《高等数学》连续》课件

高等数学连续函数-连续函数是高等数学的重要概念，它描述了函数在某个区间内连续变化的特性连续函数的定义函数的连续性在数学中，连续函数是指函数的图形没有间断点，即曲线连续不断直观地，我们可以理解为在函数图象上画出一条直线，当直线与函数图象相交时，直线在函数图象上不会突然断开连续函数的性质有界性最大值最小值定理

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22.在一个闭区间上连续的函数，在该区间上必然有界在一个闭区间上连续的函数，在该区间上一定能取得最大值和最小值中间值定理介值定理

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44.在一个闭区间上连续的函数，如果函数在该区间端点的函在一个闭区间上连续的函数，如果函数在该区间端点的函数值异号，则函数在该区间内至少存在一个零点数值分别为和，则函数在该区间内能够取得介于和a ba之间的任何值b一致连续函数一致连续定义一致连续性质在整个定义域上，函数的变化率有界，即对于任何一个给定的正如果一个函数在某个区间上是一致连续的，那么它一定在这个区数，都存在一个正数，使得当两个点的距离小于该正数时，它们间上是连续的，但反过来不一定成立的函数值之差也小于给定的正数连续函数的运算加减运算乘法运算两个连续函数的和差仍然是连续函两个连续函数的乘积仍然是连续函数，这是由连续函数的定义直接推数，这个结论也是由连续函数的定出的例如，两个连续函数和义直接推出的两个连续函数fx fx的和为，它也是一和的乘积为，也是gx fx+gx gxfx*gx个连续函数一个连续函数除法运算复合函数两个连续函数的商在分母不为零的复合函数的连续性需要满足一定的情况下仍然是连续函数，这个结论条件当外函数和内函数都连续也是由连续函数的定义直接推出时，复合函数也是连续的的两个连续函数和的商fx gx为，只有在不为零fx/gx gx的情况下才是连续函数初等函数的连续性多项式函数有理函数指数函数对数函数在整个定义域上连续在分母不为零的点上连续在整个定义域上连续在正实数域上连续复合函数的连续性复合函数连续性连续函数当一个函数的定义域包含另一个函数的值复合函数的连续性取决于其组成函数的连如果复合函数的每个组成函数在对应的点域时，这两个函数可以组成复合函数续性上都是连续的，则复合函数在该点也是连续的微分中值定理引入微分中值定理是微积分学中一个重要的定理，它刻画了函数在某个区间内的变化规律，为许多重要的结论提供了基础内容若函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，则存在一点c∈a,b，使得fc=fb-fa/b-a成立几何意义微分中值定理的几何意义是指，在函数图像上连接两点的直线的斜率等于函数在该区间内某个点的切线的斜率应用微分中值定理在许多实际问题中都有应用，例如，它可以用来证明函数的单调性、求解方程的近似解以及研究函数的凹凸性等罗尔定理前提条件1•函数在闭区间上连续•函数在开区间上可导•函数在闭区间端点处的函数值相等定理内容2如果满足上述条件，则在开区间内至少存在一点，使得函数在该点的导数为零几何意义3在满足罗尔定理条件的情况下，函数图像上至少存在一个水平切线拉格朗日中值定理连续函数1在闭区间上连续可导函数2在开区间上可导中值点3存在一个中值点c拉格朗日中值定理是一个重要的微积分定理它指出，如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在这个区间内一定存在一个点，使得函数在该点的导数等于函数在这两个端点处的平均变化率柯西中值定理柯西中值定理两个可导函数1同一区间导数之比2函数值之差的比值存在一点3导数之比等于函数值之差的比值柯西中值定理是微积分中的一个重要定理，它是拉格朗日中值定理的推广柯西中值定理是证明许多微积分结论的重要工具，例如泰勒公式和洛必达法则函数的极限定义性质

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22.函数的极限是函数在自变量趋函数极限的性质包括唯一性、近于某个值时，函数值所趋近有界性、保号性等的值求法

33.求函数极限的方法包括直接代入法、等价无穷小替换法、洛必达法则等未定式的计算利用洛必达法则化简代换当极限为或时，可使通过代数变形或三角恒等式化简0/0∞/∞用洛必达法则求解表达式，消除未定式泰勒展开式将函数展开为泰勒级数，并利用级数的性质求解极限函数极限存在的判定夹逼定理单调有界定理定义ε-δ若函数和的极限都存在，且如果函数在某个区间上单调且有界，对于任意给定的正数，存在一个正数fx gxfxε，则的极限也存则在该区间上存在极限，使得当时，有fx≤hx≤gx hxfxδ0|x-a|δ|fx-A|在，且等于和的极限，则极限存在fx gxεlimx→a fx=A无穷小的概念定义性质当自变量趋于某个值时，如果函数的极限为零，则称该函数为无•两个无穷小的和仍然是无穷小穷小•无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小等价无穷小的性质等价无穷小的替换线性替换无穷小的乘除无穷小的加减在求极限时，可以将等价无穷如果两个无穷小量是等价无穷等价无穷小的乘除运算结果仍等价无穷小的加减运算结果不小替换为另一个等价无穷小，小，则在计算极限时，可以将然是等价无穷小，例如一定等价于原无穷小，例如x^2简化计算过程其中一个用另一个代替与是等价无穷小与是不等价无穷小2x^2x x^2的渐近线functions函数的渐近线是指当自变量趋于无穷大或某一特定值时，函数图形无限接近的直线它反映了函数在极限情况下的行为函数的渐近线可以分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线渐近线的求法水平渐近线求解极限，当结果存在有限值时，该直线是函数的水平渐近线垂直渐近线求解极限，当结果为无穷大时，该直线是函数的垂直渐近线斜渐近线当存在有限值，且存在有限值时，该直线是函数的斜渐k b近线函数的连续性与可导性可导性蕴含连续性可导性更强若函数在某点可导，则该点必连可导性比连续性更强的性质，可续可导函数一定连续，但连续导性要求函数在某点的导数存函数不一定可导在，意味着函数在该点的变化率存在且有限实际应用连续性和可导性在数学建模和物理应用中至关重要，例如描述物体运动、温度变化等连续变化过程间断点的分类第一类间断点第一类间断点是指函数在该点左右极限都存在，但左右极限不相等或者函数在该点无定义第一类间断点又分为跳跃间断点和可去间断点第二类间断点第二类间断点是指函数在该点至少有一个极限不存在第二类间断点又分为无穷间断点和振荡间断点闭区间上连续函数的性质有界性最大值最小值定理12闭区间上连续函数有界，即函闭区间上连续函数必取得最大数值在闭区间内有最大值和最值和最小值小值介值定理一致连续性34闭区间上连续函数在区间端点闭区间上连续函数在该区间上处取得的函数值之间，函数值是一致连续的，即无论有多ε一定取遍所有值小，总能找到，使得当两个δ点之间的距离小于时，函数δ值之间的距离小于ε积分中值定理积分中值定理1积分中值定理是微积分学中一个重要的定理，它揭示了连续函数在闭区间上的积分与函数在该区间内某个点的函数值的乘积之间的关系定理内容2如果函数在闭区间上连续，则在上至少存在一fx[a,b][a,b]点，使得成立ξ∫a^b fxdx=fξb-a几何意义3积分中值定理的几何意义是在上，函数的曲线与[a,b]fx x轴围成的面积等于以为高的矩形面积fξ反函数的连续性反函数定义连续性图示如果一个函数是单调的，则其反函数一定如果一个函数在某一点处连续，则其反函反函数的图形可以通过将原函数图形关于存在数在对应点处也连续直线对称得到y=x隐函数的连续性定义判定性质当一个方程可以定义一个函数可以使用微分法判定隐函数的连续性如隐函数的连续性确保了函数图象的连续Fx,y=0时，称为隐函数如果在果对的偏导数不为零，那么性，使我们能够在定义域内进行更深入的y=fx Fx,y Fx,y y定义域上连续，那么也是连续的是连续的分析和应用fx fx级数的连续性收敛级数逐项求导

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22.在收敛区间内，级数可以看作在收敛区间内，可以对级数进一个连续函数行逐项求导，得到新的级数逐项积分连续性保持

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44.在收敛区间内，可以对级数进如果原级数在收敛区间内连行逐项积分，得到新的级数续，那么新的级数也连续幂级数及其收敛性定义收敛性收敛半径收敛区间幂级数是指形如幂级数的收敛性取决于的收敛半径指的是以为收敛区间是指幂级数收敛的∑n=0∞x R x0的无穷级数，其取值范围，通常使用收敛半中心的开区间全部值的集合，通常包含anx-x0n x0-R,x0+Rx中是常数，是常数，径和收敛区间来描述上，幂级数收敛的范围收敛半径内的所有点，以及an x0x是变量端点处可能收敛的点函数的收敛性与连续性函数的收敛性指当自变量趋于连续函数的图形是一条无间断收敛函数的定义比连续函数的函数的连续性与收敛性是高等某个值时，函数的值趋于某个的曲线，而收敛函数的图形则定义更广泛，一些不连续的函数学中重要的概念，它们在微常数连续性是指函数在某个可能在某个点处存在间断如数也可能在某个点处收敛例积分、微分方程等领域中都有点处的值等于该点处的极限果一个函数在某个点处连续，如，函数在处广泛的应用fx=1/x x=0值那么它在该点处一定收敛不连续，但它在处收敛于x=0无穷大级数函数的连续性级数函数的连续性一致收敛性逐项求导当级数函数的收敛域为开区间时，级如果级数函数在其收敛域内一致收如果级数函数在其收敛域内逐项可数函数在其收敛域内连续敛，则级数函数在其收敛域内连续导，则级数函数的导函数也连续重要定理回顾微分中值定理闭区间上连续函数性质积分中值定理

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33.包括罗尔定理，拉格朗日中值定包含介值定理，最大值最小值定包括积分第一中值定理和积分第二理，柯西中值定理这些定理在证理，零点定理这些性质在证明函中值定理，它们为计算定积分和估明函数性质和计算极限时有重要作数性质和求解方程时有重要应用计积分值提供了理论基础用实际应用举例连续函数在数学、物理学和工程学中都有广泛应用例如，在物理学中，位置、速度和加速度都是时间的连续函数在工程学中，连续函数被用来建模各种物理现象，例如温度、压力和流量连续函数也用于数据分析、信号处理和图像处理等领域在金融市场中，连续函数被用来建模股票价格的变动总结连续函数的概念连续函数的性质连续函数是一个重要的数学概连续函数具有许多重要的性质，念，它描述了函数在某个点或某例如介值定理、最大值最小值定个区间上的平滑性理等“”连续函数的应用连续函数的未来连续函数在物理、工程、经济学随着数学的发展，连续函数的研等领域都有广泛的应用究将会更加深入，并应用到更多领域。