《正交函数集》课件

正交函数集学习目标理解正交函数的概念学习常见正交函数集运用正交函数集解决实际问题掌握正交函数的性质和应用能够使用正交函数集表示函数能够运用正交函数集进行函数逼近和信号处理什么是正交函数线性无关性几何解释两个函数正交，意味着它们在某个区正交函数类似于向量空间中相互垂直间上的内积为零的向量数学定义两个函数fx和gx在区间[a,b]上正交，当且仅当它们的内积为零∫abfxgxdx=0正交函数的性质线性无关完备性正交性正交函数集中的函数线性无关，这意味着正交函数集可以用来表示任何一个在该函两个不同的正交函数的内积为零，这使得任何一个函数都不能由其他函数的线性组数集定义域上的函数，这意味着该函数集它们在函数空间中相互垂直合表示可以覆盖整个函数空间正交函数的应用信号处理图像压缩12正交函数集可以用于信号的分正交变换可以有效地压缩图像解和重构数据数值计算3正交函数集可以用于求解微分方程和积分方程常见的正交函数集三角函数集勒让德多项式集如正弦函数、余弦函数、正切函是一组定义在[-1,1]上的正交多项数等，它们在信号处理和物理学式集，在微分方程和数值分析中等领域有着广泛应用得到广泛应用埃尔米特多项式集是一组定义在整个实数轴上的正交多项式集，在量子力学中具有重要作用傅里叶级数与正交函数傅里叶级数1将周期函数分解成一系列正弦和余弦函数的线性组合正交函数2傅里叶级数中，正弦和余弦函数构成一个正交函数集应用3信号处理、图像压缩等常见正交函数集的性质线性无关完备性正交性正交函数集中任意两个函数的内积为零，正交函数集可以用来逼近任何一个函数，正交函数集的函数之间相互垂直，就像空这意味着它们是线性无关的也就是说，通过正交函数集的线性组合可间中的正交向量一样以得到一个无限接近目标函数的函数正交函数集的构造施密特正交化1将一组线性无关函数转化为正交函数集格拉姆施密特-2常用的正交化方法正交多项式3构建特定区间上的正交函数集格拉姆施密特正交化过程-第一步第三步选择线性无关的函数集，并将其中的第一个函数作为第一将第三个函数减去其在第一个和第二个正交函数上的投影个正交函数，得到第三个正交函数1234第二步重复将第二个函数减去其在第一个正交函数上的投影，得到第重复上述步骤，直到所有函数都正交化二个正交函数正交函数集表示函数展开式系数12任何函数可以用正交函数集的展开式中的系数可以通过函数线性组合来表示与正交函数的内积求得完整性3正交函数集的完整性保证了函数的完全表示正交函数集的选择应用场景函数性质计算复杂度选择合适的正交函数集取决于应用场景，考虑正交函数集的性质，如完备性、正交选择计算复杂度低的正交函数集，以提高例如傅里叶级数适合周期信号分析，勒让性等，以确保能有效地表示目标函数计算效率德多项式适用于求解微分方程例题求函数的傅里叶级数展开1步骤一确定函数的周期和定义域步骤二计算函数的傅里叶系数步骤三将傅里叶系数代入傅里叶级数公式步骤四化简得到函数的傅里叶级数展开式例题求满足特定条件的正交函数集2定义域1确定函数集定义域权函数2设定权函数正交性3验证函数集正交性例题给定函数求其在某正交函数集上3的展开式函数定义首先定义我们要展开的函数，例如fx=x^2在区间[-1,1]上正交函数集选择一个合适的正交函数集，例如勒让德多项式Pnx展开系数计算函数fx在该正交函数集上的展开系数，使用内积公式进行计算展开式将展开系数代入正交函数集的线性组合，得到fx在该正交函数集上的展开式习题1已知函数fx=x^2，求其在区间[0,1]上的傅里叶级数展开式提示使用正交函数集{sinnπx}和{cosnπx}，并根据傅里叶级数展开式公式进行计算习题2求函数\fx=x^2\在区间\[-1,1]\上的傅里叶级数展开式习题3给定函数fx=x^2，求其在区间[-1,1]上的Legendre多项式展开式习题4计算下列函数在区间[0,1]上的傅里叶级数展开fx=x^2课后思考题正交函数集的应用正交函数集的构造除了傅里叶级数，还有哪些领域应用如何构造满足特定条件的正交函数集了正交函数集？？正交函数集的选择如何选择最适合表示特定函数的正交函数集？本课重点回顾正交函数集的概念正交函数集的性质正交函数集是一个由线性无关函正交函数集具有线性无关性、正数组成的集合，它们满足一定条交性和完备性，这些性质在信号件下的正交性处理和数值分析等领域有着广泛应用常见的正交函数集正交函数集的应用常见的正交函数集包括傅里叶级正交函数集可用于函数展开、信数、勒让德多项式和切比雪夫多号处理、数值积分和数据压缩等项式等领域学习目标达成情况掌握正交函数的概念了解正交函数的性质熟悉常见正交函数集理解傅里叶级数与正掌握正交函数集的构能够利用正交函数集交函数的关系造方法表示函数掌握正交函数集的选能够应用正交函数集择方法解决实际问题知识点拓展正交函数集的应用正交函数集的构造除了在傅里叶分析中广泛应用，正交函数集在信号处理、图像压除了常用的正交函数集，我们可以利用格拉姆-施密特正交化过程缩、数值分析、量子力学等领域也扮演着重要角色构造新的正交函数集参考文献高等数学线性代数复变函数谢谢大家。