《矢量基本知识》课件

矢量基本知识矢量定义方向大小12矢量具有大小和方向矢量的大小用长度表示，表示矢量的强度或幅度方向3矢量的方向用箭头表示，指向矢量作用的方向矢量运算矢量加法1两个矢量的和等于将两个矢量首尾相接，从第一个矢量的起点指向第二个矢量的终点所得到的矢量矢量减法2矢量的减法可以通过将被减矢量反向，然后与减数矢量进行加法来实现矢量乘法3矢量的乘法包括标量乘法和矢量点积实数与矢量乘法定义将一个实数与一个矢量相乘，得到一个新的矢量，其方向与原矢量相同，大小为原矢量大小的实数倍几何意义将矢量沿其自身方向进行伸缩，伸缩比例由实数决定运算性质实数与矢量乘法满足结合律和分配律矢量基本性质方向性大小可加性可乘性矢量具有方向，表示运动或矢量具有大小，表示运动的矢量可以相加，遵循平行四矢量可以与实数相乘，改变力的方向距离或力的强度边形法则或三角形法则其大小但不改变方向平行四边形法则平行四边形法则是一种矢量加法的图形表示方法将两个矢量作为平行四边形的相邻边，则这两个矢量的和为以这两个矢量为邻边的平行四边形的对角线三角形法则起点与终点合成矢量第一个矢量的起点与第二个矢量的终点重合合成矢量从第一个矢量的起点指向第二个矢量的终点投影定理定义公式应用投影定理指出，向量在另一个向量上向量在向量上的投影长度为投影定理在几何、物理和工程领域广a b的投影长度等于向量本身的长度乘以泛应用，用于解决各种问题，例如计projb a=|a|cosθ两个向量夹角的余弦值算力的大小、求解距离和角度矢量坐标表示使用坐标系来表示矢量矢量的起点和终点位置可以用坐标表示矢量可以表示为坐标的差值单位矢量定义符号方向相同，模为的矢量称为单位矢量单位矢量常用符号表示，例如表示轴方向的单位矢量1e exx矢量方程参数方程1以参数形式表示矢量直线方程2用矢量表示直线平面方程3用矢量表示平面矢量与直线方向向量1直线的方向由方向向量决定点向式方程2已知直线上一点和方向向量参数方程3用参数表示直线上点的坐标矢量与平面法向量1一个平面可以用一个垂直于该平面的非零向量来表示，这个向量被称为法向量点法式方程2平面方程可以用一个点和其法向量来表示，即点法式方程一般式方程3平面方程也可以用一般式方程表示，它是由点法式方程推导而来矢量与空间几何直线方程1矢量可用于描述直线平面方程2矢量可用于描述平面空间几何3矢量可用于解决各种空间几何问题线性相关与线性无关线性相关线性无关如果一组向量可以表示成其他向量的如果一组向量不能表示成其他向量的线性组合，则它们线性相关线性组合，则它们线性无关矢量组的线性组合定义给定一组矢量和一组实数，a1,a2,...,an k1,k2,...,kn则称为的线性组合a1,a2,...,an表示线性组合可以用数学公式表示为k1a1+k2a2+...+knan举例例如，矢量可以看作是基矢量的线性组a=2i+3j i,j合，其中k1=2,k2=3矢量组的秩矢量组的秩是指该组中线性无关的矢量数量.齐次线性方程组定义1所有常数项都为零的线性方程组解集2至少包含零解性质3解集是向量空间非齐次线性方程组方程组1包含常数项的方程组解2满足所有方程的变量值求解3使用消元法、矩阵法等方法矩阵与矢量组表示方式线性运算12矩阵可以用来表示矢量组，矩矩阵乘法可以用来表示矢量组阵的每一列对应一个矢量的线性组合变换关系3矩阵可以用于描述矢量组之间的变换关系矩阵与线性变换线性变换矩阵表示线性变换是将向量空间中的向量线性变换可以用矩阵来表示，矩映射到另一个向量空间中，并保阵的每一列对应于变换后的基向持向量加法和标量乘法的性质量变换应用线性变换在计算机图形学、图像处理、信号处理等领域有广泛的应用矩阵的秩123线性无关最大无关组行阶梯型矩阵行秩和列秩相等矩阵秩是最大线性无关向量组的个数通过初等变换化为行阶梯型矩阵，非零行的个数即为矩阵秩逆矩阵定义性质对于一个方阵，如果存在一个方阵，使得•逆矩阵唯一A BAB=BA=I（为单位矩阵），则称为的逆矩阵，记为I BA A-1•可逆矩阵的行列式不为零•AB-1=B-1A-1特征值与特征向量特征值反映线性变换对特征向量的伸特征向量在变换后保持方向不变，仅缩比例发生缩放特征值和特征向量在矩阵分析、线性代数等领域具有重要应用正交矩阵定义性质12正交矩阵是指其转置矩阵等于正交矩阵的列向量和行向量都其逆矩阵的方阵是单位向量且相互正交应用3正交矩阵在旋转、反射等几何变换中起着重要作用正交变换保持长度和角度旋转和反射正交变换是一种特殊的线性变常见的正交变换包括旋转和反换，它保持向量长度和向量之间射，它们在几何学和物理学中都角度不变有重要的应用正交矩阵正交变换可以用正交矩阵表示，正交矩阵的转置等于其逆矩阵正交基与坐标变换定义1一组线性无关的单位矢量，且相互垂直，称为正交基性质2正交基可以简化矢量运算，并提供一个更直观的几何理解应用3在空间几何、线性代数等领域中，正交基是重要的工具，用于坐标变换、线性变换等空间变换平移变换将所有点沿固定方向移动相同的距离旋转变换绕固定轴旋转一定角度缩放变换将所有点相对于固定点按比例放大或缩小反射变换关于固定平面或直线进行对称变换应用举例矢量在物理学、工程学、计算机图形学等领域有广泛应用例如，在物理学中，矢量可以用来表示力、速度、加速度等物理量在工程学中，矢量可以用来描述物体的位置、方向、运动等在计算机图形学中，矢量可以用来表示图像的形状、颜色、纹理等思考与总结矢量加法矢量乘法矢量与几何矢量加法遵循平行四边形法则和三角形法矢量乘法包括实数与矢量乘法、矢量点乘矢量可用于描述直线、平面和空间几何中则和矢量叉乘的各种关系。