《非数与数值微积分》课件

非数与数值微积分本课程介绍了非数和数值微积分的概念和应用非数是指不属于实数或复数的数字，例如无限大、无穷小、无穷小数等数值微积分是指使用计算机来解决微积分问题的方法课程简介核心内容授课目标教学方法本课程深入探讨实数理论，涵盖微积分核帮助学生掌握实数系统与微积分的基本原采用课堂讲授、习题练习、课后讨论等方心概念和数值计算方法，并结合实际问题理，并培养数值计算能力，为后续学习奠式，辅以课件和电子教材，引导学生深入进行分析定坚实基础思考和理解课程大纲数与非数函数与极限12介绍数的概念，区分实数和非数，并探探讨函数的概念和分类，介绍极限的定讨无理数和实数的性质义和性质，并分析函数的连续性和间断点微积分数值方法34讲解导数的概念和运算法则，介绍微分介绍定积分概念及性质，讲解牛顿-莱的概念及应用，并分析微分中值定理和布尼茨公式和定积分的应用，并探讨数导数的应用值微积分方法，包括收敛速度、误差分析和数值微分与数值积分数与非数的区别数非数数是用来表示数量、大小、顺序等概念的抽象符号数可以是整非数是指不能进行加减乘除等运算的符号或概念非数包括字母数、小数、分数、负数等，并可以进行加减乘除等运算、符号、文字等，它们不能直接参与数学运算无理数与实数无理数实数实数的完备性无理数不能表示成两个整数的比值实数包括所有有理数和无理数，形成实数集是完备的，即所有收敛数列的它们在数轴上稠密分布，例如圆周率一个连续的数集实数可以用数轴上极限都存在于实数集中这保证了实π和自然对数的底数e的点来表示数集的连续性和无缝性实数的性质完备性稠密性可加性可乘性实数集是完备的，这意味着实实数集是稠密的，这意味着在实数集在加法运算下构成一个实数集在乘法运算下构成一个数轴上没有“空隙”，任何收敛任何两个不同的实数之间，总群，具有封闭性、结合律、单半群，具有封闭性、结合律和的实数序列都将在实数轴上找存在另一个实数位元和逆元单位元到一个极限数轴与坐标系数轴是一条直线，用来表示所有实数坐标系是一个由两条相互垂直的数轴构成的平面，用来表示平面上的点数轴上的点对应唯一的实数，实数对应唯一的点坐标系上的点对应唯一的坐标，坐标对应唯一的点函数概念及其分类函数是描述两个变量之间关系的数学模型输入值对应唯一输出值，体现了变量之间的映射关系函数可以用图像、表格和公式表示图像直观展示函数的性质，表格方便数据查询，公式便于计算函数根据定义域、值域和表达式分类主要分类包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数指数函数对数函数指数函数是数学中重要的函数之对数函数是指数函数的反函数，一，可以用来描述事物随时间指可以用来将指数形式的运算转化数增长或衰减的规律为加减运算幂函数三角函数幂函数是将自变量乘以自身n次三角函数是用来描述直角三角形方，其中n可以是任何实数，可中角度和边长的关系的函数，在以用来描述事物随时间幂次增长物理学、工程学等领域有广泛应或衰减的规律用极限的定义极限概念1极限是指函数或数列在自变量无限接近某个值或趋于无穷大时所趋近的值它是微积分的基础概念，也是理解微积分的重要工具极限的定义2对于函数fx，当自变量x无限接近a（但并不等于a）时，函数值fx无限接近某个常数A，则称A为函数fx当x趋于a时的极限极限的表示3极限用数学符号表示为limx→a fx=A，表示函数fx当x趋于a时的极限为A极限的性质极限唯一性极限的运算性质极限与无穷小的关系夹逼定理一个函数的极限，如果存在，极限可以进行加、减、乘、除无穷小是极限为零的量如果两个函数的极限相等，并则唯一等运算且另一个函数夹在这两个函数之间，那么这个函数的极限也等于这两个函数的极限函数的连续性定义性质函数在某点连续意味着函数图像在该点连续函数具有许多重要的性质，例如，没有间断函数在某点的极限等于该点连续函数在闭区间上一定有最大值和最的函数值，这是函数连续的必要条件小值，连续函数在闭区间上可以积分，在实际应用中，函数的连续性非常重要连续函数的图像可以被分成有限个单调，它保证了函数在某个范围内不会出现区间等等突变，例如，物理量随时间变化的函数通常是连续的函数的间断点第一类间断点第二类间断点12可去间断点和跳跃间断点，函无穷间断点和振荡间断点，函数值存在跳跃或空缺，但左右数值趋于无穷大或振荡，左右极限存在极限不存在或为无穷间断点分类3根据函数值和极限的性质，将间断点分为第一类和第二类，它们分别代表不同的间断性质导数的概念变化率切线斜率

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2.12导数代表函数在某一点的瞬时导数也表示函数图像在某点处变化率，反映了函数值随自变的切线斜率，反映了函数曲线量的变化趋势在该点的方向微分算子物理意义

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4.34导数可以看作是微分算子作用导数在物理学中有广泛应用，于函数的结果，是微积分中的例如速度是位移对时间的导数基本概念之一，加速度是速度对时间的导数导数的运算法则和差法则积法则商法则链式法则两个函数的和或差的导数，两个函数的积的导数，等于两个函数的商的导数，等于复合函数的导数，等于外函等于它们各自导数的和或差第一个函数的导数乘以第二分母的平方，除以分子导数数的导数乘以内函数的导数个函数，加上第一个函数乘乘以分母减去分子乘以分母以第二个函数的导数导数基本初等函数的导数幂函数指数函数y=x^n n为常数，导数为y=nx^n-1y=a^x a0且a≠1，导数为y=a^x*lna对数函数三角函数y=log_ax a0且a≠1，导数为y=sinx，导数为y=cosxy=1/x*lna微分的概念及应用微分的定义微分的几何意义微分的应用微分是函数在某一点的变化率的线性微分表示函数曲线在某一点处的切线微分在科学技术领域中有着广泛的应逼近它是函数在该点处的导数与自方程，它可以用来近似地表示函数在用，例如计算误差、求解物理量、优变量增量的乘积该点附近的局部变化趋势化设计等微分中值定理罗尔定理当函数在闭区间上连续，且在开区间上可导，且函数在区间端点处的值相等时，则存在一点，使得该点处的导数为零拉格朗日中值定理当函数在闭区间上连续，且在开区间上可导时，则存在一点，使得该点处的导数等于函数在区间端点处的增量除以区间长度柯西中值定理当两个函数在闭区间上连续，且在开区间上可导时，则存在一点，使得该点处的两个函数的导数之比等于两个函数在区间端点处的增量之比导数的应用求曲线切线求函数极值函数图像分析物理量变化率利用导数求曲线在某一点的切通过导数的符号变化判断函数结合导数信息，可以深入分析导数可以描述物理量的变化率线方程，是导数应用的重要内极值点，是求函数极值的常用函数图像，如单调性、凹凸性，例如速度、加速度等容之一方法等定积分概念及性质定积分的概念定积分的性质定积分是函数在某个区间上的积分，它表示函数曲线与坐标轴之定积分具有线性性质、可加性、单调性等重要性质，这些性质在间的面积求解定积分和应用中起着关键作用牛顿莱布尼茨公式-基本定理1微积分基本定理积分与导数2积分是导数的逆运算求解定积分3通过求导数反推积分牛顿-莱布尼茨公式建立了积分与导数之间的联系，是微积分基本定理的核心内容利用该公式，我们可以通过求导数反推积分，方便求解定积分，为解决实际问题提供了一种有效工具定积分的应用计算面积计算体积

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2.12定积分可以用来计算平面图形定积分可以用来计算旋转体或的面积，例如曲线与坐标轴围其他三维图形的体积成的区域计算弧长计算平均值

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4.34定积分可以用来计算曲线在一定积分可以用来计算连续函数定区间内的长度在一定区间内的平均值常微分方程概念定义分类应用常微分方程ODE是一个包常微分方程根据其阶数、线常微分方程在物理学、工程含一个或多个未知函数及其性、齐次性、系数等特征进学、生物学、经济学等各个导数的方程这些函数通常行分类例如，一阶常微分领域都有广泛的应用，例如表示一个或多个物理量，而方程仅包含一阶导数，线性描述物体的运动轨迹、电路导数则表示这些物理量随时常微分方程中未知函数及其中的电流变化、人口增长模间的变化率导数的次数均为1，而齐次型、金融市场价格波动等等常微分方程的右端项为0一阶常微分方程解法分离变量法1将变量分离，积分求解积分因子法2引入积分因子，化简方程常数变易法3将待定系数转化为函数一阶常微分方程的解法主要包括三种分离变量法、积分因子法和常数变易法分离变量法适用于变量可分离的方程，积分因子法适用于线性方程，常数变易法适用于非齐次线性方程通过掌握这三种方法，可以有效地解决各种类型的一阶常微分方程高阶常微分方程解法常系数齐次线性方程1利用特征方程求解，得到通解，根据初始条件确定特解非齐次线性方程2利用待定系数法或变易系数法求解，结合齐次方程解得通解欧拉方程3通过变量代换化为常系数线性方程，再利用特征方程求解其他方法4对于一些特殊形式的方程，可以使用幂级数解法、拉普拉斯变换法等求解数值微积分方法数值积分数值微分近似计算定积分的值，无需解析方法近似计算函数的导数值，无需解析公式•梯形法则•差商法•辛普森法则•泰勒展开法收敛速度与误差分析数值微积分方法中，收敛速度和误差分析至关重要，它们直接影响计算结果的精度和效率通过分析不同数值方法的收敛特性，可以选择最佳方法来解决实际问题12阶数稳定性方法的阶数决定了误差随步长减小而减小稳定性是指方法是否会放大计算过程中的的速率舍入误差34效率精度高阶方法通常比低阶方法收敛更快，但计精度是指计算结果与真实解之间的误差大算量也更大小数值微分与数值积分数值微分用数值方法近似计算函数导数，适用于复杂函数或无法解析求导的情况数值积分用数值方法近似计算定积分，适用于难以解析求解的积分，如被积函数复杂或积分区间不规则应用数值微分与数值积分广泛应用于科学计算、工程技术、金融领域等综合实例分析课程内容涵盖了非数与数值微积分的理论和应用通过实例分析，加深对知识的理解和运用案例涵盖了实际问题，如物理模型、工程设计、金融分析课程总结与展望课程回顾应用展望继续学习本课程系统地介绍了非数、数值微积非数与数值微积分在科学研究、工程希望同学们能够继续深入学习和研究分的基本概念和方法应用、金融分析等领域有着广泛的应相关领域，为未来的发展打下坚实的用基础。