《高数无穷大无穷小》课件

《高数无穷大无穷小》高数中的无穷大和无穷小是两个重要的概念，它们是微积分的基础课程简介课程目标课程内容帮助学生掌握高等数学的基本涵盖极限、连续、导数、积分概念和方法，培养学生的数学等核心概念，并介绍其在不同思维和逻辑推理能力领域的应用学习方法课程价值课堂学习、课后练习，以及积高等数学是理工科专业的核心极参与讨论，提升对概念的理课程，为后续专业学习打下坚解和应用能力实基础第一章集合论基础集合论是数学的基础，提供数学研究的语言和工具本章将介绍集合的概念、运算、以及无限集合集合的概念定义元素12集合是由一些确定的、不同集合中的对象被称为元素，的对象所构成的整体每个元素都是唯一的表示方法分类34集合可以用列举法、描述集合可分为有限集合和无限法、图形法等方式表示集合，空集合是不包含任何元素的集合集合的运算并集交集差集补集并集包含所有属于至少一交集包含所有属于两个集差集包含所有属于第一个补集包含所有不属于指定个集合的元素合的元素集合但不属于第二个集合集合的元素的元素∪∈或∈且∉∩•A B={x|x Ax•A B={x|x Ax•A={x|x A}∈∈∈且B}B}•A-B={x|x Ax∈B}无限集合无穷大可数无限不可数无限集合元素无限多个宇宙无限广阔，包集合元素可以和自然数一一对应，比如集合元素无法与自然数一一对应，比如含无数星系，展现无限集合的概念沙滩上的沙子，可以和自然数一一对星空中的繁星，无法与自然数一一对应应第二章极限概念极限是高等数学中最重要的概念之一，是微积分的基础本章主要介绍数列极限、函数极限、极限的性质及计算等序列极限数列极限定义收敛序列发散序列ε-δ序列极限是指当序列项趋于使用εδ定义来精确描述序收敛序列是指其极限值存在发散序列是指其极限值不存-无穷大时，序列的极限值列极限的概念的序列在的序列函数极限函数极限极限值函数极限是微积分中的一个当自变量趋近于某一点时，重要概念，它描述了函数在如果函数值趋近于一个确定自变量趋近于某一点时函数的值，这个值就叫做函数在值的趋近情况该点的极限值极限存在的条件计算方法函数极限存在需要满足一定常用的计算函数极限的方法的条件，例如左右极限相等包括利用极限的性质、利用等洛必达法则等极限性质及计算极限性质极限计算极限具有许多性质，例如极常用的极限计算方法包括直限的唯一性、极限的保号性、接代入法、因式分解法、等价极限的加减乘除运算等无穷小替换法、洛必达法则等常见极限一些常见的极限需要熟记，例如无穷小的阶、重要极限等第三章连续函数连续函数是微积分中重要的概念本章将深入探讨连续函数的定义、性质和应用连续性的概念定义ε-δ对于任意给定的正数，存在正数，使得当自变量与εδx x0之间的距离小于时，函数值与之间的距离小于δfx fx0ε这个定义描述了函数在某点附近的邻域内的变化情况在数学中，连续性是指函数图形没有间断或跳跃直观地，当自变量在某个范围内变化时，函数的值也随着变化而连续变化初等函数的连续性多项式函数三角函数指数函数对数函数多项式函数在整个实数范围三角函数在定义域内连续指数函数在整个实数范围内对数函数在其定义域内连内连续这意味着函数在该例如，正弦函数和余弦函数连续指数函数的图形平滑续，即定义域为所有正实范围内没有间断点，图形平在所有实数范围内连续且不断上升或下降，没有间数对数函数的图形通常呈滑流畅断点曲线形状，无间断点连续函数的运算加减法两个连续函数的和差仍然是连续函数乘除法两个连续函数的积商也是连续函数，除数不为零复合函数若函数和分别在其定义域内连续，则复合函数也是连续函数fx gxfgx第四章导数概念导数是微积分中的核心概念之一，它反映了函数在某一点的变化率导数的引入为我们提供了研究函数变化规律的强大工具，为解决实际问题提供了新的视角导数的定义变化率切线斜率极限概念导数是函数在某一点的瞬时变化率它导数也是函数图像在某一点的切线的斜导数是通过极限的概念定义的它是函表示函数值随自变量变化的速率率它反映了函数在该点的变化方向和数增量与自变量增量之比的极限值速率导数的几何意义切线斜率瞬时变化率导数在某一点的值等于该点切线的斜率这表明了函数在该导数可以用来描述函数在某一点的瞬时变化率，这在物理学点的变化率和工程学中非常有用求导公式基本函数求导法则12例如，常数函数、幂函数、包括加减法法则、乘法法指数函数、对数函数、三角则、除法法则、复合函数求函数及其反函数等导法则等隐函数求导参数方程求导34对于隐式表示的函数，需要对于参数方程表示的曲线，使用隐函数求导法来计算其需要使用参数方程求导法来导数计算其切线斜率第五章导数应用导数是微积分的重要概念，它不仅具有重要的理论意义，还在实际应用中发挥着广泛的作用本章将探讨导数在现实世界中的应用，涵盖最值问题、函数图像分析、物理量计算等方面导数应用最值问题-最大值函数取得最大值，即在某个点处，函数值大于周围其他点处函数值最小值函数取得最小值，即在某个点处，函数值小于周围其他点处函数值应用求解最值问题广泛应用于优化设计，例如生产成本最小化、利润最大化等图形描绘函数图像几何图形利用导数信息绘制函数图像，应用微积分知识，求解几何图包括单调性、极值、拐点、凹形的面积、体积、曲率等凸性等物理模型利用微积分工具解决物理问题，例如速度、加速度、功、能量等微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理

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2.12函数在闭区间上连续，开区函数在闭区间上连续，开区间上可导，且端点函数值相间上可导，则存在一点使得等，则存在一点使得导数为导数等于端点函数值变化量与区间长度之比0柯西中值定理应用

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4.34两个函数在闭区间上连续，微分中值定理可以用于证明开区间上可导，且导数不全函数的性质，例如单调性、为，则存在一点使得两个凹凸性等0函数的导数之比等于端点函数值变化量之比第六章积分概念本章将探讨积分概念，这是微积分的核心内容之一积分是微分的逆运算，用于求解函数的面积、体积等原函数及不定积分原函数定义不定积分定义如果一个函数的导数等于则称为的原函数所有原函数组成的集合称为的不定积分，记为Fx fx,Fx fxfx∫fxdx定积分的概念面积体积曲边图形的面积可以用定积分来表示旋转体的体积可以用定积分来计算功弧长力作用在物体上做功可以用定积分计算曲线弧长也可以用定积分求解微积分基本定理牛顿莱布尼兹公式求定积分-连接导数和积分的概念，将微通过求原函数并进行上下限计分和积分统一起来算，方便快捷地求解定积分应用广泛在许多领域，如物理、工程、经济等，有着广泛的应用第七章积分应用积分概念是高等数学的重要组成部分，它在自然科学、工程技术、经济管理等领域都有着广泛的应用本章将重点介绍积分的几种重要应用，包括几何计算、物理量计算以及其他方面的应用通过学习本章内容，可以帮助学生更好地理解积分的理论和应用，并提高解决实际问题的分析能力第七章积分应用立体几何利用定积分计算体积，旋转体体积，旋转曲面面积利用定积分计算平面图形绕坐标轴旋转形成的旋转曲面面积物理量计算面积计算体积计算长度计算利用定积分可以计算不规则图形的面通过旋转曲面形成的立体体积，可以用运用微积分可以求解曲线长度，例如弧积，例如曲线与坐标轴围成的面积定积分进行计算长计算积分应用面积体积计算计算面积计算体积运用定积分计算平面图形的面积，运用定积分计算旋转体体积，例如例如曲边梯形的面积圆锥体、球体的体积计算弧长计算表面积运用定积分计算曲线的长度，例如运用定积分计算旋转体的表面积，圆周长、抛物线弧长例如球体的表面积。