《数列的递推公式》课件

数列的递推公式递推公式是描述数列中每一项与前一项或前几项之间关系的公式，是解决数列问题的有力工具它可以用于求数列的通项公式，以及研究数列的性质数列的定义定义特点12数列是指按照一定顺序排每个数称为数列的项，每列的一列数例如，1,2,个数对应一个自然数，称3,4,

5...为项的序号表示3用字母a表示数列，用下标表示项的序号，例如a1，a2，a

3...数列的表示方法列举法通项公式法递推公式法直接列出数列的各项，用逗号隔开，用一个关于自然数n的公式表示数列用前几项与后一项之间的关系来表示例如1，3，5，7，9，…的通项，例如an=2n-1数列，例如an=an-1+2常见数列类型算术数列几何数列等差数列，相邻两项的差为常数等比数列，相邻两项的比为常数斐波那契数列前两项为1，后一项为前两项之和算术数列定义通项公式等差数列是指从第二项起，an=a1+n-1d，其中a1每一项都比它前一项增加一为首项，d为公差个常数，这个常数叫做公差性质等差数列的各项之和等于首项加上末项的积，再乘以项数的一半几何数列定义公式从第二项起，每一项都等于它的前一项乘以一个常数的数设首项为a1，公比为q，则几何数列的通项公式为an=列，叫做几何数列，这个常数叫做公比a1*qn-1数列的性质单调性有界性收敛性数列的单调性是指数列的项按一定规数列的有界性是指数列的项的值都落数列的收敛性是指数列的项在趋近于律增大或减小在一定范围内某个特定值通项公式定义作用通项公式是表示数列中每一项与项数之间的关系式可以根据项数直接求出数列中的任意一项累加公式计算前项和简化计算1n2累加公式用于计算数列前通过公式，无需逐项相加n项之和即可直接计算和广泛应用3在数学、物理、统计等领域都有广泛应用递推公式的概念递推公式定义了数列中每个项与通过递推公式，我们可以通过已前一项或前几项之间的关系知项推算出后面的项，从而得出整个数列递推公式揭示了数列的内在规律，体现了数列中各项之间紧密的联系递推公式的作用简化计算描述规律使用递推公式可以避免直接递推公式能清晰地表达数列求出通项公式，简化计算过项之间的递推关系，揭示数程列的内在规律解决问题递推公式在实际问题中应用广泛，例如人口增长模型、股票价格预测等递推公式的特点简洁性直观性用较少的式子表达数列的规清晰地体现出数列的递推关律系易用性方便求数列的任意一项如何写出递推公式分析规律仔细观察数列的前几项，找出它们之间的递推关系例如，等差数列的递推关系为an=an-1+d，等比数列的递推关系为an=an-1*q列写递推关系根据观察到的规律，写出数列的递推公式递推公式通常以an的形式表示，其中n表示项数，an表示第n项的值确定初始值为了使递推公式完整，需要确定数列的初始值初始值是用来启动递推过程的，例如，等差数列的初始值通常为a1，等比数列的初始值通常为a1分析规律观察前几项1观察数列的前几项，找出它们之间的关系寻找递增递减/2判断数列是递增还是递减，或是否有规律的周期性变化计算差值比值/3计算相邻两项之间的差值或比值，看是否能发现规律列写递推关系确定初始值1数列的第一项或前几项寻找递推规律2观察数列的每一项与前一项之间的关系写出递推公式3用数学表达式表示递推关系递推公式的表示递推公式通常用等式表示，等式左侧例如，斐波那契数列的递推公式为递推公式中通常使用符号来表示数列表示当前项，右侧表示前一项或多项an=an-1+an-2，其中n≥3，的项，例如an表示数列的第n项的函数关系表示当前项等于前两项之和一阶线性递推公式一般形式特点举例an=pan-1+q当前项的值仅依赖于前一项的值和一a1=2，an=3an-1+1个常数项二阶线性递推公式定义系数12二阶线性递推公式的形式其中p和q是常数，fn为an=p*an-1+q*是一个关于n的函数an-2+fn初始值3需要给出数列的前两个值a1和a2来确定整个数列递推公式的求解展开法特解法特征方程法通过不断代入递推公式，将递推关系找到一个满足递推公式的特解，并利通过建立特征方程，求解特征根，并展开，最终得到通项公式用它求出通项公式利用特征根构造通项公式展开法第一步1将递推公式不断地代入，直至将目标项表示为初始条件和常数项的线性组合第二步2将初始条件代入展开式，得到目标项的具体数值第三步3简化计算结果，得到最终的解特解法猜测特解1根据递推公式的特点，猜测一个可能的特解代入验证2将猜测的特解代入递推公式，验证其是否满足公式求解通项3如果特解满足公式，则可以将其作为通项公式的一部分特征方程法求解特征方程1根据递推关系式建立特征方程求解特征根2解特征方程得到特征根构造通项公式3利用特征根和初始条件构造通项公式递推公式在实际问题中的应用人口增长模型放大系数计算股票价格预测利用递推公式模拟人口增长趋势，预通过递推公式计算信号放大器的放大使用递推公式建立股票价格模型，分测未来人口数量倍数析股票走势，预测未来价格人口增长模型指数增长模型逻辑斯蒂增长模型12假设人口增长率恒定，每考虑环境资源的限制，人年增长的人口数与原有的口增长率会随人口数量的人口数成正比，可使用指增加而下降，可以用逻辑数增长模型来预测人口数斯蒂增长模型来描述这种量增长趋势其他增长模型3还可以根据不同的实际情况，采用不同的增长模型，如季节性增长模型、随机增长模型等放大系数计算放大系数是指将信号或数据放大计算放大系数可以帮助我们分析或缩小的倍数数据变化趋势，并进行预测放大系数可以用于股票价格预测、人口增长模型等实际问题股票价格预测技术分析基本面分析机器学习利用图表模式和指标识别趋势和交易评估公司的财务状况、行业前景和宏使用历史数据训练模型预测未来的价信号观经济因素格走势本课程小结递推公式定义递推公式构造递推公式求解实际应用递推公式是描述数列中后通过观察数列的规律，找常用的方法有展开法、特递推公式广泛应用于人口一项与前面若干项之间关到前后项之间的关系，并解法和特征方程法，根据增长模型、放大系数计算系的公式，它体现了数列用公式表示出来递推公式的具体形式选择、股票价格预测等领域的递归性合适的解法递推公式的定义和性质定义性质优点递推公式是指利用数列中前几项递推公式可以用来描述数列的规递推公式简洁易懂，适用于描述的值来确定下一项的值的公式律，并推导出数列的通项公式各种类型的数列递推公式的构造和求解方法分析规律列写递推关系通过观察数列的前几项，找出相邻项之间的关系，并用数根据分析的规律，将数列的第n项用前几项表示出来，即学表达式表示出来写出递推公式递推公式在实际中的应用计算预测许多计算问题可以使用递推公式递推公式可以用于预测未来趋势简化求解，例如计算利息、贷款，例如人口增长、股票价格等还款额等编程递推公式在编程中广泛应用，例如递归算法等思考与练习恭喜大家！我们已经学习了数列的递推公式，包括它的定义、性质、构造方法和求解方法，以及在实际问题中的应用现在让我们来做一些练习，巩固我们所学的知识。