三角形高、中线与角平分线课件

线线三角形高、中与角平分三角形高、中线和角平分线是三角形的重要组成部分它们在几何学中扮演着重要的角色，并用于解决各种三角形问题顾三角形概念回义类定分由三条线段首尾相连组成的封闭图根据三条边的长度关系，三角形可形叫做三角形三角形具有三个顶以分为等边三角形、等腰三角形和点和三个内角不等边三角形质性三角形的内角和为180度，三角形两边之和大于第三边质三角形高的性对边顶对边1垂直于2点到三角形的高线垂直于三角形的高线是从三角形顶点画向对边对边的垂线段对边3垂足在4直角三角形高线的垂足位于三角形的对边三角形高线将三角形分成两个上直角三角形质应三角形高性的用计积算三角形面1利用三角形面积公式，可以计算出三角形的面积证明三角形全等2利用三角形高的性质可以证明两个三角形全等边长求解三角形3利用三角形的边角关系，可以求出三角形的边长问题解决几何4运用三角形高的性质可以解决各种几何问题三角形高的性质在实际应用中具有重要意义它可以帮助我们解决许多实际问题，例如测量三角形的面积、判断三角形是否全等以及求解三角形的边长等等线质三角形中的性连顶对边线线质质接点到中点的段中交点性重心性三角形中线将三角形分成面积相等的两个三三角形的三条中线交于一点，这个点称为三重心将每条中线分成2:1的比例，并且重心角形，它是一个重要的几何概念角形的中线交点，也称为重心是三角形面积的重心线质应三角形中性的用线长求段度1利用中线性质，可以求出三角形中线长度或三角形边长证线关明段系2通过中线性质，可以证明三角形中线与其他线段之间的关系类三角形分3根据中线性质，可以判断三角形的类型，例如等腰三角形证明三角形重心4运用中线性质，可以证明三角形三个中线交于一点，即重心三角形中线性质是解决几何问题的重要工具它可以帮助我们求解线段长度，证明线段关系，并进行三角形分类线质三角形角平分的性线质角平分性三角形角平分线上的点到角两边的距离相等可以利用此性质来求解相关问题线角平分定理三角形角平分线将对边分成两部分，这两部分的长度与角平分线所分开的两边的长度成比例线质应三角形角平分性的用线角平分定理1利用角平分线定理求线段的比例关系，解决三角形边长、周长、面积等问题线线角平分与平行2结合角平分线性质与平行线性质，求解三角形中线段的长度、角度等问题线角平分与相似三角形3根据角平分线与相似三角形的关系，解决与三角形比例、面积相关的计算问题线线联三角形高、中和角平分的系三角形高、中线和角平分线是三角形中重要的线段它们在三角形中有着独特的性质，并相互联系三角形高是连接三角形一个顶点与其对边垂线的线段，它垂直于对边；三角形中线是连接三角形一个顶点与其对边中点的线段；三角形角平分线是连接三角形一个顶点与其对边上对应角的平分线了解三角形高、中线和角平分线之间的联系，有利于我们更好地理解和应用三角形的性质，解决几何问题证问题举几何明例1已知如图，△ABC中，AD为角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，求证DE=DF证明因为AD是角平分线，所以∠BAD=∠CAD因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠DEA=∠DFA=90°在△DEA和△DFA中，∠BAD=∠CAD，∠DEA=∠DFA，AD=AD，所以△DEA≌△DFA（AAS）所以DE=DF证问题举几何明例2已知△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，求证BE=CF证明∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA=∠DFA=90°在△ADE和△ADF中，∠BAD=∠CAD，∠DEA=∠DFA，AD=AD，∴△ADE≌△ADFASA∴DE=DF，AE=AF在△BDE和△CDF中，∠DEB=∠DFC，DE=DF，BE=CF，∴△BDE≌△CDFSAS∴BE=CF证问题举几何明例3已知如图，△ABC中，AD是角平分线，BE是高线，且AD与BE相交于点F，求证∠AFB=90°证明因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD因为BE是高线，所以∠BEC=90°所以∠ABE+∠BAE=90°，∠CBE+∠BCE=90°因为∠BAE=∠CAD，所以∠ABE=∠CBE所以△ABF≌△CBF（AAS）所以∠AFB=∠CFB=90°证问题举几何明例4已知△ABC中，AD是角平分线，BE是高，且AD、BE交于点O，求证∠AOB=90°+1/2∠C证明因为BE是高，所以∠BEC=90°因为AD是角平分线，所以∠BAD=∠CAD在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO=180°-1/2∠BAC-（90°-∠CBE）=90°+∠CBE-1/2∠BAC又因为∠CBE=∠ABC-∠ABE=∠ABC-（90°-∠BAC）=∠ABC+∠BAC-90°，所以∠AOB=90°+（∠ABC+∠BAC-90°）-1/2∠BAC=90°+1/2∠C证问题举几何明例5已知△ABC中，AD是BC边上的中线，∠BAD=∠CAD，求证AB=AC证明∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD∵∠BAD=∠CAD，AD是公共边，∴△ABD≌△ACD∴AB=AC，证毕线线综应三角形高、中和角平分合用1已知条件已知三角形ABC的边长和高，求三角形ABC的面积和周长思路分析利用三角形面积公式和周长公式，结合三角形高和中线之间的关系进行计算步骤首先，利用三角形面积公式计算三角形ABC的面积，然后利用三角形周长公式计算三角形ABC的周长举例说明例如，已知三角形ABC的边长为a,b,c,高为h，则三角形ABC的面积为1/2*a*h，周长为a+b+c线线综三角形高、中和角平分合应用2积三角形面1三角形高是面积公式的重要组成部分，利用高可以计算出三角形的面积三角形重心2三角形三条中线交于一点，这个点称为重心，且重心将每条中线分成2:1的比例三角形内心3三角形三条角平分线交于一点，这个点称为内心，且内心到三条边的距离相等线线综应三角形高、中和角平分合用3题目分析仔细阅读题目，确定已知条件和求证目标，找出关键的几何图形和性质构建辅助线根据已知条件和求证目标，合理地构建辅助线，将问题转化为易于解决的形式运用定理将三角形高、中线和角平分线的性质以及其他相关几何定理应用到解题过程中逻辑推理通过逻辑推理，证明结论的正确性，并注意书写格式和规范线线综应三角形高、中和角平分合用4题目分析1认真阅读题目，理解题意，找出已知条件和求证结论图形分析2根据题目条件，绘制图形，并标注已知条件和求证结论思路分析3结合图形和已知条件，分析三角形高、中线和角平分线的性质证过明程4运用三角形高、中线和角平分线的性质，进行严谨的逻辑推理线线综应三角形高、中和角平分合用5审题1认真分析题意，找出已知条件和要求证明的结论构图2根据题意画出图形，标明已知条件和要求证明的结论连接3利用三角形高、中线和角平分线的性质和定理，尝试连接关键点，构造辅助线证明4运用几何证明方法，严格推理，证明结论总结5回顾解题过程，总结解题方法和技巧线线识结三角形高、中和角平分知小1义三角形的定三角形高三个顶点和三条边组成的封闭图形，且每条边至从三角形的一个顶点向其对边或其延长线作垂线少与其他两条边相交，这条垂线叫做三角形的高线线三角形中三角形角平分连接三角形一个顶点与其对边中点的线段，叫做平分三角形一个内角的射线叫做三角形的角平分三角形的中线线线线识结三角形高、中和角平分知小2线关应场三系用景重要定理三角形的高、中线和角平分线在特殊情三角形的高、中线和角平分线在几何证理解三角形的高、中线和角平分线的性况下会重合，例如等边三角形的三条高明问题中经常出现，可以帮助我们找到质和定理，可以帮助我们快速解决问题、中线和角平分线均重合辅助线，简化问题线线识结三角形高、中和角平分知小3三角形高三角形高是顶点到对边垂线段三角形高性质三角形的三条高交于一点，这个点称为垂心线三角形中三角形中线是连接顶点到对边中点的线段三角形中线性质三角形的三条中线交于一点，这个点称为重心线三角形角平分三角形角平分线是将一个角分成两个相等的角的射线三角形角平分线性质三角形的三条角平分线交于一点，这个点称为内心习题讲典型解1题例11已知三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，求证AD⊥BC题解思路2根据题意，AD是三角形ABC的中线，并且AB=AC，可以利用等腰三角形的性质和中线性质进行证明证明3因为D是BC的中点，所以BD=CD又因为AB=AC，所以三角形ABD和三角形ACD是全等的等腰三角形，因此AD⊥BC习题讲典型解2本节课将深入讲解一道经典例题，通过解题过程，帮助同学们更深入地理解三角形高、中线和角平分线的性质及其在几何证明中的应用题目分析1首先要仔细审题，理解题意，明确已知条件和求证结论方法选择2根据已知条件和求证结论，选择合适的解题方法，例如利用三角形高、中线和角平分线的性质，或者其他几何定理步骤拆解3将解题过程分解成若干个步骤，每个步骤要清晰明了，并有理有据结论验证4最后要验证结论是否符合题意，并总结解题思路和方法通过讲解这道例题，同学们可以学习到如何灵活运用三角形高、中线和角平分线的性质，以及如何进行几何证明习题讲典型解3题目已知三角形ABC中，角A的角平分线交BC于点D，求证AD平分三角形ABC的面积证明过点D分别作DE垂直于AB，DF垂直于AC，则DE=DF，且S△ABD=1/2*AB*DE，S△ACD=1/2*AC*DF结论所以，S△ABD=S△ACD，即AD平分三角形ABC的面积习题讲典型解4问题解析1认真审题，找出已知条件和目标结论图形分析2分析图形，寻找关键点和辅助线逻辑推理3应用三角形高、中线和角平分线的性质进行推理书证写明4规范书写证明过程，完整表达逻辑关系通过典型习题的讲解，可以帮助学生更好地理解三角形高、中线和角平分线的性质，并能灵活运用这些性质解决实际问题习题讲典型解5题目解析此题考察三角形高、中线和角平分线的综合应用，需要学生掌握相关性质并灵活运用解题思路首先根据已知条件，找到三角形中关键的线段，然后根据性质进行推导，最后得出结论解题步骤•连接点D和点E•利用三角形中线性质证明DE平行于BC•利用三角形角平分线性质证明AD=AE•利用等腰三角形性质证明∠ADE=∠AED•利用平行线性质证明∠ADE=∠ABC•根据角的关系得出结论答案∠ABC=∠ACB，即三角形ABC是等腰三角形课后思考与拓展实应践探索生活用拓展延伸尝试用不同的材料，例如纸张、木条、绳子观察生活中常见的三角形结构，例如三角形研究与三角形相关的其他几何图形，例如平等，制作三角形模型，验证三角形高、中线屋架、桥梁支撑等，思考其中蕴含的三角形行四边形、正方形、圆形等，探索它们之间和角平分线的性质稳定性原理的关系和应用总结与展望三角形高、中线和角平分线是平面几何中三个重要的基本概念理解这些概念，能够更好地理解和解决各种几何问题。