南航理学院《复变函数与积分变换》§课件

复变函数与积分变换复变函数论是数学的一个分支，研究复数变量的函数积分变换是将一个函数变换成另一个函数的数学工具复数的定义和几何描述复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-

1.在复数平面中，实部a对应x轴，虚部b对应y轴，复数a+bi可以表示为复数平面上一点a,b.复数的代数运算加法减法乘法除法复数加法遵循向量加法规则复数减法也遵循向量减法规复数乘法遵循分配律，并利复数除法通过将分子和分母，实部和虚部分别相加则，实部和虚部分别相减用i²=-1同时乘以分母的共轭复数来实现例如，2+3i+4-5i=2+4例如，2+3i-4-5i=2-4+例如，2+3i×4-5i=8++3-5i=6-2i3+5i=-2+8i12i-10i-15i²=23+2i例如，2+3i÷4-5i=2+3i×4+5i÷4-5i×4+5i=8+15+10+12i÷41=23/41+22/41i复数平面与极坐标复数平面是将复数表示成平面上的点，横坐标代表实部，纵坐标代表虚部每个复数对应平面上的一个点，反之亦然极坐标系使用复数的模长和幅角来描述复数模长代表复数到原点的距离，幅角代表复数与正实轴的夹角极坐标系可以更直观地表示复数，并方便进行复数的乘法和除法运算复函数的基本概念定义表示方法性质复函数是指将复数映射到另一个复数的函复函数可以用代数式、图形、表格等多种复函数具有与实函数相似的性质，例如可数它可以理解为将复数平面上的点移动方式表示例如，fz=z^2表示将复数z微性、连续性、单调性等但由于复数的到另一个复数平面上的点平方后得到另一个复数特殊性，复函数也有一些独特的性质初等复函数幂函数指数函数

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22.复数的幂函数，可以表示成复复数指数函数，可以表示成复数变量的整数次幂或分数次幂数变量的指数形式三角函数对数函数

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44.复数三角函数，可以表示成复复数对数函数，可以表示成复数变量的正弦、余弦、正切等数变量的对数函数复函数的微分定义1复函数的微分定义与实函数类似，但需要考虑复变量的性质导数2如果复函数在某点可微，则该点存在导数导数表示复函数在该点变化率的大小和方向柯西黎曼方程-3柯西-黎曼方程是复函数可微的必要条件，它将复函数的导数与偏导数联系起来复函数的积分复函数的积分定义复函数积分的定义类似于实函数积分，利用黎曼和定义积分积分路径可以是复数平面上的一条曲线积分路径的性质积分路径的长度和形状会影响积分的值积分路径可以是直线、圆形、或者其他形状积分的计算方法复函数积分的计算方法与实函数积分类似，可以利用积分公式、微积分基本定理或其他方法进行计算积分的应用复函数积分在物理学、工程学和数学等领域中都有广泛的应用，例如计算电磁场、求解微分方程等复变函数的基本定理柯西黎曼方程柯西积分定理柯西积分公式-复函数可微分的充分必要条件是柯西-黎曼闭合曲线积分的值为0，前提是复函数在复函数在闭合曲线内部的值可以用积分表方程成立.区域内解析示等价的复变函数定义性质两个复变函数在同一区域内，如等价复变函数具有相同的导数、果它们在该区域内取值相同，则积分和奇点等性质称它们在该区域内等价应用等价复变函数的概念在求解复变函数积分和寻找奇点时十分有用分析函数的概念定义柯西黎曼方程几何意义-在复数域上可微的函数称为分析函数分分析函数必须满足柯西-黎曼方程该方程分析函数在复平面上的图像通常表现为光析函数具有许多优良性质，例如可导性、是分析函数存在的必要条件，可用于判断滑曲线或曲面分析函数的几何性质是复连续性、积分可积性等复函数是否为分析函数分析研究的重点之一柯西积分定理柯西积分定理是复变函数论中最重要的定理之一它指出，如果一个复函数在一个简单闭合曲线内部解析，那么该函数沿着该闭合曲线积分的值为零定义1复函数在闭合曲线内部解析条件2闭合曲线简单、光滑结论3函数沿闭合曲线积分等于零柯西积分定理在复变函数论中起着核心作用，它为许多其他重要定理提供了基础，例如柯西积分公式、留数定理等柯西积分公式基本定义1在复变函数论中，柯西积分公式是一个重要的公式，它将一个复变函数在闭合曲线上的积分与函数在曲线内部的值联系起来公式内容2对于一个复变函数fz，如果它在闭合曲线C内部及其边界上解析，那么在曲线内部任意一点z0处的函数值等于fz在C上的积分除以2πi应用3柯西积分公式是许多其他重要定理的基础，例如柯西不等式、留数定理和泰勒级数展开意义4柯西积分公式揭示了复变函数在闭合曲线上的积分与函数在曲线内部的值之间的紧密联系，为理解复变函数的性质提供了重要的工具泰勒级数定义1泰勒级数是将一个函数展开成无穷级数的形式，它用函数在一点处的导数来表达该函数在该点邻域内的值公式2泰勒级数展开式为fx=fa+fax-a/1!+fax-a²/2!+...+fⁿax-aⁿ/n!+...应用3泰勒级数在复变函数理论中具有重要的应用，它可以用来近似计算函数值、求解微分方程、研究函数的性质等洛朗级数定义1复变函数在奇点周围展开成无穷级数的形式性质2包含正负幂项，收敛于奇点的邻域内应用3求解积分、研究奇点性质洛朗级数是复变函数在奇点周围的一种特殊展开形式，它包含正负幂项，在奇点邻域内收敛，并提供了对函数在奇点附近的行为的深刻见解通过洛朗级数，我们可以利用留数定理计算积分、研究奇点性质，以及分析复变函数在奇点附近的渐近行为特殊复函数幂函数、指数函:数、三角函数幂函数指数函数

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22.复变量z的幂函数定义为z^n复变量z的指数函数定义为，其中n为任意复数e^z，其中e是自然对数的底三角函数

33.复变量z的三角函数定义为sinz和cosz，其定义与实数域的三角函数相同孤立奇点的性质极点本性奇点可去奇点复函数在该点可表示为洛朗级数，主部含复函数在该点可表示为洛朗级数，主部含复函数在该点可表示为泰勒级数，可以重有有限项，无穷远处的点除外有无限项新定义函数值，使其在该点连续留数定理基本定理应用广泛重要性计算闭合曲线积分的关键工具计算积分、求解微分方程、求解级数复变函数论的重要组成部分和等留数的计算利用柯西积分公式对于简单极点，直接使用柯西积分公式求解留数利用洛朗展开将函数在孤立奇点处展开为洛朗级数，留数为展开式中z^-1项的系数利用留数定理对于多重极点，通过求导计算留数特殊函数的留数对于一些特殊函数，例如三角函数或指数函数，可以使用已知公式直接计算留数留数的应用计算积分求解微分方程留数定理可用于计算一些难以直接求解的积分，例如含有奇点的留数定理可以用来求解一些具有特殊形式的微分方程，例如含有积分奇点的微分方程应用留数定理，可以绕过奇点，得到积分的解析解通过将微分方程转化为积分形式，应用留数定理可以求解方程傅里叶级数三角函数1正弦和余弦函数周期函数2周期性变化的函数傅里叶级数3三角函数的线性组合周期函数4表示成傅里叶级数傅里叶级数将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的叠加这种分解可以将复杂的周期信号表示为更简单的基本函数的组合傅里叶积分变换定义1将周期函数转换为非周期函数的变换公式2将时域信号转换为频域信号应用3信号处理、图像处理、物理学等傅里叶积分变换是一种强大的数学工具，它可以将周期函数转换为非周期函数，并用于分析和处理各种信号和图像拉普拉斯变换定义1将一个连续时间函数转化为复变量的函数性质2线性、时移、微分、积分等应用3求解线性常微分方程、电路分析、控制系统等拉普拉斯变换是一种积分变换，它将一个实变量函数转化为一个复变量函数这一变换在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用拉氏变换的性质线性性质时移性质频移性质微分性质拉氏变换是线性的，这意味如果函数ft的拉氏变换为如果函数ft的拉氏变换为如果函数ft的拉氏变换为着它满足叠加原理和常数倍Fs，则函数ft-a的拉氏变Fs，则函数eatft的拉氏Fs，则函数ft的拉氏变换乘原理换为e-asFs变换为Fs-a为sFs-f0拉氏变换的应用微分方程求解线性系统分析

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22.拉氏变换能有效解决常系数线拉氏变换用于描述线性系统的性微分方程,包括高阶微分方输入和输出关系,可以分析系程和含有非齐次项的方程.统的稳定性、响应时间和频率特性.信号处理控制理论

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44.拉氏变换用于分析和处理各种拉氏变换是控制理论的基础工信号,例如音频、视频和控制具,用于设计和分析反馈控制信号.系统.反拉氏变换定义将拉普拉斯变换后的图像函数fs转换回原函数ft的过程称为反拉氏变换方法常用方法包括查表法、部分分式法、卷积定理法等，可根据具体函数形式选择合适的解法应用反拉氏变换在求解微分方程、信号处理、系统分析等领域有广泛应用，用于将拉普拉斯变换的结果还原到时间域常见积分变换对傅里叶变换拉普拉斯变换将时域信号转换为频域信号，方将时间域函数转换为复频域函数便分析信号的频率成分，用于解决线性常系数微分方程变换汉克尔变换Z将离散时间信号转换为复频域函用于解决圆对称问题，例如圆形数，应用于离散时间系统分析波导或圆形天线总结复变函数与积分变换积分变换实际应用本课程介绍了复变函数及其积分变换的基重点介绍了傅里叶变换、拉普拉斯变换等探讨了复变函数和积分变换在数学、物理本概念、性质和应用重要积分变换的定义、性质和应用、工程等领域中的应用思考与练习本节课的学习内容涉及复变函数与积分变换的理论基础和应用通过课堂学习，同学们应该对复变函数的定义、性质以及积分变换有了初步的了解为了巩固学习成果，请同学们积极思考以下问题，并尝试解决一些相关的练习题例如，尝试将复变函数理论应用于解决实际问题，如物理学中的电磁场问题、工程学中的信号处理问题等同时，建议同学们查阅相关书籍和资料，进一步拓展学习深度，加深对复变函数与积分变换的理解参考文献复变函数与积分变换复变函数数学分析高等教育出版社高等教育出版社高等教育出版社•陈志杰•钟玉泉•华东师范大学数学系•张建军。