陈维新《线性代数简明教程》ch课件

陈维新《线性代数简明教程》课件本课件提供陈维新教授编著的《线性代数简明教程》的学习材料，涵盖线性代数的核心概念和方法本课件将帮助您深入理解线性代数的基本理论，并能够应用其解决实际问题课程介绍教材课程目标学习方法陈维新教授编著的《线性代数简明教程》掌握线性代数的基本概念和运算方法课前预习，课堂认真听讲，课后及时练习向量代数基础向量定义向量加法向量是具有大小和方向的量，可向量加法遵循平行四边形法则，以表示为有向线段它们在物理将两个向量首尾相接，连接首尾学、工程学等领域广泛应用两点的向量即为它们的和标量乘法线性组合标量乘法是指将一个向量乘以一线性组合是指将多个向量乘以相个实数，结果是另一个方向相同应的系数后相加，其结果也是一但大小改变的向量个向量向量的加法和标量乘法向量加法1向量加法遵循平行四边形法则，将两个向量首尾相接，连接两向量起点形成平行四边形，对角线即为两向量的和向量标量乘法2标量乘法是指将一个数（标量）乘以一个向量，得到的结果仍然是一个向量标量乘法改变向量的长度，方向保持不变或反向几何意义3向量加法和标量乘法在几何上分别对应向量的平移和伸缩，它们是线性代数中的基本运算向量的线性运算线性组合1两个向量相加或乘以标量线性无关2任何向量不能用其他向量的线性组合表示线性相关3一个向量可以用其他向量的线性组合表示线性空间4包含所有线性组合的集合线性组合是向量代数中的基本运算，它允许我们通过加法和标量乘法将向量组合在一起线性无关和线性相关是向量集合的重要性质，它们定义了向量之间的依赖关系基本向量空间操作线性组合线性无关生成空间基和维数线性组合是指将向量相加并如果一个向量组中没有向量一个向量组生成的线性组合向量空间的基是线性无关的乘以标量可以表示为其他向量的线性的所有向量组成的集合称为向量组，可以生成整个向量组合，则该向量组是线性无该向量组的生成空间空间线性组合的结果仍然是向量关的空间中的一个向量生成空间是向量空间的一个向量空间的维数是其基向量线性无关向量组可以形成向子空间个数量空间的基线性方程组的表示系数矩阵将线性方程组的系数排列成矩阵，称为系数矩阵增广矩阵将系数矩阵与常数项向量合并，形成增广矩阵矩阵方程线性方程组可以用矩阵方程的形式表示，即系数矩阵乘以未知向量等于常数向量线性方程组的解线性方程组的解是满足方程组中所有方程的解集寻找线性方程组的解是线性代数中的重要任务之一高斯消元法1将线性方程组转化为行阶梯形式初等行变换2对矩阵进行行操作，例如交换行、乘以非零常数和加减行矩阵的秩3矩阵的秩决定了解的个数高斯消元法是一种经典的求解线性方程组的方法它通过对矩阵进行初等行变换，将方程组转化为行阶梯形式，从而方便地找到解矩阵的定义矩阵的概念矩阵的结构矩阵的运算矩阵是数学中的一种重要工具，它可以用矩阵由行和列组成，每个元素对应一个唯矩阵之间可以进行加减乘除等运算，这些来表示线性方程组、向量变换等一的行号和列号运算遵循一定的规则矩阵的性质加法和乘法矩阵的转置12矩阵的加法和乘法运算满足一矩阵的转置是将矩阵的行和列定的运算规律例如，矩阵加互换得到的新矩阵转置矩阵法满足交换律和结合律具有许多重要的性质矩阵的行列式矩阵的秩34矩阵的行列式是一个与矩阵相矩阵的秩表示矩阵中线性无关关的数值，它反映了矩阵的某的行或列的个数，是矩阵的重些性质，例如可逆性要性质之一矩阵的运算1234矩阵加法矩阵减法矩阵乘法矩阵的转置两个矩阵相加，对应位置的两个矩阵相减，对应位置的两个矩阵相乘，行向量与列矩阵的转置是指将矩阵的行元素相加例如，两个矩阵元素相减例如，两个矩阵向量相乘，结果为一个新矩和列互换例如，矩阵的转A AA和的加法为，其和的减法为，其中阵例如，与相乘，结果置为，其中的元素B A+B=C B A-B=C AB ATAT aij=中的元素的元素为，其中的元素C cij=aij+bij C cij=aij-bij CCcij=aji∑aik*bkj逆矩阵的求解初等行变换将矩阵与单位矩阵合并为一个增广矩阵，并对增广矩阵进行初等行变换，将变换为单位矩阵A E[A|E]A单位矩阵变换经过初等行变换后，增广矩阵变为，其中即为的逆矩阵[E|B]BA逆矩阵不存在如果在对进行初等行变换的过程中，出现一行全为的情况，则不可逆，不存在逆矩阵A0A矩阵的秩矩阵的秩是一个重要的概念，它反映了矩阵中线性无关的行或列的个数秩是矩阵中最大线性无关向量组的维数行秩矩阵中线性无关行的最大数目列秩矩阵中线性无关列的最大数目行秩和列秩是相等的，这个重要的结果称为矩阵的秩定理矩阵的特征值和特征向量特征值特征向量12矩阵作用于特征向量后，仅改变向量长度，不改变方向特征向量是线性变换下方向不变的向量，是矩阵的重要性特征值表示特征向量缩放的比例质特征值和特征向量计算应用34可以通过求解特征方程来计算矩阵的特征值和特征向量，特征值和特征向量在许多领域有广泛的应用，包括矩阵对特征方程是角化、线性变换分析、线性方程组求解等detA-λI=0对角化相似矩阵1两个矩阵可以互相转化对角矩阵2主对角线以外的元素均为0对角化3将矩阵转换为对角矩阵对角化是指将一个矩阵转换为对角矩阵的过程矩阵的对角化与特征值和特征向量密切相关我们可以利用特征值和特征向量将矩阵转换为对角矩阵，从而简化矩阵的运算正交矩阵定义性质正交矩阵是其转置矩阵等于其逆正交矩阵的列向量是单位向量且矩阵的方阵相互正交，其行列式为或1-1应用正交矩阵在旋转变换、坐标系变换等领域应用广泛，例如图像处理和信号处理二次型定义矩阵表示二次型是关于多个变量的二次多项式，其每个变量的次数都是二次型可以由一个对称矩阵来表示，其中矩阵的元素对应二次型的系数

2.例如，表达式就是一个二次型例如，上面的二次型可以表示为矩阵x2+2xy+3y2[11;13]正定二次型定义正定性特征值几何意义二次型为一个向量变量的二次正定二次型是指当且仅当向量正定二次型的特征值均为正数正定二次型在几何上对应于椭多项式，其系数为实数，满足非零时，其值始终为正这等，这是判定正定性的一个重要圆，它表示一个中心在原点的对称性，即系数矩阵为对称矩价于其系数矩阵为正定矩阵性质对称图形阵广义逆矩阵广义逆矩阵的定义广义逆矩阵的应用广义逆矩阵的种类对于一个矩阵，其广义逆矩阵是指一个广义逆矩阵在解决线性方程组、矩阵分解广义逆矩阵有多种类型，如A Moore-矩阵，使得和之间满足特定的条件，和数据分析等方面有着广泛的应用逆矩阵、最小二乘逆矩阵等，它G AG Penrose例如或，其中是单位矩阵们满足不同的条件并适用于不同的应用场AG=I GA=I I景线性变换的表示矩阵1线性变换可以由矩阵表示向量2线性变换将向量映射到另一个向量线性变换3一种特殊的函数，满足线性性质线性变换可以用矩阵来表示矩阵的每一列代表变换后的基向量通过矩阵乘法，我们可以将任何向量映射到另一个向量，从而实现线性变换线性子空间向量空间子集零向量包含12线性子空间是向量空间的子集线性子空间始终包含零向量，，满足向量加法和标量乘法封是向量空间的必要条件闭线性组合封闭子空间的例子34线性子空间内任何向量的线性直线、平面、多维空间等都可组合仍然属于该子空间以是向量空间的线性子空间线性映射的性质线性性可加性线性映射保持向量加法和标量乘线性映射满足fu+v=fu+法的运算fv齐次性可逆性线性映射满足，其一个线性映射是可逆的，当且仅fcu=cfu中为标量当它是一对一且满射的c线性映射的核和值域核值域线性映射的核是指所有映射到零向量的所有向量集合它是一个线性映射的值域是指所有映射到向量空间的所有向量集合它也线性子空间，反映了线性映射的零空间是一个线性子空间，反映了线性映射的输出空间“”“”线性映射的秩和定理nullity秩-零度定理线性映射的秩和nullity之和等于其定义域的维数该定理在理解线性映射的性质和应用中至关重要秩线性映射的秩是其值域的维数，表示线性映射能将多少个线性无关的向量映射到线性无关的向量Nullity线性映射的nullity是其核的维数，表示线性映射将多少个线性无关的向量映射到零向量应用秩-零度定理可以用于分析线性方程组的解、判断线性映射是否为同构，以及理解线性变换在不同空间中的关系基变换和坐标变换基变换1向量空间的基改变坐标变换2向量在不同基下的坐标变化矩阵表示3基变换和坐标变换的矩阵表示基变换是改变向量空间的基，而坐标变换则是将向量在不同基下的坐标进行转换通过矩阵表示，可以方便地进行基变换和坐标变换的计算线性代数的应用数据分析机器学习计算机图形学密码学线性代数在数据分析中被广泛线性代数是机器学习的核心，线性代数用于描述和操作三维线性代数用于设计和分析密码应用，例如矩阵分解、降维和用于描述和优化模型，例如线空间中的对象，例如旋转、平算法，例如加密和椭圆曲RSA特征提取性回归和神经网络移和缩放线密码学课程总结线性代数应用理论与实践持续学习线性代数是数学的重要分支，广泛应用于本课程侧重理论讲解和实际应用结合，使学习线性代数是一个持续的过程，希望学自然科学、工程技术、经济管理等领域学生掌握线性代数的基本概念、理论和方生能继续学习和探索更深层的知识，并将法，并能运用这些知识解决实际问题线性代数的知识应用到各个领域参考文献陈维新线性代数简明矩阵论北京高

11..

22.[M].:教程北京高等教等教育出版社[M].:,

2001.育出版社,

2010.本书是国内矩阵论的经典教材本书是陈维新教授编写的线性，内容全面，体系完整，是学代数教材，内容简明扼要，深习矩阵论的必备书籍入浅出，适合高等院校理工科学生学习线性代数及其应用线性代数与解析几何

33.

44.北京清华大学出北京人民教育出[M].:[M].:版社版社,

2012.,

2015.本书是线性代数的经典教材，本书是线性代数与解析几何的内容丰富，讲解清晰，适合不教材，内容注重理论联系实际同层次的学生学习，适合高等院校数学专业学生学习。