《z变换的收敛域》课件

变换的收敛域z什么是变换z离散时间信号复频域变换是一种将离散时间信号变换将离散时间信号转换为z z从时域转换为频域的数学工具一个复变量的函数z系统分析变换在分析和设计离散时间系统中具有广泛的应用z变换的定义z将时域离散信号转换为域复频域信号z利用复频域工具分析和处理离散信号便于系统分析、设计和实现平面上的概念z变换将离散时间信号从时域转换到复频域，即平面平面是一个二维z z z复平面，横轴表示实部，纵轴表示虚部平面上的点可以用极坐标表示，其中幅值表示信号的频率，相位表示信z号的延迟单极点函数的变换z定义单极点函数是指在平面上只有一个极点的函数z形式这类函数可以表示为Xz=A/z-a收敛域单极点函数的收敛域由极点的位置决定极点分布和收敛域极点收敛域变换中的极点是指使得变换函数为无穷大的值极点的位收敛域是平面上所有使得变换收敛的值的集合收敛域z z z z z置决定了信号的收敛域的形状和大小由极点的位置决定极点在不同位置时收敛域分析原点外1收敛域为以原点为中心的圆环原点上2收敛域为以原点为中心的圆原点内3收敛域为原点之外的区域极点在原点外时收敛域分析原点外1当变换的极点位于原点外时，收敛域是一个环形区域，z包含原点但不包含极点环形区域2收敛域的内边界由最靠近原点的极点决定，外边界延伸至无穷远稳定性3当收敛域包含单位圆时，系统稳定，否则系统不稳定极点在原点上时收敛域分析原点1收敛域为圆环圆环2内径为0外径3为无穷大当变换的极点位于原点时，其收敛域为一个圆环这个圆环的内径为，外径为无穷大，表示收敛域包含整个平面的所有点z0z，除了原点本身极点在原点内时收敛域分析收敛域1包含原点的圆时域信号2因果序列系统3稳定系统稳定系统和不稳定系统的判别稳定系统不稳定系统系统输出有限，不会随着时间推移而发散系统输出无限，随着时间推移会发散多极点函数的变换z多极点函数多极点函数是指具有多个极点的函数，即在平面上有多z个点使函数的值趋于无穷大变换z对多极点函数进行变换，可以将时域信号转化为域信号z z收敛域多极点函数的变换收敛域由所有极点的位置共同决定z收敛域的求解求解变换分析极点位置确定收敛域z123首先需要求出序列的变换，得找出变换表达式中的所有极点根据极点位置，确定收敛域的范z z到变换表达式，并确定它们的位置围，即平面上的区域zz判定收敛域的步骤找到所有极点1首先，确定变换表达式中所有极点的值极点是指使zz变换表达式分母为零的那些值z确定极点的位置2判断每个极点是在原点内、原点上还是原点外这将决定收敛域的范围绘制收敛域3根据极点的位置和收敛域的规则，绘制平面上收敛域的z区域举例单极点函数1假设一个单极点函数，其极点位于其变换为z=a zXz=1/1-a/z根据极点位置，可以确定收敛域例如，当时，收敛a1域为，表示所有的绝对值大于的区域当时|z|a za a1，收敛域为，表示所有的绝对值小于的区域|z|a za举例双极点函数2极点位置收敛域分析变换公式z两个极点分别位于和根据极点位置，收敛域为双极点函数的变换可以根据公式进行z=

0.5z=-

0.5|z|

0.5z计算举例三极点函数3对于三极点函数，例如Xz=1+

0.5z⁻¹/1-

0.8z⁻¹1-

0.2z⁻¹1-

0.5z⁻¹其收敛域需要考虑三个极点的位置•z=

0.8•z=

0.2•z=

0.5根据极点的位置和收敛域的定义，可以得出该函数的收敛域为

0.5|z|

0.8变换收敛域与时域行为的关z系收敛域时域行为收敛域决定了变换的收敛性时域信号的性质，例如稳定性z，以及其对应的时域信号的性、因果性等，与收敛域密切相质关收敛域对应的时域特性收敛域为整个平面收敛域为外圆收敛域为内圆z对应时域信号为有限长序列，即只有对应时域信号为右半平面序列，即只对应时域信号为左半平面序列，即只有限个非零样本有在时才存在非零样本有在时才存在非零样本t≥0t≤0收敛域与系统稳定性的关系稳定性收敛域关系123系统的稳定性是指当受到扰动后变换的收敛域决定了系统是否如果变换的收敛域包含单位圆zz，系统能否最终恢复到稳定状态稳定，则系统是稳定的；反之，系统是不稳定的收敛域与频域特性的关系收敛域决定了系统的稳定性，而稳定性在频域上表现为系统通过分析收敛域可以推断出系统在不同频率下的响应特性，频率响应的稳定性例如低通、高通或带通滤波器收敛域应用案例1在数字信号处理中，变换的收敛域可以帮助我们判断系统是否稳定当z变换的收敛域包含单位圆时，系统是稳定的反之，如果收敛域不包含z单位圆，系统是不稳定的例如，一个系统变换的收敛域为由于收敛域不包含单位圆，所以z|z|1系统是不稳定的这意味着，如果系统受到扰动，它将无法恢复到平衡状态收敛域应用案例2在数字信号处理中，收敛域可以帮助我们判断系统的稳定性，并确定信号的时域特性例如，在设计数字滤波器时，我们可以通过分析其变换的z收敛域来确定其是否稳定，并根据收敛域的大小来调整滤波器的特性，以满足特定的应用需求收敛域应用案例3数字滤波器设计控制系统稳定性分析通信系统中的信号处理收敛域在数字滤波器设计中起到至关重收敛域与控制系统的稳定性密切相关收敛域在通信系统中广泛应用于信号处要的作用通过分析收敛域，可以确定通过收敛域可以判断控制系统是否稳定理、信道编码等领域，确保信号传输的滤波器的稳定性和频率响应，从而实现，并预测系统的动态响应可靠性和效率滤波器性能优化小结与展望总结展望变换是分析离散时间系统的随着数字信号处理技术的不断Z重要工具，其收敛域对于理解发展，对变换收敛域的研究Z系统稳定性、时域特性和频域将更加深入，为更复杂系统的特性至关重要分析和设计提供更强大的理论基础问答让我们回顾一下今天所学到的内容大家还有任何疑问吗？。