Polya计数法置换群于对称群课件

计数法与对称群Polya课程介绍计数法对称群Polya运用群论解决组合计数问题研究对称性变换的群排列的基础概念排列定义排列公式12排列是指从个不同元素中取个元素中取出个元素的排列n nr出个元素，按照一定的顺序数为，其中表r nPr=n!/n-r!n!排列，形成的不同的序列示的阶乘，n n!=n*n-1*...*2*

1.排列性质3排列满足顺序性，即不同顺序的排列视为不同的排列对称群的定义概念表示对称群是指一个集合的所有排列构成的群也就是说，对称群中对称群通常用表示，其中表示集合中元素的个数例如，Sn n的元素是集合中元素的排列，群运算为排列的复合表示一个包含三个元素的集合的所有排列构成的群S3置换群的性质封闭性单位元群中任意两个元素的乘积仍在群中群中存在一个元素，与任何元素相乘都等于该元素本身逆元结合律群中每个元素都存在一个逆元，与该群中元素的乘积满足结合律元素相乘得到单位元定理的引入Polya计数问题1统计不同着色方案对称群2描述对称性定理Polya3计算不同着色方案定理的证明过程Polya置换群的循环节1将置换群中的每个置换分解成循环节着色方案分类2根据循环节将着色方案进行分类循环节计数3计算每个循环节的着色方案公式推导4根据分类和计数结果推导出定理公式Polya定理的应用步骤Polya识别对称群根据对象的对称性，确定其相应的对称群构建置换群根据对称群，构建相应的置换群，并确定置换群的循环节结构计算循环指标利用置换群的循环节结构，计算每个置换的循环指标运用定理Polya将循环指标代入定理，计算出不同的着色方案数Polya例题计算颜色组合1:RGB红色绿色蓝色颜色组合方案数计算RGB例题计算正方形棋盘格子着2:色方案42颜色行216列格子假设用红蓝两种颜色给一个的正方形棋盘格子染色，求共有多少种不同的2*2染色方案？例题计算阶魔方恢复状态3:3的方案数问题一个阶魔方共有多少种状态？3分析魔方状态的改变由旋转操作决定，每个旋转操作对应一个置换，所有旋转操作构成一个置换群利用定理可以计算魔方Polya状态的方案数步骤确定置换群，计算置换群的循

1.

2.环指标，代入定理计算方

3.Polya案数例题计算化合物分子结构的异构体数量4:42步骤应用定义分子结构的对称群利用定理计算异构体的数量Polya13分析举例确定分子结构中可变部分和不可变部分以乙烷为例，分析其旋转对称性计数定理的局限性Polya有限对象对称性计数定理仅适用于有限的该定理依赖于对象的对称性，需Polya对象，如着色方案或排列组合问要定义明确的置换群对于不对题它不能直接应用于无限集称对象，它可能不适用合复杂性对于具有复杂结构的对象，计算置换群和循环指标可能变得很困难，导致计算量庞大引理及其应用Burnside概念介绍1引理是在群论中用来计算等价类数量的工具它指Burnside出，一个置换群作用于一个集合时，等价类数量等于所有置换不动点数量的平均值应用场景2引理在组合数学中有很多应用，例如计算染色方Burnside案、异构体数量、图的同构等与定理的联系Polya3引理是定理的基础，定理是引Burnside PolyaPolya Burnside理在染色问题上的推广引理的证明过程Burnside分组累加将所有着色方案按照置换群的元素作用后等价的方案进行分组，形成不同将所有等价类代表方案的不动点数量累加起来，并除以置换群的元素个数，的等价类即可得到不同的着色方案数量123计数对于每个等价类，选取一个代表方案，计算该代表方案在置换群中不动点的数量例题计算非规则五边形的着色方案5:引理可以帮助解决非规则五边形的着色方案数问题Burnside例题计算带花格窗的布置方案6:假设一个带花格窗，由个相同的小方格组成每个小方格可以涂上红色或蓝色，问有多少种不同的着色方案？4由于个小方格可以自由互换位置，因此需要考虑置换群的作用4该置换群为对称群，包含个元素，代表着个小方格的所有排列组合S44!=244利用定理可以计算出不同着色方案的个数，即种Polya2^4/24=1定理与引理的对比Polya Burnside定理引理Polya Burnside更适用于计算对称性较高的物体着色方案它通过考虑置换群的适用于计算对称性较低的物体着色方案，例如非规则多边形的着循环指标来简化计算色相关数学概念拓展置换群与图论、组合设计等领域有密计算机科学中，置换群在密码学、算切联系法设计等方面发挥着重要作用计数法与引理是组合Polya Burnside数学中的重要工具，在各种计数问题中有着广泛的应用置换群与调和分析对称性傅里叶变换应用123置换群的结构反映了对象的对称调和分析中的核心工具是傅里叶变置换群与调和分析的结合在信号处性，而调和分析则利用这种对称性换，它将函数分解成不同频率的正理、图像处理、量子力学等领域有来简化问题弦波，这些正弦波对应于置换群的着广泛的应用不同特征值置换群与组合优化问题旅行商问题图着色问题作业调度问题寻找最短路线，访问所有城市一次且仅一用最少的颜色给图的顶点着色，使得相邻优化作业分配和执行顺序，以最大化资源次顶点颜色不同利用率置换群与量子力学对称性量子态算符量子力学中的对称性可以通过置换群置换群可以用来分析量子态的性质，量子力学中的算符也可以用置换群来来描述，例如粒子交换对称性例如自旋态的分类和对称性表示，例如角动量算符和哈密顿算符置换群与密码学加密算法密钥管理数字签名置换群可用于设计对称加密算法，如置换群可以用于管理密钥，例如生成置换群可以用于创建数字签名，以验和这些算法使用置换来混淆密钥、存储密钥和验证密钥这有助证消息的真实性和完整性数字签名DES AES明文，使攻击者难以破译于保护密钥的安全，防止未经授权的使用置换来生成唯一标识消息的哈希访问值课程总结应用广泛关键概念计数法和引理在许多理解对称群、置换群、等价类等概念Polya Burnside领域都有应用，如化学、物理、计算是掌握计数法的基础Polya机科学等练习巩固通过练习解决实际问题，才能真正掌握计数法和引理的应Polya Burnside用问答环节欢迎大家提出问题！我们会尽力回答大家关于计数法、置换群和对称群的任何疑问Polya请随时提出您遇到的任何问题，我们一起探讨！思考练习思考练习是巩固知识、提升理解的重要环节通过思考练习，您可以加深对计数法和对称群的理解，并将其应用于实际问题解决中Polya例如，您可以尝试用计数法计算不同形状的项链的排列方式，或计算不Polya同类型的化学结构的异构体数量欢迎您在课后与老师或同学交流，共同探讨和解决问题参考文献及致谢参考文献致谢感谢各位同学的积极参与，希望这堂课能帮助大家更好地理解Polya,G.

1937.Kombinatorische Anzahlbestimmungenfür计数法及其在实际问题中的应用Gruppen,Graphen undchemische Verbindungen.Acta PolyaMathematica,681,145-

254.Burnside,W.

1911.Theory ofgroups offinite order.Cambridge UniversityPress.。