空间向量的加减法和数乘》课件北师大版选修

空间向量的加减法和数乘本节课将学习空间向量加减法和数乘运算，并介绍其在空间几何中的应用空间向量的概念方向和长度箭头表示空间向量是具有方向和长度的几何对象向量通常用带箭头的线段表示，箭头指向向量方向，线段长度表示向量的模长空间向量的定义

1.1定义表示空间中一个有向线段，它不用一个有向线段的起点和终仅有大小，而且有方向点来表示，起点称为始点，终点称为终点符号用带箭头的字母表示，例如向量a，向量b，向量c空间向量的性质

1.2加法交换律加法结合律零向量相反向量对于任意空间向量a和b对于任意空间向量a，b存在唯一的零向量0，使对于任意空间向量a，存，有a+b=b+a.和c，有a+b+c=a+得对于任意空间向量a，在唯一的相反向量-a，使b+c.有a+0=a.得a+-a=

0.空间向量的加法

2.加法定义几何意义已知空间向量a=x1,y1,z1,b=空间向量a+b的几何意义是x2,y2,z2，则a+b=x1+x2,以a,b为邻边构成的平行四边形y1+y2,z1+z

2.的对角线.空间向量的加法定义

2.1定义注意设a=a1,a2,a3,b=b1,b2,b3是两个空间向量，则它们的空间向量加法的定义与平面向量加法的定义相同，即对应和为a+b=a1+b1,a2+b2,a3+b

3.坐标相加.空间向量加法的几何意义

2.2空间向量加法的几何意义可以理解为两个向量的首尾相接，连接起点和终点的向量就是这两个向量的和例如，向量a和b的和，可以表示为将向量b的起点与向量a的终点重合，连接向量a的起点和向量b的终点的向量空间向量加法的性质交换律结合律12空间向量加法满足交换律空间向量加法满足结合律，即a+b=b+a.，即a+b+c=a+b+c.零向量负向量34存在一个唯一的零向量0对于任意的空间向量a，，使得对于任意的空间向存在一个唯一的负向量-a量a，有a+0=a.，使得a+-a=

0.空间向量的减法

3.定义几何意义已知向量a,b,则向量a-b表示向量a-b表示从向量b的终点指向量a+-b,其中-b是向量b的向向量a的终点的向量反向量空间向量的减法定义定义解释设空间向量a和b，则向量a-b的定义为:空间向量减法可以通过将减数向量取相反数，然后与被减数向量相加来实现.a-b=a+-b空间向量减法的几何意义

3.2空间向量减法可以用平行四边形法则来表示，即向量a减去向量b等于从b的终点指向a的终点的向量空间向量减法也可以理解为向量a和向量b的相反向量的加法，即a-b=a+-b空间向量减法的性质

3.3交换律结合律a-b≠b-a a-b-c=a-b+c加法逆元a+-a=0空间向量的数乘定义几何意义设a是空间向量，k是实数，则向量ka的方向与a的方向相同向量ka叫做向量a的k倍数或相反，其长度是a的长度的k倍空间向量的数乘定义

4.1定义方向设a是一个空间向量，k是当k0时，ka的方向与a一个实数，则a与k的乘积的方向相同；当k0时，ka是一个空间向量，记作ka，的方向与a的方向相反；当称为a的k倍向量k=0时，ka为零向量长度|ka|=|k||a|，即ka的长度是a的长度的|k|倍空间向量数乘的几何意义

4.2方向不变方向反转长度变化数乘后，空间向量的方向保持一致当数乘因子为负数时，空间向量的方数乘后，空间向量的长度发生相应的向相反改变空间向量数乘的性质结合律分配律12对任意实数k，l和空间向对任意实数k和空间向量量a，有kla=kla a，b，有ka+b=ka+kb数乘的零向量数乘的单位向量34对任意实数k，有k0=0对任意空间向量a，有1a=a线性运算的应用

5.空间直线空间平面空间向量可以用来表示空间直线空间向量可以用来表示空间平面，线性运算可以用来求解直线，线性运算可以用来求解平面方程方程直线方程的表示

5.1方向向量点向式参数式123直线上任意两点的向量，称为设直线l过点A，方向向量为a设直线l过点Ax0,y0,z0，方直线的方向向量，则直线l上任意一点P，满足向向量为a=m,n,p，则直线向量PA与向量a平行l上任意一点Px,y,z可表示为平面方程的表示

5.2利用空间向量表示平面方程运用点法式和一般式表示平面将平面方程转化为点法式或一般式几何问题的求解平行线相交直线直线与平面利用空间向量判断直线平行，并求出利用空间向量判断直线是否相交，并利用空间向量判断直线与平面是否平平行线之间的距离求出交点坐标行、垂直或相交，并求出交点或距离习题演练通过练习巩固知识，加深对空间向量的加减法和数乘的理解例题分析练习题针对典型问题，进行详细解提供不同难度的练习题，帮答，讲解解题思路和方法助学生掌握知识，提升解题能力典型习题分析

6.1深入理解掌握方法通过对典型习题的分析，帮助学生更深入理解空间向量的引导学生掌握解题技巧，提高解题效率和准确性加减法和数乘的概念和应用习题解答指导

6.2细致分析步骤清晰认真审题，理解题意，找出解题步骤要清晰明了，每一题目的关键信息和已知条件步都要有理有据，并注意标，并根据题目要求选择合适明重要的公式和结论的解题方法检查答案完成解题后，要仔细检查答案是否合理，是否满足题目的要求，避免出现错误本章小结掌握空间向量的定义、理解空间向量的加法、12性质和运算减法和数乘的几何意义运用空间向量解决几何问题3本章知识要点空间向量加法减法数乘定义，性质，运算等理解定义，几何意义，性质，应定义，几何意义，性质，应定义，几何意义，性质，应空间向量的基本概念用等掌握空间向量加法的用等掌握空间向量减法的用等掌握空间向量数乘的运算方法和性质运算方法和性质运算方法和性质拓展思考

7.2空间向量是高中数学中重要的概念，它可以帮助我们更好地理解空间几何问题在学习空间向量时，可以尝试从不同角度思考问题，比如如何将空间向量与其他数学知识联系起来，以及如何利用空间向量解决实际问题例如，我们可以尝试将空间向量与平面向量联系起来，探究它们之间的关系和转换此外，还可以研究空间向量在物理学、工程学等领域的应用，进一步拓展对空间向量的理解和应用。