两个向量的数量积-重点中学空间向量课件集

两个向量的数量积本课件主要讲解空间向量中的数量积的概念和性质，以及它们在几何中的应用，帮助学生更好地理解和掌握空间向量向量的定义方向大小向量具有方向性，表示从起点指向量的大小表示起点到终点的距向终点的方向离，称为向量的模长符号向量通常用带箭头的字母表示，例如向量a，或用两个点表示，例如AB向量向量的几何意义向量在几何中表示大小和方向，可用于表示点的位置、线段的长度、平面的方向等向量不仅可以表示点的位置，还能表示物体运动的速度和加速度等物理量向量具有丰富的几何意义，是理解和应用几何知识的基础，在物理学、工程学等领域都有着广泛的应用向量的基本运算向量的加法向量的减法向量的数乘两个向量的加法，满足平行四边形法则或向量减法可以理解为向量的加法，即减去向量的数乘是指将一个向量乘以一个数，三角形法则一个向量相当于加上这个向量的相反向量得到的仍然是一个向量，其方向与原向量相同或相反，大小为原向量大小的k倍向量的加法平行四边形法则1首尾相接三角形法则2首尾相连坐标加法3对应坐标相加向量的减法定义向量a与向量b的减法，就是向量a与向量b的相反向量的和也就是a-b=a+-b几何意义向量a-b的几何意义是从向量b的终点指向向量a的终点的向量坐标表示设向量a=x1,y1,z1，向量b=x2,y2,z2，则a-b=x1-x2,y1-y2,z1-z2向量的数乘定义1实数λ与向量a的乘积是一个新的向量，记作λa，它的长度为|λ||a|，方向与向量a相同（当λ0时）或相反（当λ0时）几何意义2向量的数乘可以理解为对向量进行伸缩变换，当λ1时，向量被拉长；当0λ1时，向量被缩短；当λ0时，向量被反向伸缩运算性质3λa的方向与a相同或相反，长度为λ|a|向量的基本性质加法交换律加法结合律零向量负向量a+b=b+a a+b+c=a+b+c a+0=a a+-a=0向量的坐标表示坐标系向量坐标使用坐标系可以方便地描述空间中的向量可以用坐标表示，例如在三维空点和向量间中，向量可以表示为x,y,z坐标表示法向量坐标表示法简化了向量的运算和几何分析两个向量的数量积定义定义零向量12设a和b是两个非零向量，规定零向量与任何向量的数θ为a和b的夹角，则a和b的量积均为零数量积（也叫点积）定义为a·b=|a||b|cosθ符号3两个向量的数量积用·表示，例如a·b表示向量a和b的数量积数量积的几何意义两个向量的数量积等于这两个向量模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积这个定义反映了向量在另一个向量上的投影长度公式a·b=|a||b|cosθ，其中θ是向量a和b的夹角例如，如果向量a是向量b的投影，则数量积表示向量a在向量b上的投影长度乘以向量b的模长数量积的代数计算公式示例两个向量a=a1,a2,a3和b=b1,b2,b3的数量积为a⋅b=例如，向量a=1,2,3和b=4,5,6的数量积为a⋅b=1×4a1b1+a2b2+a3b3+2×5+3×6=32应用题演示计算两向量间夹角1已知条件1已知向量a和b的坐标公式应用2使用数量积公式计算a和b的夹角解题步骤3计算a·b，求出||a||和||b||，最后代入公式求解应用题演示计算体积2步骤一利用向量运算求出平行六面体的底面积步骤二利用向量运算求出平行六面体的底面积步骤三利用向量运算求出平行六面体的底面积应用题演示计算功率3问题1已知一物体受力F沿直线运动，速度为v，求该物体在该力作用下的功率公式2功率=力×速度解题3将力F和速度v代入公式即可求出功率数量积的基本性质交换律分配律模长共线性a·b=b·a a·b+c=a·b+a·c a·a=|a|²a·b=0，当且仅当a与b正交数量积的性质交换律1交换律公式表示两个向量的数量积与顺序无关a·b=b·a数量积的性质分配律2分配律公式两个向量与第三个向量的和的数a+b⋅c=a⋅c+b⋅c量积等于它们分别与第三个向量相乘的数量积的和.应用分配律可以简化向量运算,尤其在多个向量相加的情况下.数量积的性质向量的模长3定义公式12两个向量的数量积等于这两个a·b=|a||b|cosθ，其中θ是向向量模长的积，再乘以这两个量a和向量b的夹角向量夹角的余弦值应用3可以使用该性质来求解两个向量夹角的大小，或者求解向量的模长数量积的性质向量的共线性4向量共线性数量积为零当两个向量a和b共线时，它们的夹角为0°或180°此时，它们的數量积为零，即a·b=0数量积的应用综合练习角度计算投影长度利用数量积公式，计算向量之间通过数量积求出向量在另一个向的夹角量上的投影长度空间几何运用数量积解决空间中的距离、体积、面积等问题重要结论总结数量积定义数量积几何意义两个向量数量积定义为两个向两个向量数量积的绝对值等于以量模长的乘积再乘以它们夹角的这两个向量为邻边的平行四边形余弦值的面积数量积代数计算数量积性质两个向量数量积可以用它们的坐数量积满足交换律、分配律等性标表示来计算质向量的几何意义梳理方向大小向量代表着方向，它表示从起点指向终点的方向向量的大小由其长度表示，也称为向量的模长数量积的几何意义梳理投影与长度夹角与余弦物理应用数量积等于一个向量在另一个向量上的投数量积与向量夹角的余弦值成正比，可用数量积在物理学中应用广泛，例如计算力影长度与另一个向量的长度的乘积于计算向量之间的夹角做功、功率和能量数量积的代数运算梳理向量的坐标表示数量积公式12在空间直角坐标系中，向量可两个向量的数量积可以用它们以用坐标表示，如向量a=x1,的坐标表示来计算a·b=y1,z1x1x2+y1y2+z1z2计算步骤3首先将向量用坐标表示，然后根据数量积公式进行计算数量积的性质梳理交换律分配律a·b=b·a a+b·c=a·c+b·c模长共线性a·a=|a|²a·b=0，则a⊥b数量积的应用案例总结计算两向量间的夹角，例如判断两直计算几何体的体积，例如计算平行六线是否垂直面体的体积计算物理量，例如计算力做功的功率向量与数量积知识点串讲向量定义向量运算12具有大小和方向的量向量加法、减法、数乘数量积定义数量积应用34两个向量之间的乘积，结果为一个标量计算夹角、体积、功率本课程重点与难点梳理向量基本概念数量积向量的定义、几何意义、运算、数量积的定义、几何意义、代数基本性质等运算、性质等应用题将向量知识应用于解决实际问题，例如计算两向量间夹角、体积、功率等本课程知识框架概括•向量定义与几何意义•向量基本运算加法、减法、数乘•向量的坐标表示•两个向量的数量积•数量积的几何意义•数量积的代数计算•数量积的性质•数量积的应用思考题与拓展练习本节课学习了两个向量的数量积，同学们可以尝试解答以下思考题

1.数量积的几何意义与向量的模长和夹角有什么关系？

2.如何利用数量积计算两个向量之间的夹角？

3.在实际应用中，数量积有哪些常见应用场景？此外，还可以尝试以下拓展练习

1.已知向量a和b，求证a·b=b·a

2.已知向量a，b，c，求证a·b+c=a·b+a·c

3.已知向量a和b，且a·b=0，求证a与b垂直。