《离散数学讲义》课件

《离散数学讲义》课件PPT离散数学的基本概念离散数学的研究对象主要分支12离散数学主要研究的是离散对离散数学包含多个分支，例如象，即可以被计数的有限或可集合论、图论、组合数学和逻数无限的对象辑学应用领域3离散数学的应用领域十分广泛，包括计算机科学、信息技术、生物信息学和金融工程等集合论的基本概念集合元素集合是数学中一个基本的概念,集合中的每个对象称为元素.一它是一组对象的集合.个元素可以属于多个集合.子集并集如果一个集合的所有元素都属于两个集合的并集是包含这两个集另一个集合,则前者是后者的子合所有元素的集合.集.集合的运算并集包含所有元素的集合交集包含两个集合中共有元素的集合差集包含第一个集合中但不在第二个集合中的元素的集合补集包含不在原集合中的所有元素的集合关系和函数关系函数关系是集合之间的映射，它描述了集合元素之间的关联函数是一种特殊的二元关系，每个输入都有一个唯一的输出等价关系和等价类定义等价类等价关系是一种二元关系，它满足自反性、对称性和传递性例等价类是集合中所有与某个元素等价的元素的集合例如，在上如，在集合{1,2,3}上的等价关系可以定义为{1,1,2,2,3,述等价关系中，元素1和2属于同一个等价类，而元素3属于另3,1,2,2,1}一个等价类偏序关系和全序关系偏序关系是一种二元关系，它具有自全序关系是一种偏序关系，它具有完反性、反对称性和传递性全性，即任何两个元素都可比较偏序关系可以用Hasse图来表示，它是一个有向无环图，节点表示集合中的元素，边表示偏序关系布尔代数基本概念运算符布尔代数是一个代数系统，它研布尔代数包含一些基本的运算究逻辑运算和真值符，如AND、OR、NOT应用布尔代数广泛应用于计算机科学、数字电路设计等领域命题演算真值表逻辑运算形式证明命题演算的核心是真值表，通过真值表可命题演算中定义了各种逻辑运算，例如命题演算提供了一套形式化证明方法，用以判断命题的真假，并进行逻辑推理与、或、非、蕴涵等，它们是逻辑推理的于验证命题的真假，以及推理的有效性基础命题逻辑的推理规则演绎推理规则12从已知真命题推导出新的真命包括Modus Ponens,Modus题的过程.Tollens,假言三段论等.应用3在数学证明,计算机程序验证等领域都有广泛应用.一阶谓词逻辑语句量词包含个体常量、个体变量、谓词、函用于表示语句对所有或某些个体变量数和逻辑连接词的表达式的断言公式包含语句和量词，并符合语法规则的表达式语句和量词语句量词语句是描述一个命题的句子，它可以是真或假例如，“2+2=量词用于描述一个语句对一个集合中的所有元素或部分元素的真4”是一个真语句，而“月亮是绿色的”是一个假语句假情况例如，“所有学生都喜欢数学”是一个量词语句，其中“所有”是一个量词涉及量词的推理规则全称量词的否定1¬∀xPx≡∃x¬Px存在量词的否定2¬∃xPx≡∀x¬Px全称量词的分配律3∀xPx∧Qx≡∀xPx∧∀xQx存在量词的分配律4∃xPx∨Qx≡∃xPx∨∃xQx图论基础概念顶点边无向图有向图图论中，顶点是图的基本组边连接两个顶点，表示它们无向图中的边没有方向，表有向图中的边有方向，表示成元素，表示对象或节点之间的关系或交互例如，示两个顶点之间的关系是双两个顶点之间的关系是单向例如，在社交网络中，每个在社交网络中，两名用户之向的的，例如，在网页链接中，用户可以被视为一个顶点间的友谊关系可以表示为一一个页面指向另一个页面，条边就形成一条有向边图的基本性质顶点的度数边的权重连通性一个顶点连接的边的数量，称为该顶点的赋予边一个数值，表示边上的成本或距离图中是否存在路径连接任意两个顶点，决度数等信息定图的连通性路径和连通性路径1在图中，从一个顶点到另一个顶点的一系列边称为路径简单路径2路径中没有重复边的路径称为简单路径回路3起始顶点和终止顶点相同的路径称为回路连通性4如果图中任意两个顶点之间都存在路径，则该图是连通的生成树和最小生成树生成树1连接图中所有顶点，且不包含回路的树最小生成树2边权重总和最小的生成树算法Prim3贪心算法，逐步扩展生成树算法Kruskal4贪心算法，按边权重排序添加边图的遍历深度优先搜索DFS1沿着一条路径深入搜索，直到到达终点广度优先搜索BFS2逐层搜索，从根节点开始，逐层扩展有向图与网络流有向图网络流12有向图中的边具有方向性，表网络流是指在有向图中，每个示信息或资源的单向流动边都有容量限制，并从源点到汇点流动应用场景3网络流理论广泛应用于交通规划、物流优化、资源分配等领域图着色问题定义应用给定一个图，使用最少的颜色对在现实生活中，图着色问题有许图中的顶点进行染色，使得相邻多应用，例如资源分配、时间表的顶点颜色不同安排、地图着色等算法图着色问题是一个NP难问题，目前没有多项式时间算法能够解决所有图着色问题匹配理论及其应用匹配理论研究如何将一组元素最佳地应用场景包括资源分配、任务分配、配对，以最大化某种目标函数婚介等等常用方法包括匈牙利算法、Gale-Shapley算法等组合数学基础排列组合二项式系数递推关系排列组合是组合数学的基本概念，用于二项式系数是二项式展开式中各项系数递推关系是定义一个序列的规则，通过计算从一组元素中选取特定数量的元素的表示，具有独特的性质和应用前一项或多项的值来计算当前项的值，的排列或组合方式例如斐波那契数列排列组合的基本计数原理加法原理1当一个事件可以由**n**种不同的方式发生，其中每种方式都互斥，那么该事件发生的总方式数为**n**种方式的总和乘法原理2当一个事件需要完成**n**个步骤，每个步骤可以由**m**种不同的方式完成，那么该事件发生的总方式数为**n**个步骤的乘积二项式系数及其性质定义性质应用二项式系数表示二项式展开式中各项二项式系数具有对称性、递推关系、二项式系数在组合计数、概率论、代的系数例如，x+y^n的展开式组合意义等重要性质这些性质在组数等领域都有重要的应用例如，在中，x^k*y^n-k项的系数为Cn,合计数和概率论中都有广泛应用计算组合数、概率分布、多项式展开k等问题中，二项式系数起着关键作用斐波那契数列定义公式斐波那契数列是一个由0和1开始的该数列可以用公式表示Fn=Fn-整数序列，后面的数是前面两个数的1+Fn-2和应用斐波那契数列在自然界、计算机科学和金融领域有着广泛的应用离散概率论基础随机事件概率随机变量123概率论中的基本概念，用于描述随衡量随机事件发生的可能性，通常将随机事件的结果映射到数值的变机现象的发生用0到1之间的数值表示量，可以是离散的或连续的随机变量及其分布随机变量概率分布随机变量是一个变量，其值是随机的，并且可以取值范围内的任概率分布描述了随机变量取每个值的概率它可以是离散的，例何值例如，抛硬币的结果可以是正面或反面，这是一个随机变如抛掷骰子的结果，或者连续的，例如人的身高量，它可以取值0或1期望和方差期望方差12随机变量的期望值是该变量所随机变量的方差是该变量取值有可能取值的加权平均值，权与其期望值之差的平方的加权重为每个取值的概率平均值，权重为每个取值的概率意义3期望和方差是描述随机变量的重要指标，它们可以帮助我们理解随机变量的中心趋势和离散程度离散时间马尔可夫链随机过程状态转移概率马尔可夫性质描述随机变量随时间变化的过程在给定当前状态下，系统转移到下一状态未来的状态只依赖于当前状态，与过去状的概率态无关算法分析基础时间复杂度空间复杂度衡量算法运行时间随输入规模增长的衡量算法运行过程中所需内存空间随趋势输入规模增长的趋势渐进分析利用大O符号、Ω符号和小o符号描述算法复杂度的渐进行为时间复杂度分析大记号O1用大O记号描述算法运行时间的增长速度，例如On，On^2等最佳、最差、平均情况2分析算法在不同输入情况下运行时间的差异空间复杂度3分析算法运行过程中所需存储空间的增长速度结论与展望离散数学是计算机科学的重要基础课程涵盖了集合论、逻辑、图论和组合数学等核心内容课程旨在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和问题解决能力。