《高等数学极限》课件

高等数学极限数积高等学极限是微分的核心概念之一数时数趋它描述了函在自变量无限接近某个值，函值的向课程目标理解极限概念应用极限知识识问题对深入理解极限的概念，掌握极限的定能够运用极限知解决实际，并质计数质积关领义、性和算方法函性、微分等相域有更深入的理解什么是极限积当极限是微分的核心概念之一，它描述了自变量无限接近某一时数趋数数趋势规特定值，函值所近的值极限是研究函变化和积导数积础律的重要工具，也是微分中、分等概念的基数应数连续导数在高等学中，极限的概念被广泛用于函的性、、积穷级数分、无等重要概念的定义和研究极限的定义趋近概念语言图形理解ε-δ当时数对数数过图观数自变量无限接近某个值，函值无限于任意小的正ε，总存在一个正δ，极限定义可以通形直地理解，函数则称该数为数当满时数图渐接近某个常，常函的极自变量x足0|x-a|δ，函值fx像逐逼近极限点，但并不需要实际到满该限足|fx-A|ε达点极限的性质唯一性有界性

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22.数则数则函的极限如果存在，极限函如果存在极限，它一定值是唯一的有界保号性局部保号性

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44.当数数则函在某点附近取值恒大于函的极限如果大于零，在时该或小于零，它的极限值也大点附近存在一个邻域，使得这内数于或小于零在个邻域函的取值恒大于零极限的计算方法直接代入法1数连续函，直接代入求极限等价无穷小替换2穷换简计利用等价无小替，化算洛必达法则3对该则于0/0或∞/∞型极限，可利用法计数选择极限的算方法多种多样，要根据具体函形式合适的方法无穷小与无穷大无穷大当趋穷时数绝对称为穷自变量于某个值或无大，函的值无限增大的极限无大.无穷小当趋穷时数为则称该数为穷自变量于某个值或无大，函的极限零，函无小.关系穷穷数穷穷数无小是无大的倒，无大是无小的倒.无穷小的比较定义三种情况穷两个无小量αx和βx之间的

1.若limx→x0αx/βx=c c较当趋时则称比,就是研究x于x0,≠0,αx和βx是同阶穷αx和βx之比的极限.无小.则

2.若limx→x0αx/βx=0,称阶穷αx是βx的高无小.

3.若limx→x0αx/βx=∞,则称阶穷αx是βx的低无小.重要性较穷阶数断穷趋这数比无小量的,可以判无小量“于零”的速度,是研究函极导数限和的重要工具.洛必达法则条件则仅数数满洛必达法适用于函极限，且函需足特定条件•数穷为穷两个函在某点或无大处极限都0或无大•数导数该穷两函在点或无大处极限存在应用该则数当数现时法用于求解函极限，尤其函以0/0或∞/∞的不定式形式出过导简计通求，可以化极限的算步骤对别导导数数分子分母分求，然后求新的函的极限则数若新的极限存在，原函的极限也存在，且相等函数极限的应用优化问题逼近计算

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22.数计产来计数计圆求函最大值或最小值，例如，算最优生成本或最小使用极限概念近似算函值，例如，算周率或自产时对数化生间然物理模型经济学分析

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44.过计现预测场资建立物理模型并分析物理程，例如，算物体运动速度研究经济象，例如，市需求或分析投收益率弹或簧振动周期数列极限无限逼近收敛性数数项数敛列极限描述了列中在无限列的极限可能收到一个特定趋时为穷没近于某个特定值的行的值，也可能发散到无大或有极限重要概念数积为数连续导数列极限是微分中的一个重要概念，它理解函的性和奠础定了基数列极限的定义收敛发散当趋穷时数项当趋穷时数项没n近于无大，列中的无n近于无大，列中的则称该数趋则称该数限接近于某个固定值，列收有近于某个固定值，列发敛该于值散收敛数列的性质有界性唯一性单调性保号性敛数敛数单调数敛数为收列一定有界，即存在一收列的极限是唯一的，即递增或递减的列如果收如果收列的极限正，那数该数数敛敛该数项开该数个实M，使得列的所有如果一个列收，那么它的，那么它的极限就是列么从某一始，列的所项绝对项为敛数的值都小于M极限只可能是唯一的一个实的最小上界或最大下界有都正如果收列的数为负项开极限，那么从某一该数项为负始，列的所有都发散数列的性质无界性振荡性数换话说们没数围内敛发散列的值可以无限增长或无限减小句，它有上发散列的值可能在某个范上下波动，但不会收到一个特数荡数限或下限定的值例如，列-1^n就是一个典型的振列数列极限的运算加法1liman+bn=lim an+lim bn减法2liman-bn=lim an-lim bn乘法3liman*bn=lim an*lim bn除法4当liman/bn=lim an/lim bn,lim bn≠0数数规则这们计杂数这规则数关键骤列极限的运算遵循基本的代，使得我能够算复列的极限理解些运算是掌握列极限的步注意事项计算误差时计过误误积导结错误求极限，要注意算程中的差，避免差累致果图形直观图观运用形直理解极限的概念，有助于更好地理解极限的意义特殊情况穷穷要注意极限存在的特殊情况，例如无大、无小、极限不存在等情况极限的几何解释数图观释当时数函极限的概念可以用形直地解自变量无限接近某个值，函值这数无限接近某个值个值就是函的极限数当趋穷时数这例如，函fx=1/x，x近于正无，函值无限接近0可以在数图当来时数图来轴函的像上看到x的值越越大，函像越越靠近x函数间断及其分类第一类间断点第二类间断点数该数该函在点左右极限存在，但左函在点左右极限至少有一个数数称为右极限不相等或函值不存在，不存在或函值不存在，第称为断断第一类间点二类间点可去间断点跳跃间断点数该数该函在点左右极限存在且相函在点左右极限存在且不相数称为断等，但函值不存在或不等于左等，跳跃间点称为断右极限，可去间点间断点的判定方法直接代入1将数结为数则直接x值代入函表达式，如果果一个确定的值，该为连续点点左、右极限比较2别计数该分算函在点处的左极限和右极限，如果左右极限相则该为连续等，点点利用函数的性质3数满质单调如果函足某些性，例如有界性、性等，可以利用这质断断些性判间点函数的连续性定义几何意义数数连续数图如果函在某一点的极限等于函在某点意味着函该数则称该数该没断点的函值，函在像在点有裂或跳跃.该连续点.重要性连续许数础积性是多学定理的基，比如微分中的基本定理.连续函数的性质介值定理最大值最小值定理一致连续连续数闭区数连续数闭区数函在间上取到介于函值之间函在间上必取得最大值和最小在定义域上，函的增长或下降速率保持数连续的所有值值一致，确保函的性分段函数的连续性定义条件数数组内内数须连续分段函由多个函片段成，每个片段在不同的定义域生在每个片段的定义域，函必效连须数在接点处，左右极限必相等，且等于函值，即左右极限一数连满连续证连续数分段函在接点处需要足性条件才能保整体致且等于函值极限的应用微积分物理经济工程积础为应应计极限是微分的基，求极限在物理学中广泛用，极限在经济学中用于分析市极限用于工程设、优化导数积论计场趋势预测标结计、分提供了理基例如算物体的速度、加速、经济指，例构，例如算材料的强础积问题时问题计润应问它在解决微分度，以及解决力学如算利最大化点，并解度、力，并解决力学关问题题至重要决优化微分中值定理罗尔定理1连续导且可拉格朗日定理2数函变化率柯西定理3数两个函数论础积数数计应微分中值定理是高等学中重要的理基，在微分、函逼近、值算等方面都有广泛用们数规计数围微分中值定理帮助我理解函的变化律，并提供了一种估函值变化范的方法导数与连续性的关系连续函数导数可导性隐含连续性数连续数图该导数数线数导该数该函在某点意味着函形在点无反映了函在某点的变化率，即切一个函在某点可意味着函在点断图过该连续数导该连续这数间，形平滑地通点斜率函在某点可意味着点存，但反之不成立意味着一个函线数该连续导在切，函在点平滑变化可以但在某点不可，例如存在尖角线或垂直切泰勒公式近似表示高阶导数

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22.项数来开数泰勒公式利用多式函近泰勒公式的展式中包含函数阶导数似表示一个函的高信息余项应用广泛

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44.项误积数泰勒公式的余表示近似泰勒公式在微分、值分领应差，反映了近似程度析、物理等域有广泛的用函数极值的应用优化问题函数图像分析工程应用寻润计过数单调区计找最大利、最小成本、最优设等通极值点确定函的间和凹凸性桥梁设、电路分析、流体动力学等实际问题的求解应用场景求解方法论问题过数将问题极限理在实际中有着广泛通建立学模型，实际应转为问题的用，例如物理学中的速度和化极限，利用极限的性质计进终加速度，经济学中的边际效用，和算方法行求解，最得误问题以及工程学中的差分析等到实际的答案实例们来计时给例如，我可以利用极限的概念算物体的瞬速度，或是在定条数敛件下确定函的收值课程总结课内质计程容涵盖极限概念，包括极限的定义、性和算方法绍数应讨数断连续介了函极限的用，并深入探了函间和性概念习积应导数学了极限在微分中的重要用，包括、中值定理和泰勒公式复习与思考课数论应质计本程涵盖了高等学中极限的理和用，从极限的概念、性、算方法数应数数断连续积应到函极限的用、列极限，最后延伸到函间、性和微分中的用习课内质应将这识续复本程容，深入理解极限的概念、性和用，并些知与后的积课内来为习阶数识坚础微分程容联系起，学更高的学知打下实的基。