大学高数课件——重要极限

大学高数课件重要极限——课程概述高等数学重要性高等数学是大学阶段的重要基础课程，它涵盖了微积分、线性代数高等数学是理工科专业学生必修课程，为后续专业课程学习打下坚、概率论等内容实基础第一章集合、序列与极限的基本概念本章将介绍微积分中的基本概念集合、序列和极限集合的基本概念

1.1定义元素集合是指具有共同性质的对象的集合中的每个对象称为元素，元总体，例如自然数集合、实数素之间没有重复集合、函数集合等表示方法集合可以用列举法、描述法或图形法来表示序列的基本概念

1.2定义分类性质序列是指按照一定顺序排列的一列数，每序列可以分为无穷序列和有限序列无穷序列的性质包括单调性、有界性、收敛性个数称为序列的项可以用通项公式表示序列有无穷多项，有限序列只有有限多项等了解这些性质有助于判断序列的极限每个数，例如是否存在以及极限值an=n²极限的定义及基本性质

1.3定义性质极限的概念是微积分的核心，它描述极限满足一些重要的性质，例如极限了函数或序列在趋近某一点或无穷大的唯一性、极限的保序性、极限的运时，其值的变化趋势算性质等应用极限是很多数学概念的基础，例如导数、积分、级数等，它在很多领域都有广泛的应用第二章极限的计算方法本章将介绍几种常用的极限计算方法，帮助您更好地理解和掌握极限的概念以及应用直接代入法等价无穷小与洛单调有界准则与必达法则柯西收敛准则对于一些简单的函数，可以直接将自变量对于一些复杂的函数这两个准则可以帮助的值代入函数表达式，可以利用等价无穷判断序列的收敛性，进行计算小或洛必达法则进行并提供一些计算极限化简，从而更容易地的方法计算出极限直接代入法

2.1直接代入法适用范围举例123直接将自变量的极限值代入函数表该方法适用于函数在自变量的极限例如，求极限limx-2x^2+1达式，若所得结果为有限值，则该值处连续，且函数表达式为简单的，可直接将代入表达式，得到结x=2值为函数的极限代数式或三角式果为5等价无穷小与洛必达法则

2.2等价无穷小洛必达法则将函数化为等价无穷小形式可以简化极限计算，尤其适用于复杂函当极限形式为或时，可以通过洛必达法则计算极限，0/0∞/∞数的求解将极限转化为导数的极限单调有界准则与柯西收敛

2.3准则单调有界准则柯西收敛准则12如果一个数列是单调递增（或如果一个数列满足柯西收敛条递减）且有界，那么这个数列件，那么这个数列一定收敛一定收敛第三章连续函数及其性质连续函数的定义连续函数的性质函数在一个点处连续意味着函数值和连续函数具有许多重要性质，包括中极限值相等，并且函数在该点处存在间值定理、最大值最小值定理和一致对于一个区间，函数在该区间上的连续性等每一个点处都必须是连续的连续函数的定义与性质

3.1定义性质函数在某点连续是指函数在该点处的值等于函数在该点处的极限值连续函数具有许多重要的性质，例如中间值定理、最大值最小值定理、介值定理等等间断点与间断函数

3.2定义分类当函数在某点处不连续时，该点间断点可分为第一类间断点（可称为函数的间断点去间断点和跳跃间断点）和第二类间断点示例函数在处存在间断点，它是一个第二类间断点fx=1/x x=0复合函数与反函数的连续性

3.3复合函数反函数若函数在处连续，且函数在若函数在处连续且单调，则其反函数y=fu u=gx u=gx x=y=fx x=x0x=f-处连续，则复合函数在处连续在处连续x0y=f[gx]x=x01y y=fx0第四章重要极限公式本章将介绍微积分中最重要的一些极限公式，这些公式是解决很多问题的重要工具指数函数的极限

4.1极限定义计算方法当趋于无穷大时，指数函数利用极限的定义和指数函数的性质，x e^x趋于正无穷大；当趋于负无穷大时可以计算出指数函数的极限x，指数函数趋于e^x0应用指数函数的极限在微积分、概率论等领域有广泛应用三角函数的极限sinx/x cosx-1/x tanx/x当趋近于时，的极限为当趋近于时，的极限为当趋近于时，的极限为x0sinx/x

1.x0cosx-1/x

0.x0tanx/x

1.对数函数的极限对数函数的极限常见极限对数函数的极限是微积分中重要的概念之一，它在许多领域都有一些常见对数函数的极限包括应用，例如物理学、工程学和经济学对数函数的极限可以帮助•lim x→0lnx=-∞我们理解函数在特定点处的行为•lim x→∞lnx=∞第五章函数的连续性与可导性本章将探讨函数的连续性与可导性，并解释它们之间的关系我们将学习如何判断一个函数是否连续，以及如何求解一个函数的导数函数的可导性定义条件函数在某一点可导意味着该点存函数在某一点可导需要满足两个在导数，即该点切线的斜率存在条件一是该点存在导数，二是该点切线的斜率存在意义函数可导性反映了函数在该点的局部性质，即函数在该点附近的变化趋势可导性的几何意义

5.2切线斜率瞬时变化率12函数在某一点处的导数等于该导数代表了函数在该点处的瞬点切线的斜率时变化率，描述了函数值的变化趋势几何意义3通过导数可以确定函数图像在某一点的切线方程，并分析函数在该点的变化趋势函数的连续性与可导性的关系可导性蕴含连续性连续性不蕴含可导性如果一个函数在某一点可导，那么它在该点一定连续一个函数在某一点连续，不一定在该点可导第六章连续函数的性质本章将深入研究连续函数的重要性质，包括介值定理、最大值最小值定理和渐近线等，这些性质为我们理解和应用连续函数提供了理论基础介值定理

6.1定义几何意义应用如果函数在闭区间上连续介值定理表明，连续函数的图形在两个介值定理在证明函数的零点存在性、求fx[a,b]，且，则对于介于和端点之间的任何高度都会至少穿过一次解方程等方面有重要应用fa≠fb fa.之间的任意实数，在开区间fb ya,.内至少存在一个实数，使得b cfc=y.最大值最小值定理定义应用若函数在闭区间上连续，则在上必取得最大值最小值定理在求解函数的最值问题、优化问题、以及证明fx[a,b]fx[a,b]最大值和最小值不等式等方面都有重要的应用渐近线

6.3水平渐近线当趋向于正无穷或负无斜渐近线当趋向于正无穷或负无穷x x穷时，函数的值无限接近于一个常数时，函数的图像无限接近于一条直线垂直渐近线当趋向于某一点时，函x数的值无限接近于正无穷或负无穷。