函数的极值与导数-图课件

函数的极值与导数函数的极值是函数在某一点取得的最大值或最小值导数可以用来求函数的极值，因为它可以帮助我们找到函数的递增和递减区间函数极值的概念函数的最大值函数的最小值局部最大值局部最小值在一个给定的区间上，函数取在一个给定的区间上，函数取函数在某一点的函数值比该点函数在某一点的函数值比该点到的最大值称为该函数在该区到的最小值称为该函数在该区附近其他点的函数值都大，则附近其他点的函数值都小，则间上的最大值间上的最小值称该点为函数的局部最大值点称该点为函数的局部最小值点寻找函数极值的步骤求导1求函数的一阶导数解方程2求导数为零或导数不存在的点判断极值3利用导数的符号变化判断极值验证极值4验证导数在临界点的符号一元函数的最大值和最小值最大值函数在定义域内取得的最大值，即函数值最大的点最小值函数在定义域内取得的最小值，即函数值最小的点一元函数的临界点定义分类一元函数的导数在临界点可以分为两类驻点和不fx x=a处不存在或等于，则称点可导点驻点是指导数为的点0x=0为的临界点这意味着在，而不可导点是指导数不存在的a fx临界点处函数的斜率可能为或点0不存在重要性临界点是函数可能取得极值的点，它们是寻找函数极值的必要条件因为在临界点处，函数的增长或下降趋势可能发生变化一元函数的驻点导数为零可能极值点12驻点是指一元函数导数为零的点，即函数图像的切线斜率为驻点可能是函数的极值点，但也可能是拐点，需要进一步判零的点断寻找方法图形意义34可以通过求导数并令其为零，解出方程来找到驻点驻点在函数图像上对应于切线水平的点，如函数图像的峰值或谷值一元函数极值的判定法则一阶导数二阶导数图像分析如果函数的一阶导数在某点处为零或不存如果函数的二阶导数在某点处为正，则该通过函数图像的形状，可以判断函数的极在，则该点可能为函数的极值点点为函数的极小值点；如果二阶导数为负值点，例如，函数图像在极值点处会发生，则该点为函数的极大值点方向变化利用导数判断函数的单调性导数与单调性一元函数的导数可以帮助我们判断函数的单调性当导数大于时，函数是0递增的；当导数小于时，函数是递减的0单调区间利用导数，可以求出函数的单调区间，即函数在哪些区间上是递增的或递减的极值点函数的极值点往往出现在导数为或导数不存在的点处，这些点被称为临界点0图像分析通过分析函数图像，我们可以更加直观地理解导数与单调性的关系，并进一步加深对函数性质的理解利用导数判断函数的极值一阶导数为零1找到函数的一阶导数为零的点，即临界点二阶导数判断2检查临界点的二阶导数正值表示极小值，负值表示极大值，零值则需要进一步分析极值判定3利用一阶导数和二阶导数的信息来确定函数的极值点，以及是极大值还是极小值求导数的基本公式基本公式幂函数导数是微积分中最重要的概念之一，它用来描幂函数的导数公式dx^n/dx=nx^n-1,述函数的变化率，求导就是求函数的导数其中为常数n指数函数对数函数指数函数的导数公式对数函数的导数公式da^x/dx=a^x*dlog_ax/dx=其中为常数其中为常数lna,a1/x*lna,a导数的运算规则和差法则积法则

1.

2.12两个函数的和或差的导数等于两个函数的积的导数等于第一这两个函数的导数的和或差个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数商法则链式法则

3.

4.34两个函数的商的导数等于分母复合函数的导数等于外函数对的平方除以分子导数乘以分母内函数的导数乘以内函数的导减去分子乘以分母导数数导数的几何意义导数代表函数曲线在某一点的斜率斜率反映了曲线在该点变化的快慢程度，即函数值变化率导数的正负值决定了曲线在该点的上升或下降趋势导数的应用优化问题函数图像分析导数可用于求函数的最大值或最小值，解决现通过导数，我们可以分析函数的单调性、极值实生活中的优化问题、拐点等，绘制出更精确的函数图像物理学经济学导数在物理学中应用广泛，例如速度、加速度导数可以用来分析经济指标的变化趋势，预测、力等概念都与导数密切相关市场走向利用导数求函数最大值和最小值求导数1找到函数的导数求临界点2找到导数为零或不存在的点判断极值3通过二阶导数或其他方法判断临界点是否为极值比较大小4比较所有极值和函数在端点处的值，找到最大值和最小值导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值通过求导数、找临界点和判断极值，我们可以有效地找到函数的最大值和最小值利用导数求最大面积或最小体积建立函数模型1根据实际问题建立目标函数，表示要优化的面积或体积求函数的导数2对目标函数求导，找到临界点判断极值3利用导数的符号变化判断临界点是最大值还是最小值求解最值4将最值对应的变量代入目标函数，求得最大面积或最小体积导数是求解函数极值的强大工具，可以用于求解最大面积或最小体积等优化问题例如，求长方形围成的最大面积，可以用导数求解利用导数求最优化问题建立数学模型1将实际问题转化为数学问题，例如求最大面积、最小成本等求导数2对目标函数求导数，得到导函数求解方程3令导函数等于零，求解方程，得到驻点判断极值4利用导数的符号变化判断驻点是否为极值点，并求出极值验证结果5将极值点代回原函数，验证是否满足实际问题的约束条件函数图像的特征与导数的关系函数的导数可以反映函数图像的特征，如单调性、凹凸性、拐点等导数为正，函数单调递增；导数为负，函数单调递减二阶导数为正，函数图像向上凹；二阶导数为负，函数图像向下凹导数为零的点，可能是极值点或拐点利用导数分析函数图像，可以更深入地理解函数的性质，为解决实际问题提供理论依据例如，可以利用导数求函数的最大值或最小值，可以利用导数判断函数的极值点，可以利用导数分析函数的单调性和凹凸性等函数图像与导数图像的关系函数图像和导数图像密切相关，可以相互推断例如，当函数图像上升时，导数图像在轴上方；当函数图像下降时，导数图像在轴下方函数图像的拐点x x对应导数图像的极值点通过观察导数图像，可以了解函数的单调性、极值、凹凸性等信息利用导数分析函数图像单调性凹凸性拐点极值点导数为正，函数单调递增导二阶导数为正，函数图像向上二阶导数从正变负或从负变正一阶导数为零或不存在，函数数为负，函数单调递减凹二阶导数为负，函数图像，函数图像存在拐点图像可能存在极值点向下凹利用导数分析函数的性质单调性极值凹凸性拐点导数的符号决定函数的单调性导数为零或不存在的点称为临二阶导数的符号决定函数的凹二阶导数为零或不存在的点称导数为正，函数单调递增界点，临界点可能对应函数的凸性二阶导数为正，函数凹为拐点拐点是函数凹凸性变导数为负，函数单调递减极值用一阶导数和二阶导数向上二阶导数为负，函数凹化的点拐点对应函数图像上可以判定函数的极值向下的转折点导数的应用举例1速度与加速度最大利润利用导数可以求解物体的速度和加速度，导数可以用来求解企业的最大利润，例如其中速度是位移函数的导数，加速度是速，通过分析成本函数和收益函数的导数，度函数的导数找到利润最大的产量最优尺寸导数可以用来求解容器的最佳尺寸，例如，通过分析容器的表面积和容积的函数，找到最小的表面积或最大的容积导数的应用举例2优化生产成本利用导数，企业可以找到生产成本最低的产量，从而提高利润率交通流量控制通过导数，可以分析交通流量变化趋势，优化交通信号灯设置，提高道路通行效率投资组合管理导数可以帮助投资者分析投资组合的风险和收益，制定最佳的投资策略导数的应用举例3最优设计经济学12例如，在工程设计中，需要优化产品的在经济学中，导数可以用于分析利润、形状和尺寸，以最大程度地提高效率或成本、需求和供应的变化关系降低成本物理学3物理学中，导数可以用于描述运动的加速度、速度的变化率和力的作用导数的应用举例4滑梯速度汽车行驶路径我们可以使用导数来计算一个孩子在滑梯上的速度和加速度，这需导数可以用来分析汽车在公路上行驶的路径，并计算最佳行驶路线要考虑滑梯的斜率和摩擦力等因素，例如，在弯道处减速，直道上加速主要结论回顾导数的定义与性质导数的应用导数定义了函数的变化率，反映导数可以用来求函数的最大值和函数在某一点的瞬时变化趋势最小值，以及求函数图像的切线导数的性质包括导数的加减乘除方程，还可以用来解决一些优化运算规则，以及导数与函数单调问题性、极值、凹凸性的关系函数图像的特征导数的应用场景函数图像的特征可以通过导数来导数在很多领域都有应用，例如分析，例如函数的单调性、极值物理学、工程学、经济学、金融、拐点等，这些特征可以帮助我学等，它可以帮助我们解决一些们更直观地理解函数的性质实际问题重要概念总结函数极值导数临界点驻点函数极值指的是函数在某个点导数是函数在某一点的变化率临界点是指函数导数为零或不驻点是指函数导数为零的点，取得的最大值或最小值，可以，可以用来判断函数的单调性存在的点，这些点可能是函数这些点可能对应函数的极值点帮助我们理解函数的变化趋势，求函数的极值，以及分析函的极值点，但也不一定是，但也可能是函数的鞍点和性质数的图像性质思考与练习通过本节课的学习，你应该能够掌握函数极值与导数之间的关系，并能够利用导数求解函数的最大值和最小值，并能够应用导数解决实际问题请尝试以下练习题，加深对本节课内容的理解和运用求函数的极值•fx=x^3-3x^2+2求函数的最大值和最小值•gx=x^2/x^2+1一个长方形的周长为，求这个长方形的最大面积•20cm课后延伸阅读深入学习进一步探索与专家交流您可以阅读更多关于微积分和导数的书籍探索更高级的微积分课程，例如多元微积与数学老师或教授讨论您的疑问，寻求他，以加深对该主题的理解分和复变函数，扩展您的数学知识们的指导和建议参考文献教材参考书高等数学（第七版），同济大微积分学教程，汤姆阿波斯·M·学数学系编，高等教育出版社托尔著，高等教育出版社网络资源其他可搜索函数的极值与导数相请参考课本或相关资料，补充“”关资料，例如维基百科、其他参考文献Khan等Academy。