课件：平面向量的坐标运

平面向量的坐标表示向量是表示大小和方向的量平面向量可以用坐标来表示，这种表示方法既简洁又便于运算平面向量的定义定义表示12具有大小和方向的量叫做向量用有向线段表示向量，起点称在平面内，我们称之为平面为始点，终点称为终点向量相等零向量34方向相同且长度相等的向量称长度为0的向量称为零向量，零为相等向量向量没有方向平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，可以用一对有序实数来表示一个平面向量，称为该向量的坐标设向量a的起点为O，终点为A，则A的坐标为x,y，则向量a的坐标为x,y，记为a=x,y坐标表示可以方便地进行向量运算和分析平面向量的基本运算加法运算减法运算数乘运算两个向量的加法可以用平行四边形法则或三两个向量的减法可以通过将第二个向量反向一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向角形法则进行后进行加法运算量，其方向与原向量相同或相反，大小为原向量大小的k倍加法运算平行四边形法则1将两个向量首尾相接坐标法则2对应坐标相加几何意义3向量之和为两个向量首尾相接所构成的平行四边形的对角线减法运算定义1两个向量相减，就是将被减向量加上减向量的相反向量公式2设向量a=a1,a2,向量b=b1,b2,则a-b=a1-b1,a2-b

2.几何意义3向量a-b表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量数乘定义1实数λ与向量a的积，记作λa，称为向量a的数乘λa的方向与a的方向相同，当λ0时，λa的模是|λ|倍的a的模；当λ0时，λa的方向与a的方向相反，λa的模是|λ|倍的a的模；当λ=0时，λa是零向量几何意义2数乘向量是指将向量按比例放大或缩小当数乘系数为正数时，向量方向不变；当数乘系数为负数时，向量方向反向运算性质3λa+b=λa+λb,λ+μa=λa+μa,λμa=λμa,1a=a,0a=0平面向量的长度设向量a=x,y，则其长度（或模根据勾股定理，可得|a|=√x2+）记为|a|，表示向量a的起点到y2终点的距离平面向量的夹角定义计算两个非零向量a和b的夹角是指它们起点重合时所成的角，记作设a=x1,y1，b=x2,y2，则a和b的夹角θ可以通过以下∠aob，其中0°≤∠aob≤180°公式计算cosθ=a·b/||a||||b||正交向量定义性质如果两个非零向量a和b的夹角为90度，则称a和b互相正交两个正交向量的点积为0平面向量的性质加法交换律加法结合律a+b=b+a a+b+c=a+b+c数乘分配律数乘结合律ka+b=ka+kb k1*k2a=k1k2a平面向量的几何意义平面向量不仅是数学概念，更与几何图形有着密切的联系平面向量可以用来表示平面上点的位移、方向、长度等几何要素例如，向量AB可以表示点A到点B的位移，其长度等于A和B两点之间的距离，其方向则指向B点平面向量的投影定义计算应用将一个向量投影到另一个向量上，得到一投影向量可以通过点乘和向量长度计算得投影向量广泛应用于力学、几何学等领域个新的向量，称为原向量的投影向量出正交分解向量分解1将一个向量分解成两个或多个互相垂直的向量正交分解2将向量分解成两个互相垂直的向量，称为正交分解应用3简化向量运算，解决实际问题平面向量的应用力的合成与分解速度及加速度的合成与分解利用向量的加减运算，可以方便地进利用向量运算，可以方便地计算速度行力的合成与分解和加速度的合成与分解平面几何问题的向量法解利用向量运算，可以将平面几何问题转化为向量运算问题，从而简化求解过程力的合成与分解力的合成1多个力共同作用于同一个物体，它们的作用效果可以用一个等效的力来代替，这个等效力称为合力力的分解2将一个力分解为两个或多个力的作用，称为力的分解平行四边形法则3两个力合成时，以这两个力为邻边作平行四边形，合力为平行四边形的对角线速度及加速度的合成与分解速度合成速度是矢量,可以进行合成和分解.速度分解将一个速度分解成两个或多个相互垂直的成分.加速度合成加速度也是矢量,可以进行合成和分解.加速度分解将一个加速度分解成两个或多个相互垂直的成分.平面几何问题的向量法解建立坐标系1将几何图形放置在平面直角坐标系中，用坐标表示各个点和向量向量表示2利用向量的坐标表示，将几何问题转化为向量问题运用向量运算3根据向量的性质和运算规则，进行向量运算，求解问题平面向量的点乘定义运算结果两个向量a=x1,y1和b=x2,y2点乘的结果是一个标量，而不是向量的点乘定义为a·b=x1x2+y1y2公式a·b=|a||b|cosθ，其中θ是向量a和b的夹角点乘的性质交换律分配律12a·b=b·a a+b·c=a·c+b·c结合律3ka·b=ka·b点乘的几何意义投影长度夹角计算两个向量点乘的结果等于其中一个向量在另一个向量上的投影长度点乘可以用于计算两个向量之间的夹角可以通过点乘公式来计算，再乘以另一个向量的长度夹角的余弦值平面向量的叉乘定义性质设a=x1,y1,b=x2,y2，则叉乘结果是一个数值，不构成向量a×b=x1y2-x2y1a×b=-b×a几何意义叉乘结果的绝对值等于由向量a和b所构成的平行四边形的面积叉乘的性质反交换律分配律结合律a×b=-b×a a+b×c=a×c+b×c ka×b=ka×b=a×kb叉乘的几何意义两个向量的叉积是一个与这两个向量都垂直的向量，它的方向由右手定则决定叉积的模长等于这两个向量所张成的平行四边形的面积平面向量的坐标表示应用线段的坐标表示平行向量的判定12可利用坐标表示求线段长度、可利用坐标表示判断两个向量中点坐标等信息是否平行垂直向量的判定3可利用坐标表示判断两个向量是否垂直线段的坐标表示12起点终点线段的起始位置线段的结束位置线段的长度方法公式向量法|AB|=√[x2-x1²+y2-y1²]平行向量的条件方向相同坐标比例相等两个向量方向相同或相反，则它们平行若两个向量坐标成比例，则它们平行垂直向量的条件两个非零向量垂直的充要条件是它们的点积为

0.向量a=x1,y1,向量b=x2,y2,a⊥b=a·b=x1x2+y1y2=

0.总结本课程介绍了平面向量的基本概念、坐标表示、运算、性质及应用，并学习了向量方法解决平面几何问题。