《数值分析复习》课件

数值分析复习本课程将复习数值分析的核心概念和方法，帮助你更好地理解和应用数值计算课程目标理解数值方法应用数值方法解决问题掌握数值分析的基本概念和方法能够将数值方法应用于实际问题，包括误差分析、插值、数值积，并利用计算机编程语言进行实分和数值解微分方程等现培养数值计算能力提高数值计算的精度和效率，并能够分析和评估计算结果的可靠性绪论数值分析是数学的一个分支，它研究用数值方法解决数学问题计算机算术浮点数表示舍入误差溢出计算机使用浮点数表示实数，它由符号由于浮点数表示的精度有限，计算机运当计算结果超过浮点数表示范围时，就位、阶码和尾数组成算中不可避免地会产生舍入误差会发生溢出，导致结果不准确误差分析舍入误差截断误差传播误差123由于计算机存储容量有限，导致对由于使用近似公式或算法，导致计误差在计算过程中累积和传播，导实数进行近似表示产生的误差算结果与真实结果之间产生的误差致最终结果误差增大的现象插值法插值法是指在已知离散数据点的情况下，求解未知数据点的方法，利用已知数据点构造函数来近似逼近未知数据点牛顿插值多项式递推公式差商应用牛顿插值多项式使用递推公式计算，可以插值多项式利用差商来表示，它反映了数牛顿插值多项式广泛应用于数值分析、数逐步构建更高阶的多项式据点之间的变化关系据拟合和函数逼近等领域拉格朗日插值多项式构造一个多项式，其在插值节点处的利用插值节点处的函数值来逼近未知值与函数值相等函数利用拉格朗日插值多项式公式计算插值多项式样条插值三次样条曲线应用领域在工程和科学领域广泛应用计算机图形学、动画、数据拟合等领域最小二乘法原理应用优点最小二乘法是一种常用的数据拟合方法最小二乘法在统计学、工程学、经济学最小二乘法是一种简单且有效的拟合方，用于寻找最佳的函数曲线来近似地描等领域有着广泛的应用，例如回归分析法，能够找到最优解，并易于实现述一组数据点、曲线拟合、信号处理等非线性方程的求根迭代法不动点迭代数值分析中常用的方法，通过不断将方程转化为等价形式，然后重复逼近的方式求解方程的根迭代直到达到收敛精度牛顿迭代法计算使用迭代公式不断逼近函数的根初始值需要一个初始值作为迭代起点精度迭代停止的条件，例如误差小于某个阈值不动点迭代法123方程转化迭代公式迭代过程将方程转化为等价形式，使其成为一构造迭代公式，例如xn+1=gxn从一个初始值x0开始，重复迭代公式个不动点方程，直到满足误差要求固定点迭代法求解方程1将方程转换为等价的固定点形式迭代公式2定义迭代公式xn+1=gxn收敛性3判断迭代过程是否收敛二分法区间缩减1不断缩小区间，逼近根单调性2函数在区间上单调初始区间3确定包含根的区间线性方程组的直接解法直接解法是指通过一系列的运算，直接求出线性方程组的精确解的方法这些方法通常需要进行矩阵的消元或分解操作高斯消元法核心思想主要步骤12通过初等行变换将系数矩阵化消元、回代为上三角矩阵，然后回代求解方程组应用3广泛应用于线性代数和数值分析领域，例如求解线性方程组、矩阵求逆等三角分解法矩阵分解分解LU将系数矩阵分解为上三角矩阵和是最常用的三角分解方法之一，下三角矩阵的乘积，从而简化线将矩阵分解为一个下三角矩阵L性方程组的求解和一个上三角矩阵U的乘积分解Cholesky适用于对称正定矩阵，将矩阵分解为一个下三角矩阵L及其转置矩阵LT的乘积线性方程组的迭代解法迭代解法通过不断逼近的方式求解线性方程组的解与直接解法相比，迭代解法更适合处理大型稀疏矩阵，并且更容易实现并行计算雅可比迭代法高斯赛德尔迭代法-使用矩阵的对角元素和剩余矩阵来利用已计算出的新解的值来更新迭构造迭代公式代公式，提高收敛速度雅可比迭代法矩阵形式迭代公式将线性方程组转化为矩阵形式，用于根据矩阵形式推导出迭代公式，用于迭代计算更新解向量收敛条件判断迭代过程是否收敛，并分析收敛速度高斯赛德尔迭代法-改进的雅可比收敛速度更快12利用已计算的值更新当前值通常比雅可比迭代法收敛速度更快更稳定3对于某些矩阵，它比雅可比迭代法更稳定数值微分导数近似误差控制利用函数值的差商来逼近导数选择适当的差商公式和步长以控制误差前向差分定义公式应用函数fx在点x的前向差分为fx+h-前向差分可以用公式表示为Δfx=fx+前向差分常用于数值微分，估计函数的导fx，其中h为步长h-fx数中心差分数值微分中心差分使用函数值来近似计算导数利用函数在点x和x+h处的函数值来近似计算导数公式fx≈fx+h-fx-h/2h数值积分近似计算梯形法则12求解积分的数值近似解，通过使用梯形面积公式近似计算积将积分区间分割成多个子区间分，适用于连续函数的积分计，在每个子区间上使用特定的算公式进行计算辛普森法则龙贝格积分34利用抛物线近似函数，可以提利用递推公式，不断提高积分高计算精度，适用于较平滑函精度，适用于高精度积分计算数的积分计算梯形法则原理公式优点缺点将积分区间分成若干个小区简单易懂，易于实现精度较低，特别是对于曲线∫abfxdx≈h/2[fa+间，在每个小区间上用梯形变化较大的函数2fa+h+2fa+2h+...+近似代替曲线下的面积，然2fb-h+fb]后将所有梯形的面积加起来辛普森法则公式精确度∫ab fxdx≈b-a/6*fa+比梯形法则更高，误差为Oh^44fa+b/2+fb应用适用于计算曲线下的面积，可以更好地拟合曲线的形状龙贝格积分自适应方法递推公式高精度龙贝格积分是一种自适应方法，它可以该方法使用递推公式，从梯形法则的估龙贝格积分通常比其他数值积分方法具自动调整积分步长以达到预期的精度计值开始，逐步提高精度有更高的精度常微分方程的数值解法数值方法可以求解无法解析求解的常微分方程这些方法通过对微分方程进行离散化来近似求解常用的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法等欧拉法龙格库塔法-12最简单的数值解法，它使用微一种更精确的数值解法，它使分方程的斜率来估计下一个点用多个点上的斜率来估计下一的值个点的值欧拉法显式欧拉法隐式欧拉法计算下一个时间步的值，使用当前时间步的值来预测下一个时间计算下一个时间步的值，使用下一个时间步的值来预测下一个时步的值间步的值法Runge-Kutta四阶Runge-Kutta法精度更高稳定性更好结束语本课程旨在回顾数值分析的基本概念和方法，为后续学习和应用打下基础。