《高数上期中复习》课件

高数上期中复习本课程内容包括微积分基础、函数极限、连续性、导数等内容作者课程目标掌握基础概念培养数学思维提升应用能力深入理解函数、极限、连续性、导数和提高逻辑推理、抽象思维和问题解决能掌握数学工具，能够将数学知识应用于积分等基本概念，为后续高等数学学习力，培养严谨、科学的思维方式实际问题中，解决工程、经济等领域的奠定基础问题函数及其图像函数图像坐标系函数类型函数图像可以直观地展现函数的变化趋势函数图像通常绘制在二维坐标系中，横坐不同类型的函数，其图像也各不相同例和特征例如，函数图像的上升或下降趋标表示自变量的值，纵坐标表示函数值如，一次函数的图像为直线，二次函数的势代表函数值的增减图像上的每一点都对应一个函数定义域内图像为抛物线函数图像的形状可以反映的自变量值及其对应的函数值函数的性质和特征基本初等函数指数函数对数函数幂函数三角函数函数图像单调递增，函数值随函数图像单调递增，函数值随函数图像根据幂指数的不同，函数图像周期性变化，函数值着自变量的增加而增大着自变量的增加而增大可以呈现出不同的形状在特定区间内重复出现函数的性质单调性奇偶性12函数在某个区间上，其值随自变量的增大而增大或减小，当函数满足f-x=fx或f-x=-fx时，分别称为偶函数称为单调性判断函数的单调性可以通过导数符号确定或奇函数奇偶性可以帮助我们简化计算周期性有界性34如果存在一个常数T≠0，使得对定义域内的任意x都有如果存在一个常数M，使得对于定义域内的任意x，都有fx+T=fx，则称函数fx为周期函数周期性使函数|fx|≤M，则称函数fx在该区间上有界有界性表明函的图像呈现规律性数的值不会无限增大或减小函数的极限函数的极限是微积分中的一个基本概念，它描述了当自变量趋近于某个特定值时，函数值的变化趋势在数学分析中，极限的概念对于理解连续性、导数和积分至关重要函数连续性定义在定义域内，函数在某一点的极限等于该点函数值，则称该函数在该点连续性质连续函数具有可积性、可微性等重要性质分类函数连续可分为第一类间断点和第二类间断点应用在微积分、数值分析等领域具有广泛的应用，例如计算积分、求解微分方程导数概念及其应用导数定义几何意义导数表示函数在某一点的变化率导数表示函数曲线在该点的切线，反映了函数在该点的瞬时变化斜率，可以用来求切线方程趋势物理意义导数表示物体在某时刻的速度，可以用来求物体运动的位移和加速度导数的计算基本公式1掌握基本导数公式求导法则2熟练运用求导法则复合函数求导3掌握链式法则隐函数求导4了解隐函数求导方法参数方程求导5掌握参数方程求导掌握基本导数公式、求导法则、复合函数求导、隐函数求导和参数方程求导是计算导数的关键导数的应用函数单调性函数极值曲线绘制物理应用导数符号判断函数单调性，并利用导数求函数的最值，解决通过求导数，可以获得函数的导数在物理学中有着广泛应用确定极值点通过导数判断函实际问题中的优化问题例如切线方程，从而绘制出更精确，例如求速度、加速度、功、数的增减性，从而找出函数的，求最小成本、最大利润或最的函数图像能等物理量极值点和拐点，绘制函数图像短距离等问题不定积分定义记号几何意义求导运算的逆运算∫fxdx不定积分的几何意义是求函数曲线下的面积已知函数的导数，求原函数∫表示积分符号，fx表示被积函数，dx表示积分变量基本积分公式

11.常数函数

22.幂函数常数函数的积分等于常数乘以幂函数的积分等于自变量的幂自变量加1，再除以新的幂

33.指数函数

44.对数函数指数函数的积分等于自身除以对数函数的积分等于自变量乘底数的自然对数以对数函数换元积分法步骤一1选择合适的换元变量，将被积函数和积分变量都用新的变量表示换元变量的选择应使新积分更容易计算步骤二2求出新积分变量的微分，并将原积分中的dx替换为新的微分表达式同时修改积分上下限步骤三3计算新的积分，并最后将结果代回原变量，得到原积分的结果分部积分法公式1∫u dv=uv-∫v du选择u和dv2u的导数简化,dv的积分简化重复应用3必要时,重复使用分部积分法分部积分法适用于两个函数的乘积的积分,通过将被积函数拆分为两个部分,简化积分过程该方法基于积分的链式法则,通过多次使用,可以将复杂的积分转化为更简单的积分定积分积分概念求积问题应用范围定积分是微积分中一个重要的概念，定积分最初源于求解曲边图形的面积定积分广泛应用于物理、工程、经济用于计算曲边图形的面积、体积等问题，通过将图形分割成无数个小矩等领域，如计算功、力、体积、质量形，利用极限求和得到定积分、概率等定积分计算方法直接计算1直接利用定积分的定义计算定积分换元积分法2将定积分化为更容易计算的积分分部积分法3将定积分化为两个更容易计算的积分牛顿-莱布尼茨公式4将定积分转换为定积分的上下限之差定积分是微积分中的重要概念，掌握定积分的计算方法对于解决实际问题至关重要牛顿莱布尼茨公式-公式∫ab fxdx=Fb-Fa应用计算定积分前提fx在[a,b]上连续，Fx是fx的一个原函数牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的一个重要定理，它将定积分与导数联系起来，为计算定积分提供了一种有效的方法微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理函数在闭区间上连续，在开区间上可导，函数在闭区间上连续，在开区间上可导，两个函数在闭区间上连续，在开区间上可且在区间端点取值相等，则在开区间内至则在开区间内至少存在一点，使得导数等导，则在开区间内至少存在一点，使得两少存在一点，使得导数为零于函数在端点处的平均变化率函数的导数之比等于两函数在端点处的平均变化率之比微分方程基础定义与分类阶数与解微分方程包含未知函数及其导数方程中最高阶导数的阶数称为微的方程，分为常微分方程和偏微分方程的阶数，解是指满足微分分方程方程的函数解的存在性与唯一性应用场景柯西-利普希茨定理讨论了初始条微分方程广泛应用于物理、化学件下微分方程解的存在性和唯

一、生物、经济等领域，描述各种性变化规律一阶微分方程定义与分类求解方法一阶微分方程是指只包含一个未知函数及其一阶导数的微分方程可分离变量型可通过分离变量后积分求解齐次型可通过变量常见的分类包括可分离变量型、齐次型、线性型和伯努利型代换转化为可分离变量型线性型可通过积分因子法求解高阶微分方程二阶微分方程常系数齐次线性方程非齐次线性方程高阶线性方程二阶微分方程包含二阶导数，这类方程的特征方程可以通过非齐次方程可以通过待定系数高阶线性方程的解法与二阶方以及函数本身及其一阶导数求根公式求解，根据根的类型法或变易常数法求解程类似，但特征方程和解的形，可得到不同的解式更复杂数列

11.定义

22.分类数列是一列按一定顺序排列的数列可以根据通项公式的不同数它可以用通项公式来描述分为等差数列、等比数列、递，通项公式可以表示数列的每推数列等个元素

33.性质

44.应用数列具有许多性质，例如等差数列在数学、物理、经济等领数列的公差、等比数列的公比域都有广泛的应用，例如在微等，这些性质可以用于解决有积分、概率论和统计学中关数列的各种问题级数无限项和级数是指将无限多个数相加，并研究其和的性质收敛与发散级数的和可能收敛到一个有限值，也可能发散到无穷大或振荡收敛判别各种判别方法用于判断级数是否收敛，例如比值判别法、根式判别法等常用级数及其性质等比数列调和级数首项为a，公比为q的等比数列，其通项公式为an=a*q^n-1调和级数是指1+1/2+1/3+1/4+...，它是一个发散级数当|q|1时，等比数列收敛于a/1-q尽管每一项都趋于零，但级数的和却无限增大函数项级数定义收敛性函数项级数是指由一系列函数组判断函数项级数是否收敛是一个成的无穷级数每个项都是一个关键问题常用的收敛判别方法函数，而不是一个常数包括比值判别法、根值判别法、积分判别法等性质函数项级数具有许多独特的性质，例如一致收敛性、可微性、可积性等这些性质决定了函数项级数在数学分析中的重要应用幂级数定义收敛性函数表示泰勒级数幂级数是形如的无穷级数，其中是常数，是变量幂级数的收敛性可以用比值判别法、根式判别法等方法收敛的幂级数可以用来表示函数，并具有良好的性质，泰勒级数是将函数展开成幂级数的形式，可以用来逼近进行判断如可微性和可积性函数泰勒级数

11.函数逼近

22.泰勒展开式使用多项式函数来近似表示一个更复杂的函数将函数在某一点展开成一个无穷级数，该级数的各项由函数的导数决定

33.应用范围

44.例子求解微分方程、数值积分和近似计算等，在科学和工程领例如，我们可以使用泰勒级数来近似计算sinx和e^x等域中发挥重要作用函数的值复习总结巩固基础加强练习查漏补缺相互交流全面理解重要概念、公式和定通过大量练习，熟练掌握解题重点回顾容易出错的知识点，与同学互相讨论，互相学习，理，建立扎实的基础知识体系技巧，提高解题速度和准确率及时弥补知识漏洞，避免重复取长补短，共同提高学习效率犯错常见计算错误及纠正符号错误公式错误步骤错误概念错误注意符号的正确使用，例如理解并熟练掌握公式，避免计算过程中要步步为营，注明确数学概念的定义，避免导数符号、积分符号、求和公式记忆错误或运用错误意每一步的正确性，避免漏概念理解错误导致计算错误符号等步或误步例如，微分中值定理、牛顿-避免混淆正负号、括号的使莱布尼茨公式等，要准确地例如，积分计算时，要仔细例如，函数连续性、导数的用，防止符号错误导致计算理解公式的适用范围和应用检查换元积分法或分部积分概念，要准确理解其定义和结果错误方法法是否正确应用性质，才能准确地进行相关计算高数能力提升建议

11.概念理解

22.练习巩固深刻理解概念，掌握基本原理多做习题，熟练运用公式和方法

33.总结归纳

44.寻求帮助总结知识点，建立思维框架遇到难题，及时向老师或同学寻求帮助。