分可以用来描述运动的加速度和速度达则洛必法条件如果两个函数fx和gx在某点的极限都为零或都为无穷大，且fx和gx都1存在，则该点的极限可以通过求fx和gx的比值来求得应用2洛必达法则可以用来求解一些无法直接计算的极限，例如lim_x→0sin x/x等单调值函数性与极值极函数的极值是指函数在定义域内取得的最大2值或最小值，包括极大值和极小值单调性函数的单调性是指函数在定义域内随自1变量的变化而变化的趋势，包括单调递应增和单调递减用3函数的单调性和极值可以用来分析函数的图像，并可以应用于物理学、经济学、工程学等领域函数凹凸性与拐点凹凸性1函数的凹凸性是指函数的图像在某一点处是向上弯曲还是向下弯曲，包括凹函数和凸函数拐点2拐点是指函数的图像的凹凸性发生变化的点应用3函数的凹凸性和拐点可以用来分析函数的图像，并可以应用于物理学、经济学、工程学等领域值应函数的最用闭间值值求函数在区上的最大和最小利用函数的导数和极值，可以求得函数在闭区间上的最大值和最小值应实际问题用于函数的最值应用可以用来解决一些优化问题，例如求解最优生产计划、最优投资方案等积一元函数分学积积不定分定分不定积分是指求导数为给定函数的所有函数的集合，表示函数的原定积分是指求函数在给定区间上的面积，表示函数在该区间上的累函数积变化量积不定分的概念义定如果Fx=fx，则称Fx为fx的一个原函数，fx的所有原函数的集合称为fx的不定积分，记作∫fxdx质性不定积分的性质包括∫fxdx=Fx+C，其中C为任意常数；∫[fx+gx]dx=∫fxdx+∫gxdx；∫cfxdx=c∫fxdx，其中c为任意常数积基本分公式积幂积积常数函数的分函数的分指数函数的分∫c dx=cx+C∫x^n dx=x^n+1/n+1+C n≠-1∫a^x dx=a^x/lna+C对积积数函数的分三角函数的分∫1/x dx=ln|x|+C∫sin x dx=-cos x+C，∫cos xdx=sin x+C，∫tan xdx=ln|sec x|+C换积元分法方法换元积分法是指将积分变量替换为另一个变量，从而将原积分转化为更容易求解的积分类型换元积分法包括两种类型第一类换元积分法和第二类换元积分法应用换元积分法可以用来求解一些无法直接用基本积分公式求解的积分积分部分法应用公式1分部积分法可以用来求解一些无法直接∫u dv=uv-∫v du，其中u和v分别为用换元积分法求解的积分，例如∫x sinx2两个可导函数dx等积有理函数的分1分解将有理函数分解成若干个简单的有理函数之和，例如将1/x^2+1分解成1/2*1/x-i+1/x+i2积分对分解后的每个简单有理函数进行积分，然后将结果相加积定分的概念义定1定积分是指求函数在给定区间上的面积，表示函数在该区间上的累积变化量义几何意2定积分的几何意义是求函数图像在给定区间上与x轴围成的面积义物理意3定积分的物理意义是求物体在给定时间段内的位移、功或其他物理量积质定分的性线性性质∫[afx+bgx]dx=可加性∫[a,b]fxdx=∫[a,c]a∫fxdx+b∫gxdx，其中a和fxdx+∫[c,b]fxdx，其中ab为任意常数cb积分中值定理如果函数fx在闭区间上连续，那么存在一点c∈[a,b]，使得∫[a,b]fxdx=fcb-a顿牛-莱布尼茨公式应公式用∫[a,b]fxdx=Fb-Fa，其中Fx是fx的任意一个原函数牛顿-莱布尼茨公式可以用来计算定积分，将定积分的计算转化为求原函数的过程积换定分的元法方法将定积分的变量替换为另一个变量，从而将原积分转化为更容易求解的积分应用定积分的换元法可以用来求解一些无法直接用牛顿-莱布尼茨公式求解的积分积积定分的分部分公式∫[a,b]u dv=uv|_[a,b]-∫[a,b]v du，其中u和v分别为两个可导函数应用定积分的分部积分法可以用来求解一些无法直接用换元积分法求解的积分积应定分的用计积计积算面算体定积分可以用来计算曲线围成的面积定积分可以用来计算旋转体积计长计算弧算物理量定积分可以用来计算曲线弧长定积分可以用来计算功、位移、力矩等物理量多元函数微分学概念1多元函数是指自变量有多个的函数，例如fx,y=x^2+y^2导偏数2偏导数是指多元函数对其中一个自变量求导，其他自变量视为常数全微分3全微分是指多元函数在某一点处的增量与各个自变量增量的线性组合多元函数的概念义图定像多元函数是指自变量有多个的函数，例如fx,y=x^2+y^2，其多元函数的图像通常是三维空间中的曲面中自变量是x和y导偏数的概念义定多元函数fx,y对x的偏导数定义为lim_h→0[fx+h,y-fx,y]/h，记作∂f/∂x义几何意多元函数在某一点处的偏导数等于该点处函数图像在该自变量方向上的切线的斜率全微分的概念义定多元函数fx,y在点x,y处的全微分定义为df=∂f/∂xdx+∂f/∂y dy义几何意全微分表示多元函数在某一点处的局部变化情况，它是一个线性函数，可以近似地表示函数在该点处的增量应用全微分可以用来计算函数的增量、估计误差以及求解一些偏微分方程复导合函数的偏数链则式法如果z=fu,v和u=gx,y,v=hx,y都是可导函数，则复合函数z=fgx,y,hx,y对x的偏导数为∂z/∂x=∂z/∂u*∂u/∂x+∂z/∂v*∂v/∂x隐导函数的偏数12义导定求方法隐函数是指用方程形式定义的函数，例如x^2+y^2=1对隐函数方程两边同时求导，并利用链式法则求得∂y/∂x导方向数与梯度导方向数方向导数是指多元函数在某一点处沿某个方向的变化率，表示函数在该点处沿该方向的瞬时变化速度梯度梯度是一个向量，它的方向是多元函数在某一点处变化率最大的方向，它的模等于变化率的最大值值多元函数的极值极条件1多元函数在某一点处的极值条件是该点的偏导数都为零，或偏导数不存在值极判定2利用二阶偏导数和海森矩阵可以判断函数的极值是极大值、极小值还是鞍点值条件极义定拉格朗日乘子法条件极值是指多元函数在满足一定条件的情况下取得的极值拉格朗日乘子法可以用来求解多元函数的条件极值积重分积积二重分三重分二重积分是指求多元函数在二维区域上的积分，表示函数在该区域三重积分是指求多元函数在三维区域上的积分，表示函数在该区域上的累积变化量上的累积变化量积二重分的概念义几何意义定二重积分的几何意义是求函数图像在给定区域上与xy平面围成的二重积分是指求多元函数在二维区域上的积分，表示函数在该区域体积上的累积变化量积计二重分的算积迭代分法将二重积分转化为两次一元积分，先对其中一个自变量积分，再对另一个自变量积分标积极坐分法将二重积分转化为极坐标系下的积分，可以方便地计算一些对称性强的积分积应三重分的用计算体积计算质量计算重心计算惯性矩线积积曲分与曲面分线积积曲分曲面分1曲线积分是指求函数沿曲线的积分，表曲面积分是指求函数在曲面上的积分，2示函数在该曲线上的累积变化量表示函数在该曲面上的累积变化量穷级无数义定1无穷级数是指无限多个数相加的和，例如1+1/2+1/4+1/8+...敛收性2无穷级数的收敛性是指无穷级数的和是否存在，如果存在，则称该级数收敛，否则称该级数发散应用3无穷级数可以用来表示一些函数、求解微分方程，以及解决一些物理学和工程学中的问题项级常数数义敛别定收判法常数项级数是指每一项都是常数的无穷级数，例如1+1/2+1/4+有许多方法可以用来判别常数项级数的收敛性，例如比较判别法、1/8+...比值判别法、根式判别法等幂级数义敛应定收半径用幂级数是指每一项都是自变量的幂次形幂级数的收敛半径是指使得幂级数收敛幂级数可以用来表示一些函数，例如式的无穷级数，例如1+x+x^2+x^3的自变量值的范围sinx,cos x,e^x等+...级傅里叶数义定傅里叶级数是指将周期函数分解成一系列正弦函数和余弦函数的叠加应用傅里叶级数可以用来表示一些周期函数，例如声音波形、图像信号等常微分方程2求解方法有许多方法可以用来求解常微分方程，例如分离变量法、常数变易法、特征值法等义定常微分方程是指包含未知函数及其导数的方1程，例如y+y=0应用常微分方程可以用来描述一些物理学、工程学、生物学等领域中的问题3阶一微分方程12义类定型一阶微分方程是指只包含未知函数的一阶微分方程可以分为很多类型，例一阶导数的常微分方程如可分离变量的微分方程、齐次微分方程、线性微分方程等3求解方法不同的类型的一阶微分方程有不同的求解方法离变可分量的微分方程义定可分离变量的微分方程是指可以将未知函数和其导数分别放在等式两边的常微分方程求解方法将未知函数和其导数分别放在等式两边，然后对两边进行积分，即可得到微分方程的解。