《偏导与微分总复习》课件

偏导与微分总复习本课件将回顾微积分中的重要概念——偏导数和微分涵盖偏导数的定义、计算方法以及应用，以及微分的概念和应用复习大纲偏导数•定义•计算方法•高阶偏导数微分•隐函数求导•复合函数求导•梯度向量•方向导数应用•极值问题•条件极值问题•泰勒公式课程目标理解偏导数掌握微分掌握偏导数的概念和计算方法，了解偏导数在多元函数中的重要了解微分的概念和应用，能够利用微分求解多元函数的增量，并性进行线性近似能够利用偏导数解决实际问题，例如求多元函数的极值，分析函理解全微分的意义，并能够利用全微分解决实际问题，例如求解数的变化趋势误差分析和曲线近似何为偏导数多变量函数对一个变量求导其他变量不变123多变量函数是指多个变量组成的函偏导数是指对一个多变量函数，固偏导数类似于单变量函数的导数，数，例如，高度是一个变量，而地定其他变量，只对其中一个变量进但它反映了函数值在一个特定变量理位置由经度和纬度两个变量决定行求导方向上的变化率，其他变量保持不变偏导数的计算单变量函数的求导1偏导数的计算类似于单变量函数的求导，但只对其中一个变量进行求导，将其他变量视为常数链式法则2对于复合函数，可以使用链式法则来求偏导数链式法则将偏导数分解成若干个部分高阶偏导数3当对一个偏导数再次进行求导时，可以得到高阶偏导数，例如二阶偏导数、三阶偏导数等等高阶偏导数二阶偏导数1函数对同一个变量求两次导数混合偏导数2函数对不同变量分别求导高阶偏导数3函数对多个变量多次求导高阶偏导数用于研究函数的变化趋势二阶偏导数可以用来判断函数的凹凸性混合偏导数可以用来判断函数的极值隐函数的求导隐函数定义隐函数是指不能直接用一个变量表示另一个变量的函数例如，方程x²+y²=1表示一个圆，其中y不是x的显式函数求导步骤对隐函数方程两边同时求导，并将y看作x的函数进行求导，然后解出y示例例如，求方程x²+y²=1的导数，首先对两边求导，得到2x+2yy=0，然后解出y=-x/y应用场景隐函数求导广泛应用于几何学、物理学和经济学等领域，例如求曲线的切线方程、求函数的极值等复合函数的求导链式法则1用于求解复合函数的导数求导步骤2先对内层函数求导，再对外层函数求导，最后将两个导数相乘应用场景3在物理、化学、经济等领域广泛应用复合函数的求导是微积分中一个重要的概念，它用于求解包含多个函数嵌套的函数的导数链式法则是一个关键工具，它允许我们通过对内层函数和外层函数的导数进行组合来计算复合函数的导数梯度向量方向变化最陡路径向量方向梯度向量指示函数值增长最快的方向梯度向量与等高线垂直，指引最陡峭上升梯度向量指向函数值上升最快的方向，与方向等高线正交方向导数定义计算方向导数表示多元函数沿某一方方向导数可通过梯度向量和方向向的变化率向量点积计算意义方向导数反映了函数在该方向上的变化趋势，为理解函数变化提供了重要信息总微分函数变化总微分描述了多元函数在自变量发生微小变化时函数值的变化量梯度总微分与函数的梯度向量密切相关，梯度方向表示函数值上升最快的方向近似值总微分可以用于近似计算函数在某点附近的微小变化，提供一个线性近似全微分的应用优化问题误差分析经济学模型工程设计全微分可以用来寻找多元函全微分可以用来估计函数值全微分在经济学模型中被广全微分可以用来分析工程设数的极值点的变化量，当自变量发生微泛应用，例如，它可以用来计中的误差，例如，它可以小的变化时分析消费者需求的变化用来分析材料参数的变化对通过令全微分为零，可以找结构强度的影响到函数的临界点，然后通过例如，在物理学中，我们可我们可以利用全微分来分析二阶偏导数检验来确定极值以用全微分来估计误差的传价格变化对需求的影响全微分可以帮助工程师优化点的类型播设计，并确保设计的可靠性泰勒公式逼近函数级数展开泰勒公式使用多项式来逼近一个函数在某它将函数展开为无穷级数，每个项都包含个点附近的局部行为该函数的高阶导数应用广泛泰勒公式在微积分、物理学、工程学和计算机科学等领域都有着重要的应用极值问题函数的极值点极值的种类极值判别函数在某个点取得最大值或最小值，该点函数极值分为局部极值和全局极值，局部可以使用一阶导数判别法和二阶导数判别称为函数的极值点极值是指函数在某个点附近取得最大值或法来判断函数的极值点最小值，全局极值是指函数在整个定义域上取得最大值或最小值条件极值问题约束条件拉格朗日乘数法12求解条件极值问题时，需要在拉格朗日乘数法是一种求解条给定的约束条件下，找到多元件极值问题的重要方法，它通函数的最小值或最大值过引入一个新的变量，将条件极值问题转化为无条件极值问题应用场景3条件极值问题广泛应用于经济学、物理学、工程学等领域，例如生产成本的最小化、资源分配的优化等拉格朗日乘数法构建拉格朗日函数1将约束条件与目标函数合并为一个新函数求导2对所有变量求偏导，并令其等于0求解方程组3解出使偏导数为零的变量值验证4检验得到的值是否为极值点拉格朗日乘数法是一种求解约束条件下多元函数极值的方法通过引入拉格朗日乘数，将约束条件转化为目标函数的约束，并利用偏导数求极值二阶偏导数的应用曲率极值判定二阶偏导数可以用来计算函数曲线的曲率曲率反映了曲线在某可以通过二阶偏导数来判断多元函数的极值点，是极大值、极小一点处的弯曲程度值，还是鞍点极值的判定二阶条件海森矩阵12使用二阶偏导数来判断函数在利用海森矩阵的行列式和特征临界点处的极值类型.值来判断极值类型.函数图像3观察函数图像，可以直观地判断函数的极值点.约束条件下的极值拉格朗日乘数法约束条件寻找约束条件下多元函数的极值约束条件限制了函数的定义域，，拉格朗日乘数法是一个常用的导致极值点可能不在函数定义域方法的边界上寻找极值在满足约束条件的情况下，寻找函数的极值点，可以使用拉格朗日乘数法构造辅助函数多元函数的极值最大值与最小值临界点海森矩阵极值条件多元函数的极值指函数在定义在寻找极值的过程中，首先需利用海森矩阵，可以判断临界满足特定条件的临界点，有可域内取得的最大值或最小值要找到函数的临界点，即导数点是极大值点、极小值点还是能对应函数的极值为零或导数不存在的点鞍点鞍点定义识别多元函数的驻点，其在某些方向上取得极大值通过二阶偏导数判定，海森矩阵行列式为负值，而在另一些方向上取得极小值时，函数存在鞍点多元函数极值的实际应用多元函数极值在实际应用中非常广泛，比如在优化问题中例如，在生产过程中，如何通过调整生产参数来最大化利润或最小化成本，可以使用多元函数极值来求解此外，在机器学习领域，多元函数极值也常用于训练模型，通过找到目标函数的极值点，可以得到最优的模型参数偏导数应用案例分析偏导数在各种领域中发挥着至关重要的作用，例如优化问题、物理建模和机器学习在优化问题中，偏导数可以用来找到函数的极值点，从而确定最佳解决方案在物理建模中，偏导数可以用来描述物理量随时间或空间的变化，例如温度变化或流体流动在机器学习中，偏导数是梯度下降法等优化算法的基础，这些算法可以用来训练机器学习模型微分在工程中的应用微分在工程领域有着广泛的应用，例如

1.优化设计

2.控制系统

3.材料科学

4.流体力学微分在经济学中的应用微分在经济学中有着广泛的应用，尤其是在边际分析中，如边际成本、边际收益、边际效用等微分可以帮助经济学家分析经济变量之间的关系，例如供求曲线、生产函数等微分还可以用于优化经济模型，例如找到利润最大化或成本最小化的最佳决策微分在生物学中的应用微分在生物学中有广泛应用，例如在研究种群增长模型、酶动力学和药物代谢方面通过微分方程，可以模拟生物系统随时间的变化，帮助预测和理解生物现象，如种群的增长或衰减、疾病的传播和药物在体内的作用小结与复习关键概念应用实践深入理解回顾偏导数、方向导数、总微分和泰勒公掌握运用这些概念解决实际问题，如求极深入理解偏导数和微分在不同领域的重要式等核心概念值、优化问题等作用参考文献数学分析微积分华东师范大学数学系编.数学分析.高等教育出版社.

2010.Thomas,G.B.,Jr.,Finney,R.L.

2010.Calculus:Earlytranscendentals10th ed..Pearson Education.同济大学数学系编.高等数学（第七版）.高等教育出版社.

2014.Stewart,J.

2016.Calculus:Early transcendentals8th ed..Cengage Learning.。