《临界与极值问题》课件

临界与极值问题临界与极值问题是数学分析中的重要内容这些问题涉及函数在特定点或区间内的最大值和最小值课程目标理解临界点概念掌握极值的定义掌握求解极值的一般步骤掌握临界点定义，并能应用于实际问题能够理解极值的几何意义，并能判断函数能够运用求导法求解函数的极值，并进行是否存在极值相关应用什么是临界点在微积分中，临界点指的是函数一阶导数为零或不存在的点临界点是函数可能取得极值的地方换句话说，函数在临界点可能取得最大值、最小值或者拐点临界点是研究函数极值问题的重要基础，它帮助我们确定函数可能取得极值的位置，进而帮助我们找到函数的最大值和最小值临界点的定义导数为零导数不存在12函数在该点处的导数为零，即切线与横轴平行函数在该点处的导数不存在，例如尖点、拐点等临界点的几何意义导数为零导数不存在最小值点最大值点当函数图像的切线水平时，导当函数图像在某点存在尖点或当函数图像在某点达到最小值当函数图像在某点达到最大值数为零，对应于函数的水平切垂直切线时，导数不存在，该，该点可能为临界点，导数可，该点可能为临界点，导数可线点，该点可能是临界点点也可能是临界点能为零或不存在能为零或不存在极值的定义极大值极小值函数在某点取得极大值，是指该点附近函数在某点取得极小值，是指该点附近的函数值都小于或等于该点的函数值，的函数值都大于或等于该点的函数值，即该点是局部最大值点即该点是局部最小值点极值的几何意义函数的极值对应着函数图像上的最高点或最低点这些点代表着函数在该点附近取得最大值或最小值函数在极值点处的切线通常是水平的，这意味着导数为零在求极值时，可以利用导数为零的条件来寻找可能的极值点，并进一步通过二阶导数判断其性质极值问题的一般过程确定目标函数1明确需要求极值的目标函数，并定义其自变量寻找临界点2求解目标函数的一阶导数，找到其导数为零或不存在的点判别极值类型3使用二阶导数检验或其他方法判定临界点是否为极值点，以及是极大值还是极小值比较极值大小4如果需要找到全局最大值或最小值，则需要比较所有极值的大小解决极值问题需要遵循一系列步骤首先需要明确需要求极值的目标函数，并定义其自变量然后需要寻找临界点，即函数的一阶导数为零或不存在的点接着通过二阶导数检验或其他方法判定临界点是否为极值点，以及是极大值还是极小值最后，如果需要找到全局最大值或最小值，则需要比较所有极值的大小最大最小问题的求解步骤确定函数1首先，需要确定函数的表达式，这通常需要根据具体的问题进行分析和建模确定定义域2函数的定义域是指自变量可以取值的范围，这是一个重要的约束条件，需要根据实际情况进行确定求导数3对函数进行求导，得到导函数导函数可以用来分析函数的单调性，找到极值点的位置求极值点4通过分析导函数，找出导函数为零的点或导函数不存在的点，这些点就是可能的极值点判断极值类型5利用二阶导数检验法或其他方法，判断极值点的类型，是最大值点、最小值点还是鞍点求函数在定义域边界上的值6函数的极值点可能出现在定义域的边界上，需要计算函数在边界上的值，与极值点进行比较比较大小7比较所有可能的最大值和最小值，找出最大值和最小值，并确定它们对应的自变量的值一元函数求极值的必要条件导数为零导数不存在一元函数在极值点处的导数为零一元函数在极值点处的导数可能，这是求极值的必要条件，但不不存在，例如函数在极值点处有是充分条件尖点或拐点函数单调性变化在极值点附近，函数的单调性会发生变化，例如从递增变为递减或从递减变为递增一元函数求极值的充分条件二阶导数二阶导数如果在临界点处函数的二阶导数如果在临界点处函数的二阶导数大于零，则该点为极小值点小于零，则该点为极大值点二阶导数如果在临界点处函数的二阶导数等于零，则该点可能为极大值点、极小值点或鞍点求极值的具体方法求解极值问题，需要采用特定的方法，针对不同的函数类型，可以选择不同的方法直接法1利用函数的定义，直接求解函数的最大值或最小值导数法2利用函数的导数，找到函数的驻点，并判断驻点是否为极值点拉格朗日乘数法3利用拉格朗日乘数法，求解在约束条件下函数的最大值或最小值直接法适合求解简单函数的极值，导数法适合求解可导函数的极值，拉格朗日乘数法适合求解有约束条件的函数的极值具体案例分析1单峰函数求解极值临界点的几何意义考虑一个单峰函数，例如fx=-x^2+4x-找到导数fx=-2x+4并将其设为0，求临界点x=2对应于函数图像上的最高点3，它的图像是一个开口向下的抛物线，得临界点x=2可以验证在x=2处取得，即函数取得极大值的点只有一个极值点最大值具体案例分析2求函数fx=x^3-3x^2+1在闭区间[-1,2]上的最大值和最小值首先求函数的导数fx=3x^2-6x，并令其等于0，解得x=0或x=2然后计算函数在区间端点和临界点处的函数值f-1=-3，f0=1，f2=-3，f2=-3因此，函数fx在区间[-1,2]上的最大值为1，最小值为-3具体案例分析3求函数fx=x^3-3x^2+4在区间[-1,3]上的最大值和最小值

1.求函数fx的导数fx=3x^2-6x

2.令fx=0，解得x=0或x=

23.求出函数fx在区间端点和临界点处的函数值

4.比较函数值，得到最大值和最小值具体案例分析4本案例探讨一个函数的临界点，它可能会存在多个极值点通过分析函数的导数，可以找到临界点接下来，我们可以利用一阶导数和二阶导数信息，判断这些临界点是最大值点、最小值点还是鞍点找到极值点后，可以通过比较不同极值点的函数值，最终确定函数的全局最大值和最小值具体案例分析5求函数fx=x^3-3x^2+1在区间[0,2]上的最大值和最小值.首先求函数的导数fx=3x^2-6x，令fx=0，得x=0或x=

2.将x=0和x=2以及区间端点x=0和x=2代入函数fx中，得到函数值分别为f0=1，f2=-3，f0=1，f2=-

3.因此，函数fx在区间[0,2]上的最大值为1，最小值为-

3.具体案例分析6成本优化利润最大化某工厂生产某种产品，生产成本与产量之间的关系可以用一个函企业可以通过分析产品价格、成本和销量之间的关系，建立利润数表示求解该函数的极值可以帮助工厂找到生产成本最低的产函数求解利润函数的极值可以帮助企业找到利润最大的销售策量，从而实现成本优化略，实现利润最大化具体案例分析7求函数y=x^3-3x+2在区间[-2,2]上的最大值和最小值先求函数的导数y=3x^2-3，令y=0，得x=1或x=-1再求函数的二阶导数y=6x，当x=1时，y=60，函数在x=1处取得极小值；当x=-1时，y=-60，函数在x=-1处取得极大值比较函数在x=-2，x=-1，x=1，x=2处的函数值，可知函数在x=2处取得最大值6，在x=-1处取得最小值0具体案例分析8在实际应用中，经常会遇到求解函数极值的问题求解极值问题需要先判断函数是否存在极值点，再求解极值点例如，在一个生产过程中，我们需要确定最佳生产规模，以最大化利润我们可以将利润表示为生产规模的函数，并通过求解函数的极值点来确定最佳生产规模具体案例分析9求函数最大值建筑设计经济学应用求函数在给定区间上的最大值，可以使用在建筑设计中，可以使用极值问题来优化企业可以通过求解利润函数的极值问题来导数的性质来找到临界点和极值点，并比屋顶的形状，以最大限度地利用阳光和最确定最优的生产和定价策略，以实现利润较它们的大小来确定最大值小化材料使用最大化具体案例分析10本案例分析一个函数，在特定区间内，寻找其最大值与最小值首先，需要找到该函数在该区间上的所有临界点其次，需要计算函数在临界点以及区间的端点处的函数值最后，比较这些函数值，找出最大值和最小值常见错误分析遗漏临界点区间错误求导后，可能会遗漏函数导数不存在的点，导未确定函数的定义域，可能将极值点误判在函致错过临界点数定义域之外计算错误方法误用计算导数或极值时，可能存在代数运算或符号对极值点的判定条件理解不透彻，可能会将非错误，导致结果偏差极值点误判为极值点注意事项

11.判别极值点

22.充分条件务必先判断临界点是否是极值点，再判使用一阶导数检验法时，需要结合二阶断极值点的类型导数检验，以确保结果的准确性

33.边界点

44.复杂函数在求解闭区间上的最值问题时，需将边对于复杂函数，可采用求导化简、图像界点与极值点进行比较，确定最大值和分析或数值计算等方法来解决问题最小值本章小结临界点极值点求解步骤导数为零或不存在的点，称为临界点函数在极值点取得极值，即最大值或最求解极值问题，首先要找到函数的所有临界点可能对应极值点，也可能不是小值极值点一定是临界点，但临界点临界点，然后根据一阶导数和二阶导数不一定是极值点的符号判断临界点是否是极值点，以及是极大值还是极小值课后练习1本节课后练习旨在帮助学生巩固对临界点和极值的概念理解，并熟练掌握求解一元函数极值的方法练习内容涵盖了不同类型的函数，包括多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数，并设计了不同难度级别的题目，以满足不同程度学生的学习需求学生可以通过完成这些练习，检验自己对课程内容的掌握程度，并进一步提升对临界与极值问题的分析和解决能力课后练习2本题是一个非常经典的极值问题，可以通过一元函数求极值的必要条件和充分条件来解决首先需要找出函数的临界点，然后利用一元函数求极值的充分条件来判断临界点是极大值还是极小值解题过程中需要注意函数的定义域，并排除函数定义域之外的点本题的解题思路是利用一元函数求极值的必要条件和充分条件来解决问题通过求导和判断导数的符号，我们可以确定函数的单调性，从而判断临界点是极大值还是极小值课后练习3求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[0,2]上的最大值和最小值首先，求函数fx的导数，即fx=3x^2-6x然后，令fx=0，解得x=0或x=2接着，求函数fx在区间[0,2]的端点处的函数值，即f0=2和f2=-2最后，比较函数fx在临界点和端点处的函数值，可知fx在区间[0,2]上的最大值为2，最小值为-2课后练习4求函数y=x^3-3x^2+3x在区间[0,2]上的最大值和最小值课后练习5请您在理解本节内容的基础上，完成以下练习，并思考这些练习背后的数学原理和应用场景您可以参考课本上的例题和习题，也可以自行设计一些更有挑战性的题目进行练习如果您在练习过程中遇到任何问题，请及时向老师或同学寻求帮助。