高数课件映射与函数

高数课件映射与函数本课件将深入探讨映射与函数的概念、性质和应用，为理解高等数学打下坚实基础什么是映射从一个集合到另一个集合的对每个元素都有唯一的对应关系应关系映射中的每个元素都必须且仅能对应映射是将一个集合中的元素与另一个另一个集合中的一个元素集合中的元素建立起的一种对应关系可以是函数，也可以不是函数映射的对应关系可以是函数，也可以是非函数函数是映射的一种特殊情况映射的基本概念定义域值域对应关系映射的定义域是所有可能的输入值的集映射的值域是所有可能的输出值的集合映射是将定义域中的每个元素与值域中的合一个元素对应起来的一种规则映射的性质唯一性确定性对于集合中的每个元素，都存在唯一的集合中的元素映射规则一旦确定，对于中的每个元素，其对应的中的元X xY yX Y与其对应素也就唯一确定映射的分类单射满射每个元素在映射中都有唯一的对每个元素在映射中都被映射到某应元素例如将学生姓名映射个元素例如将学生姓名映射到学生学号，每个学生都有唯一到学生的专业，每个专业都有学的学号生双射既是单射又是满射的映射，每个元素在映射中都有唯一的对应元素，并且每个元素都被映射到某个元素例如将学生姓名映射到学生的学号，每个学生都有唯一的学号，并且每个学号都被映射到某个学生一对一映射定义特征一对一映射是指集合A中的每一对一映射既是单射又是满个元素在集合中都有唯一的射，确保了集合和集合之B A B对应元素，反之亦然间元素的唯一对应关系应用在数学和计算机科学中，一对一映射广泛应用于编码、加密和数据转换等领域满映射定义形象化理解如果集合A中的每个元素在集满映射就像一个完整的覆盖，合B中都有一个像，并且集合每个目标元素都有一个源元素B中的每个元素都是A中某个与之对应元素的像，那么称映射是从f到的满映射AB例子例如，函数从实数集到非负实数集的映射就是一个满映fx=x^2射单射和满射单射满射不同输入对应不同输出，即一个元素只能映射到一个元素输出集中的每个元素都有对应的输入元素，即所有输出元素都被映射到函数的定义定义表示函数是一种特殊的映射，它将一个集合中的元素对应到另一个集函数通常用符号fx表示，其中x是自变量，fx是因变量，合中的唯一元素它代表着x对应的唯一元素函数的表示形式函数可以通过多种形式来表示，例如•解析式用数学公式来表示函数，例如fx=x^2+1•图像用图形来表示函数，例如y=x^2的图像是一条抛物线•表格用表格来表示函数，例如x123fx2510函数的性质定义域值域单调性极值函数的定义域是指所有可以作函数的值域是指所有可能的函函数的单调性是指函数在定义函数的极值是指函数在某个点为函数自变量的数值集合数值组成的集合域内变化趋势的规律上的最大值或最小值函数的基本类型初等函数超越函数基本函数，如多项式函数、指数不能用初等函数表示的函数，如函数、对数函数、三角函数三角函数的反正函数、对数函数的反正函数特殊函数具有特定性质的函数，如伽马函数、贝塞尔函数初等函数基本函数重要性初等函数是指由基本函数通过有限次的四则运算、复合运算以及初等函数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，是理解更反函数运算得到的函数复杂函数的基础指数函数定义性质应用123指数函数是指形如y=a^x的函指数函数具有单调性、奇偶性、周指数函数在自然科学、社会科学等数，其中a为常数，a0且a≠期性等性质领域有着广泛的应用，例如描述人1，x为自变量，y为因变量口增长、放射性衰变、利率计算等对数函数对数函数是指数函数的反函数对数函数的图像关于直线y=x对称对数函数的定义域为0,+∞,值域为-∞,+∞幂函数定义性质幂函数是指形如fx=x^a的函幂函数具有以下性质数，其中是一个常数当为a a•定义域为全体实数正数时，函数图像向上递增；当•值域为全体非负实数为负数时，函数图像向下递a增•单调性取决于a的符号•当a1时，函数图像向上凹；当时，函数图0a1像向下凹应用幂函数广泛应用于科学技术和经济领域，例如物理学中的引力定律、经济学中的成本函数等三角函数正弦函数余弦函数正切函数正弦函数是描述角的正弦值的函数余弦函数是描述角的余弦值的函数正切函数是描述角的正切值的函数反三角函数定义符号反三角函数是三角函数的逆函反三角函数使用arc或asin、数，用于求解已知三角函数值对acos、atan等符号表示，例如应的角度arcsinx表示正弦函数的逆函数，即求解时对应的sinx=y角度应用反三角函数广泛应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域，例如求解三角形角度、计算运动轨迹等复合函数定义符号一个函数的输出作为另一个函用符号\gfx\表示，其数的输入，形成一个新的函中\fx\是内函数，数，称为复合函数\gx\是外函数应用复合函数在数学建模和分析中广泛应用，用于描述多个函数之间的相互依赖关系反函数定义性质若函数的定义域为，值域为，且对于中的任意一个，∈fx AB B•f-1[fx]=x xA元素，都存在中唯一的一个元素，使得，则称函y Ax fx=y，∈•f[f-1y]=y yB数在上有反函数，记为，其定义域为，值fx Ay=f-1x B•反函数的图像关于直线y=x对称域为A隐函数隐函数是指不能用显式形式表示的函数，隐函数通常可以用方程的形式来表示，例隐函数求导需要使用隐函数求导法，利用即无法直接写成y=fx的形式如Fx,y=0链式法则求导参数方程表示的函数圆的参数方程椭圆的参数方程例如，圆的参数方程另一个例子，椭圆的参数方程函数的基本性质单调性凹凸性极限函数单调性是指函数图像的趋势，是函数函数凹凸性是指函数图像的形状，是函数函数极限是指当自变量无限接近某个值值随自变量变化而变化的规律例如，函图像在某个区间上是向上或向下弯曲的规时，函数值无限接近某个值的趋势极限数图像在某个区间上是向上或向下，就说律例如，函数图像在某个区间上是向上是微积分中的重要概念，也是研究函数性明该函数在该区间上是单调递增或单调递弯曲，就说明该函数在该区间上是凹函质的必要工具减的数；反之，函数图像在某个区间上是向下弯曲，就说明该函数在该区间上是凸函数奇偶性偶函数奇函数对于函数定义域内任意都有对于函数定义域内任意都有x,x,成立则称函数成立则称函数f-x=fx,f-x=-fx,为偶函数为奇函数fx fx判断方法通过代入来判断函数是否为偶函数或奇函数以及函数图像的对称-x,性周期性定义性质如果一个函数对于任意的周期函数的图像在轴方向上fx x实数，满足，平移个单位后，与原图像重x fx+T=fx T其中T为一个非零常数，则称合函数为周期函数，常数fx T称为函数的周期fx举例正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期为sinx cosx2π单调性函数值随自变量的增大而增大函数值随自变量的增大而减小图像的几何特性函数图像的几何特性包括单调性、凹凸性、拐点、渐近线等这些特性可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化趋势例如，单调性反映了函数在某个区间内是递增还是递减；凹凸性反映了函数图像的形状是向上弯曲还是向下弯曲函数的极值最大值最小值极值在函数定义域内，函数取得的最大值称在函数定义域内，函数取得的最小值称函数在定义域内某一点附近的函数值比为函数的最大值为函数的最小值该点的函数值都大（或小），则称该点为函数的极大值点（或极小值点）函数的应用科学研究工程设计函数是描述和分析自然现象的强大工函数应用于建模、分析和优化工程系具例如，牛顿定律和爱因斯坦相对统，包括桥梁设计、电路分析和机器论都用到了函数学习等经济学函数用于描述经济模型，例如供求关系、投资回报和经济增长率。