大值、最小值问题》课件北师大版选修

大值、最小值问题课程目标理解大值、最小值的概念学会运用函数的性质求解大提升数学思维能力123值、最小值掌握求解大值、最小值问题的基本培养分析问题、解决问题的能力方法能够灵活运用各种解题技巧解决实际问题本章内容函数的单调性函数的极值函数的单调性和极值的关系在定义域内，函数值随着自变量的增大函数在某个区间内取得的最大值或最小函数的单调性与极值之间存在着密切的而增大，或随着自变量的增大而减小，值，称为该函数在该区间内的极值联系就称函数具有单调性什么是大值、最小值在数学中，大值和最小值是指一个函数或集合中最大的元素和最小的元素在一个给定的范围内，一个函数可以有许多不同的值，而大值和最小值是指这个函数在这个范围内的最大值和最小值例如，函数fx=x^2在x=1和x=2之间的最大值为f2=4，最小值为f1=1大值、最小值的应用优化问题数据分析经济学例如，在生产过程中，如何确定最佳生产在数据分析中，我们可以利用大值、最小在经济学领域，大值、最小值可以用来分方案以最大限度地提高利润，或在工程设值来确定数据集中的极值，并分析数据的析经济指标的变化趋势，例如股市的波动计中，如何确定最佳材料组合以最小化结分布特征、商品的价格变化等构成本如何求解大值、最小值问题明确函数1首先要确定所求解问题中涉及的函数确定自变量范围2根据实际情况，确定自变量的取值范围，即函数的定义域求导数3对于连续函数，求导数并分析导数的正负性，确定函数的单调性求驻点4找到导数为零或导数不存在的点，即函数的驻点比较值5将函数在定义域端点和驻点处的值进行比较，确定函数的最大值和最小值问题分类函数类型求解目标约束条件根据函数类型，分为连续函数、分段求解目标可以是最大值、最小值或两问题可能包含对自变量或函数值的限函数和常见函数者制连续函数的大值、最小值定义域确定函数的定义域，以便在该范围内寻找大值和小值极值找到函数的极值点，这些点可能是最大值或最小值边界值检查函数在定义域边界上的值，它们也可能是最大值或最小值连续函数的性质在定义域内，函数图像是连续不断的当自变量的变化量无限小时，函数值曲线的改变量也无限小在闭区间上，连续函数一定取得最大值和最小值求解连续函数的大值、最小值找到导数1首先，我们需要找到函数的导数求解驻点2然后，我们将导数设置为零，并求解方程以找到驻点确定最大值和最小值3最后，我们将驻点以及函数定义域的端点代入原函数，比较函数值的大小，就可以找到最大值和最小值分段函数的大值、最小值分段函数的定义1定义域内，不同区间对应不同解析式性质分析2各段函数性质独立，找到关键点求解步骤3求各段函数大值/小值，再比较分段函数的性质定义域值域连续性分段函数的定义域是由各段函数的定义域分段函数的值域是由各段函数的值域的并分段函数的连续性取决于各段函数的连续的并集构成，需注意各段函数的定义域是集构成，需注意各段函数的值域是否包含性，以及各段函数在分段点处的函数值是否包含所有实数所有实数否相等求解分段函数的大值、最小值确定函数定义域1首先要确定分段函数的定义域，即函数自变量的取值范围求出各段函数的大值、最小值2分别求出每个定义域区间上的函数的大值和最小值比较各段函数的极值3将各个区间上的大值、最小值进行比较，找到函数在整个定义域上的最大值和最小值常见函数的大值、最小值一元二次函数反比例函数通过配方、判别式、图像等方法利用函数的单调性、图像等求解求解指数函数对数函数利用函数的单调性、图像等求解利用函数的单调性、图像等求解一元二次函数的大值、最小值顶点坐标一元二次函数的顶点坐标为-b/2a,-Δ/4a开口方向当a0时，开口向上；当a0时，开口向下对称轴对称轴为直线x=-b/2a反比函数的大值、最小值定义域1反比函数的定义域是x不等于0的所有实数单调性2当k大于0时，反比函数在定义域的每个区间上是单调递减的值域3当k大于0时，反比函数的值域是y不等于0的所有实数指数函数的大值、最小值单调性1a1,单调递增定义域2全体实数值域3y0对数函数的大值、最小值单调性1对数函数的单调性与底数有关底数大于1时，函数单调递增；底数小于1时，函数单调递减定义域2对数函数的定义域为正实数，这意味着只能对正数取对数值域3对数函数的值域为全体实数，这意味着对数函数可以取到任何实数三角函数的大值、最小值正弦函数y=sinx的值域是[-1,1]，最大值为1，最小值为-1余弦函数y=cosx的值域是[-1,1]，最大值为1，最小值为-1正切函数y=tanx的值域是-∞,+∞，没有最大值和最小值余切函数y=cotx的值域是-∞,+∞，没有最大值和最小值大值、最小值问题的解题技巧公式应用图像分析逻辑推理运用导数、不等式等数学工具找到函数的通过观察函数图像，找出函数的最高点或结合题意和函数性质，进行逻辑推理，推极值，从而确定最大值或最小值最低点，从而确定最大值或最小值断出最大值或最小值的取值范围案例分析一我们以一个实际问题为例，说明如何利用导数求函数的最大值和最小值设某工厂生产某种产品的成本函数为Cx=x^2-10x+25元，其中x为产品的产量单位百件已知产品的售价为每件15元，求当产量为多少时，工厂的利润最大？案例分析二某工厂生产一种产品，成本为每件10元，售价为每件15元为了促销，工厂决定对销量超过100件的部分进行折扣，折扣后的售价为每件12元问工厂应该生产多少件产品才能获得最大利润？案例分析三例已知函数\fx=x^3-3x+1\，求函数\fx\在区间\[-2,2]\上的最大值和最小值解函数\fx=x^3-3x+1\的导数为\fx=3x^2-3\令\fx=0\，得\x=1\或\x=-1\当\x=-2\时，\f-2=-5\当\x=-1\时，\f-1=3\当\x=1\时，\f1=-1\当\x=2\时，\f2=3\所以，函数\fx\在区间\[-2,2]\上的最大值为3，最小值为-5课后练习练习题拓展练习

1.求函数fx=x2-2x+1在区间[-1,2]上的最大值和最小值

4.利用导数求函数y=x3-3x+2在区间[-2,2]上的最大值和最小值

2.求函数fx=|x-1|+|x+1|在区间[-2,2]上的最大值和最

5.求函数fx=x+1/x在区间[1,4]上的最大值和最小值小值

6.在直角坐标系中，求点P x,y到点A1,0和点B0,1的

3.求函数fx=sin2x+cos2x在区间[0,2π]上的最大值和距离之和的最小值最小值课后反思回顾知识点反思学习过程拓展学习内容回顾本节课所学的大值、最小值问题思考在学习过程中遇到的难点和疑惑尝试寻找相关知识的拓展资料，进一概念和解题方法，并思考其应用场景，并尝试寻找解决方案步加深对大值、最小值问题的理解知识拓展优化算法微积分优化问题现实世界中的优化问题探索如何使用优化算法，如梯度下降法，将大值、最小值问题与微积分的概念相结探究大值、最小值问题在现实世界中的应来有效地找到函数的最小值合，理解如何使用导数来求解优化问题用，例如在工程学、经济学和生物学中的应用总结与展望本节课我们学习了大值、最小值问题，并探讨了不同函数类型求解大值、最小值的技巧未来我们将进一步学习更复杂的数学模型和优化方法，解决更多实际问题。