空间直角坐标系课件

空间直角坐标系空间直角坐标系是描述空间中点位置的重要工具，也是许多科学和工程领域的基础空间坐标系的建立选择原点确定坐标轴确定坐标轴方向空间中任意一点可以作为坐标系的原过原点，互相垂直的三条直线作为坐标根据右手法则确定坐标轴的正方向点轴空间直角坐标系的定义原点坐标轴坐标平面三个坐标轴的交点称为原点空间直角坐标系由三个互相垂直的直线任何两个坐标轴所决定的平面称为坐标组成，称为坐标轴平面坐标轴的正负方向轴轴1x2y通常指向右方，正方向用箭头通常指向上方，正方向用箭头表示，负方向与正方向相反表示，负方向与正方向相反轴3z通常指向前方，正方向用箭头表示，负方向与正方向相反空间三维坐标的意义31维度点三个坐标轴唯一位置∞空间所有点空间直角坐标的表示方法点坐标向量坐标用三个有序实数表示空用三个有序实数表示空x,y,z a,b,c间一点的位置，分别表示该点在间向量，分别表示该向量在x轴、轴、轴上的坐标轴、轴、轴上的投影长度x yz yz平面坐标用一个线性方程表示，形如，其中、、、为ax+by+cz+d=0a bc d常数，且、、不全为零a bc点的坐标表示空间中一点坐标轴上的投影在空间直角坐标系中，可以用一个有该点到三个坐标轴的投影分别为x,序的三元数组来唯一确定空x,y,z y,z.间中的一个点坐标值分别是该点在轴轴轴x,y,z x,y,z上的坐标值平面的坐标表示平面方程法向量点和法向量用一个线性方程来描述平面，该方程包含平面方程的法向量可以确定平面的方向和平面可以由一个点和其法向量来唯一确三个变量、和位置定x yz空间向量的坐标表示起点和终点坐标差值12空间向量可以用其起点和终点向量的坐标等于其终点坐标减的坐标来表示去起点坐标坐标表示形式3用方括号表示向量坐标，例如，向量的坐标表示为a[a1,a2,a3]空间向量的加法和减法加法1平行四边形法则减法2三角形法则坐标运算3对应坐标相加减空间向量的数乘定义1将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量方向2与原向量相同或相反长度3是原向量长度的倍k向量的模和单位向量模单位向量向量的模是指向量的大小，用两单位向量是指模为的向量，它1个箭头之间的距离表示它是一表示方向，不表示大小个非负实数向量的点积定义性质几何意义两个向量和的点积定义为⋅•交换律⋅⋅点积的值等于向量在向量上的投影长a b a b=a b=b a a b，其中是和之间的夹度乘以向量的长度θθ|a||b|cos a b•分配律⋅⋅⋅ba b+c=a b+a c角•与数乘结合⋅⋅ka b=ka b向量的叉积定义公式两个向量叉积的结果也是一个向量，θa×b=|a||b|sin n这个向量垂直于这两个向量所在的平面方向叉积向量方向由右手定则确定，拇指指向叉积结果方向向量的性质总结加法数乘点积叉积交换律结合律交换律⋅⋅反交换律a+b=b+a k1*k2*a=k1*a b=b aa×b=-b×ak2*a结合律分配律⋅⋅分配律a+b+c=a+b a b+c=aa×b+c=a×b分配律⋅+c k1+k2*a=k1b+a c+a×c*a+k2*a⋅⋅k*a b=k*a b=k*a×b=a×k*b=k⋅k*a+b=k*a+k*bak*b*a×b点到平面的距离公式解释点到平面的距离可以通过以下公式计算其中，为点坐标，为平面的方程系数x0,y0,z0a,b,c,dd=|ax0+by0+cz0+d|/√a^2+b^2+c^2线段的长度公式设线段的两端点坐标为AB x1,和，则y1,z1x2,y2,z2AB的长度为计算利用勾股定理计算三维空间中线段的长度应用在空间几何中，计算两点之间的距离、空间几何体的边长等两点之间的距离公式d=√x2-x1^2+y2-y1^2+z2-z1^2解释两点之间的距离等于两点坐标差的平方和的平方根平面的倾斜角900倾斜角水平面平面与水平面所成二面角的度数倾斜角为度04590倾斜角垂直面平面与水平面所成二面角为度倾斜角为度4590两平面的夹角定义计算方法两平面之间的夹角指的是两个平面法向量之间的夹角若两个平面的法向量分别为和，则两平面夹角θ可以通n1n2过以下公式计算θcos=n1·n2/||n1||||n2||直线和平面的夹角定义求解在空间中，一条直线与一个平面相交，则直线与平面所成的角就直线和平面的夹角等于直线上一点到平面的垂线与这条直线所成是直线和平面的夹角的角直线和平面的交点12步骤方程3解方程求解直线和平面的交点，需要进行以下步骤首先，确定直线和平面的方程；然后，将直线方程代入平面方程，解出参数；最后，将参数代回直线方程，得到交点坐标两直线的夹角定义两条直线所成的角的余弦值为两条直线方向向量的点积除以两个方向向量的模的积公式θcos=a·b/|a||b|注意夹角的范围为到0°180°两直线的距离123方向向量法向量距离公式两直线的方向向量分别为和两直线的方向向量和的叉积，即两直线之间的距离等于两直线上任意两点a ba ba×，为两直线公垂线的连线在公垂线上的投影长度b直线和平面的交点问题确定直线方程确定平面方程12利用直线上的两点或直线的方利用平面上的三个点或平面法向向量和一个点确定直线方向量和一个点确定平面方程程联立方程3将直线方程代入平面方程，解出参数的值，即可得到直线和平面的交点坐标空间几何体的表面积空间几何体的表面积，是指该几何体所有表面积的总和空间几何体的体积球体4/3πr³圆锥体1/3πr²h圆柱体πr²h棱锥体1/3Sh棱柱体Sh相互垂直的平面和直线平面法向量直线方向向量垂直于平面的直线称为平面的法平行于直线的向量称为直线的方向量向向量垂直条件平面法向量与直线方向向量垂直，则平面和直线垂直相互平行的平面和直线平行平面直线和平面平行两个平面互相平行，如果它们没有公共点一条直线和平面平行，如果它与该平面的所有直线都平行相互垂直的两个向量向量垂直的定义公式表达如果两个非零向量和的点积为a ba·b=0零，则称向量和相互垂直ab几何意义向量和所对应的直线互相垂ab直总结和练习知识回顾1空间直角坐标系建立、空间向量运算、点、线、面间关系练习题2课堂练习、课后习题、拓展练习学习目标3理解空间直角坐标系概念、掌握向量运算方法、运用坐标系解决空间几何问题。