《数列的函数特征》课件

数列的函数特征课程目标理解数列的函数特征运用函数的知识分析数列培养逻辑思维和问题解决能力掌握数列的定义、表示方法和基本性质学会利用函数的性质、图形等工具来研究通过数列的学习，提高分析问题、解决问数列的性质题的能力数列的定义定义表示数列是指按照一定顺序排列的一列数每个数称为数列的项，第数列通常用字母a表示，下标表示项的序号例如，数列a1，a2一个数称为首项，最后一个数称为末项，a3，...，an数列的表示方法通项公式递推公式12使用一个关于自然数n的函数通过数列中前几项和后几项之表达式来表示数列中的每一项间的关系来定义数列图示法3通过图形的方式直观地展示数列的规律和变化趋势等差数列定义通项公式等差数列是指从第二项起，每一项都an=a1+n-1d，其中a1是首项，n比前一项增加一个常数，这个常数叫是项数做公差，记作d图形特征等差数列的图像是一条直线，因为相邻两项的差值是恒定的等差数列的性质公差递推公式等差数列中相邻两项的差值，称任何一个等差数列都可以用递推为公差公差可以用字母d表示公式来定义例如，一个等差数列的第n项an可以表示为an=a1+n-1d，其中a1是首项，d是公差求和公式一个等差数列的前n项和可以用求和公式来计算公式为Sn=n/2*a1+an等差数列的和n a_1项数首项a_n d末项公差等差数列的和可以用公式表示Sn=n/2*a1+an或Sn=n/2*[2a1+n-1d]，其中n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差等比数列公比通项公式前n项和公式等比数列中，每一项与其前一项的比值都等比数列的通项公式为an=a1*q^n-等比数列的前n项和公式为Sn=a1*1-相等，这个比值称为公比1q^n/1-q等比数列的性质1通项公式2前n项和公式等比数列的通项公式是an=当q≠1时，等比数列前n项a1*qn-1,其中a1是首项，q和Sn=a11-qn/1-q是公比性质3等比数列的性质包括任意一项与其前一项的比值等于公比；相邻两项之和、差、积、商仍为等比数列等比数列的和等比数列的和是指等比数列中所有项的总和等比数列的和可以通过公式计算得出特殊数列斐波那契数列三角形数列每个数字都是前两个数字之和表示三角形形状的排列平方数列每个数字是其位置的平方分段函数定义示例分段函数是指在一个定义域内，不同的子区间上由不同的函数表例如，函数fx={x^2,x≤0;x,x0}就是一个分段函数，它达式定义的函数.在x≤0时等于x^2，在x0时等于x.分段函数的连续性定义判断在某个点处，左右极限相等且等判断分段函数在分段点处的连续于函数值，则称函数在该点处连性，需要分别计算左右极限和函续数值应用连续性是函数性质的重要体现，在物理、化学等学科中有着广泛的应用分段函数的导数定义分段点分段函数的导数在每个定义域内在分段点处，需要分别计算左右单独计算，在分段点处需要进行导数，若左右导数相等，则该点特殊处理处的导数存在示例例如，对于分段函数fx={x^2,x0;2x,x=0}，其导数为fx={2x,x0;2,x=0}分段函数的积分定积分不定积分分部积分法通过积分运算来计算曲线与x轴之间的面求导的逆运算，找到一个函数的原始函数应用于复杂积分的求解，将积分分解成更积.简单的形式函数的奇偶性奇函数偶函数对于定义域内任意x，满足f-对于定义域内任意x，满足f-x=-fx的函数称为奇函数x=fx的函数称为偶函数判断方法可通过代入x和-x，观察函数值的符号关系来判断函数的奇偶性函数的周期性周期性函数周期图形特征函数值在一定范围内呈周期性变化函数值重复出现的最小间隔图形在x轴方向上平移一个周期后完全重合函数的单调性单调递增单调递减当自变量增大时，函数值也随之增大当自变量增大时，函数值也随之减小函数的范围定义域值域函数的定义域是指函数自变量可以取值的范围函数的值域是指函数因变量可以取值的范围函数的最值极值最值函数在定义域内取得最大值或最小值函数在定义域内取得的最大值或最小值复合函数定义表示一个函数的输出作为另一个函数用符号“○”表示，例如f○的输入，得到的新的函数称为复gx表示将gx的值代入fx合函数中性质复合函数的性质取决于组成它的两个函数的性质反函数如果一个函数fx的图像关于直线y反函数的定义域是原函数的值域，反=x对称，那么这个函数被称为反函函数的值域是原函数的定义域数反函数的图像可以通过将原函数的图像关于直线y=x对称得到隐函数定义求导应用123隐函数是指不能直接用一个显式公可以使用隐函数求导法来求解隐函隐函数在数学和物理学等领域有着式表达出来的函数，而是通过一个数的导数广泛的应用，例如求解曲线方程方程来隐含地定义的参数方程参数方程定义参数方程的应用12用一个参数来表示曲线上的点参数方程可以用来描述各种曲的坐标，即用参数方程来描述线，包括直线、圆、椭圆、抛曲线，这种方法称为参数方程物线等法参数方程的优点3参数方程可以更加简洁地描述曲线，并且可以方便地计算曲线上的点曲线的几何性质曲线是一条连续的线段，可以用数学公式来表示曲线的几何性质包括:•长度•面积•体积•曲率•挠率曲线的微分几何微分几何是研究曲线和曲面的几何性质，它利用微积分的方法来研究几何对象在微分几何中，我们可以使用导数和积分来计算曲线的长度、曲率、挠率等重要几何量曲线的弧长定义曲线弧长是指曲线上的两点之间的距离计算用积分计算曲线弧长应用在物理、工程和数学等领域都有广泛的应用曲线的面积曲线下面积的计算是微积分的重要应用之一曲线的体积321旋转体截面法微元法曲线绕轴旋转形成的体积，可以用积分计将曲线分割成多个截面，用每个截面的面将曲线分割成微小的元素，用每个元素的算积积分得到体积体积积分得到总体积曲线的应用数学建模曲线可用于模拟各种自然现象，例如人口增长，物体运动轨迹等工程设计曲线应用于建筑，桥梁，道路等工程设计中，以优化结构和美观计算机图形学曲线是计算机图形学的基础，用于创建三维模型和动画课后练习巩固课堂所学知识，并进行更深入的学习例如

1.尝试用函数的性质和图像来解释一些实际问题

2.尝试用函数的导数来解决一些优化问题

3.尝试用函数的积分来计算一些面积和体积。