《同济版高数》课件

《同济版高数》课件PPT本课件旨在帮助学生更好地理解和掌握高等数学知识课件内容涵盖了同济版高等数学教材的所有章节，并配有丰富的图片和动画，使学习更加生动直观第一章函数与极限本章介绍了函数的概念、性质和极限，以及它们在数学中的应用首先，将学习函数的基本定义，包括定义域、值域、函数图像等然后，将深入探讨函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等最后，将介绍函数的极限概念，以及如何计算函数的极限基本初等函数

1.1幂函数指数函数∈，是最简单的函数之一，是高中学习过的函数类型，，是研究增长和衰减的重要函数类型例如，y=xn nR y=ax a0a≠1y例如，是平方函数，是立方函数表示以为底的指数函数y=x2y=x3=2x2对数函数三角函数，，是指数函数的反函数，用于研究数量的比，，，是研究周期性变化的重要函数类型y=logax a0a≠1y=sinx y=cosx y=tanx例关系例如，表示以为底的对数函数，在物理、工程等领域应用广泛y=log2x2函数的运算

1.2函数加法函数乘法函数除法两个函数相加，得到一个新的函数新函两个函数相乘，得到一个新的函数新函两个函数相除，得到一个新的函数新函数的值等于两个函数的值之和数的值等于两个函数的值之积数的值等于两个函数的值之商复合函数

1.3定义例子12复合函数是由两个或多个函数组合而成例如，函数是由函数fx=sinx^2的函数，一个函数的输出作为另一个函和函数组合而成的复合函数sinx x^2数的输入性质应用34复合函数的性质取决于组成它的各个函复合函数在数学和物理学中有着广泛的数的性质，例如，如果两个函数都是连应用，例如，在计算力学中，可以利用续的，那么它们的复合函数也是连续的复合函数来描述物体的运动轨迹反函数

1.4反函数是将函数的输入和输出进行交换得到的函数.反函数的图像可以通过对原函数的图像关于直线对称得到y=x.求反函数需要先将原函数表达式中的和进行交换然后解出关于的表x y,y x达式.基本初等函数的性质

1.5单调性奇偶性函数在某个区间内，若自变量增大时，函数值也随之增大，则称如果函数定义域关于原点对称，且对于定义域内任意，都有x f-函数在这个区间内单调递增，则称函数为偶函数x=fx函数在某个区间内，若自变量增大时，函数值随之减小，则称函如果函数定义域关于原点对称，且对于定义域内任意，都有x f-数在这个区间内单调递减，则称函数为奇函数x=-fx极限的定义与性质

1.6极限的概念极限的性质极限是微积分的核心概念之一，极限具有许多重要的性质，例如它描述了函数在自变量趋近于某极限的唯一性、极限的保号性、个特定值时，函数值的变化趋势极限的加减乘除运算等极限的计算计算极限的方法包括直接代入法、因式分解法、等价无穷小替换法等极限的计算

1.7123极限的定义极限的性质极限的计算方法了解极限的定义是计算极限的关键，它利用极限的性质，例如极限的加减乘除常用的极限计算方法包括直接代入法是微积分的基础掌握极限的定义可以运算，以及极限的保号性，可以简化计、化简法、极限的夹逼定理、洛必达法帮助你更好地理解微积分的许多概念，算过程，并提高计算效率则等你需要根据不同的情况选择合适例如导数、积分和级数的计算方法无穷大与无穷小

1.8无穷大无穷小当变量的绝对值无限增大时，函数的值也无限当变量趋近于某一极限值时，函数的值也趋近增大，称函数趋向于无穷大于零，称函数趋向于无穷小函数连续性

1.9函数连续性定义连续性分类函数连续性表示函数图像在某一点没有间断或跳跃如果一个函函数的连续性可分为三种类型第一类间断点（可去间断点、跳数在某一点连续，则该点的左右极限相等，且等于函数值跃间断点）、第二类间断点（无穷间断点、振荡间断点）和连续点第二章导数与微分导数是微积分的核心概念之一，它反映了函数在某一点的变化率微分是导数的近似值，它可以用来近似地表示函数的变化量导数的概念

2.1切线的斜率瞬时变化率微积分基础导数描述函数在某一点的变化率，对应曲导数反映函数在特定时刻的变化速度，例导数是微积分的核心概念，由牛顿和莱布线在该点的切线斜率如物体在特定时间点的速度尼茨独立发现，为现代科学技术发展奠定了基础导数的运算规则

2.2常数的导数幂函数的导数

11.

22.常数的导数为零，表示其函数幂函数的导数由其指数决定，图象是一条水平线将指数减一并乘以原函数指数函数的导数对数函数的导数

33.

44.指数函数的导数等于其本身乘对数函数的导数等于其自变量以自然对数的底数的倒数乘以函数本身高阶导数

2.3二阶导数高阶导数函数的二阶导数是其一阶导数的导数二阶导数表示函数的凹凸函数的更高阶导数是通过对低阶导数进行求导得到的高阶导数性，即函数的曲线在某一点处是向上弯曲还是向下弯曲在物理学、工程学和经济学等领域有广泛应用隐函数的导数

2.4隐函数隐函数是指无法直接用一个公式表达出y关于x的关系，而是通过一个方程来定义的函数导数计算为了求解隐函数的导数，需要对方程两边同时求导，并将导数用y’表示链式法则在对隐函数进行求导时，通常需要使用链式法则，根据变量之间的依赖关系逐层求导参数方程的导数

2.5参数方程的导数参数方程的导数公式参数方程的导数应用参数方程是描述曲线的一种方法它使用参数方程的导数可以通过对参数方程关于参数方程的导数可以用来求曲线在某一点一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标参数求导得到可以使用链式法则求导，处的切线方程它也可以用来求曲线的弧参数方程的导数是指参数方程关于参数其中等于除以长、曲率等信息dy/dx dy/dt dx/dt的导数，它表示了曲线在该点处的切线的斜率微分的概念及性质

2.6微分的定义微分的性质微分是函数在自变量变化时函数微分是线性变换，具有可加性和值的增量，它反映了函数在某一齐次性，可用于近似计算函数值点附近的局部变化趋势微分的应用微分在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用，例如计算速度、加速度、变化率等微分的应用

2.7曲线长度计算1利用微分求解曲线长度平面图形面积计算2应用微分计算旋转体体积旋转体体积计算3通过微分计算曲面面积曲面面积计算4利用微分解决物理问题微分可以应用于各种领域，例如计算曲线长度、平面图形面积、旋转体体积、曲面面积，以及解决物理问题第三章积分积分是微积分学中另一个重要的概念，它与导数密切相关积分可以用来求解面积、体积、长度等几何问题，也可以用来求解物理、化学、经济等领域的应用问题不定积分

3.1导数与不定积分的关不定积分的定义

11.

22.系设是的一个原函数Fx fx不定积分是求导运算的逆运算，则称为的不Fx+C fx如果一个函数的导数为fx定积分，记作∫fxdx，则该函数称为的不定积fx分不定积分的性质

33.不定积分具有线性性质，即常数乘积的不定积分等于常数乘以函数的不定积分，两个函数和的不定积分等于两个函数的不定积分之和基本积分公式

3.2幂函数积分公式对数函数积分公式指数函数积分公式三角函数积分公式对于任何实数，除了当时，n n=-1x0∫1/xdx=ln|x|+C∫exdx=ex+C∫sinxdx=-cosx+C，都有∫xndx=xn+1/n+1+C换元积分法

3.3目标将积分表达式化简为基本积分公式的形式，通过变量代换使复杂积分更容易解决方法选择合适的变量代换，将积分表达式转化为新的积分变量的函数形式步骤首先，找出积分表达式中合适的变量替换部分其次，计算新的积分变量与原积分变量之间的关系，包括积分上下限的转换最后，将积分表达式代换为新的积分变量，并利用基本积分公式进行计算示例对于积分∫x^2+1^3*2x dx，可以将x^2+1替换为u，并通过链式法则进行积分分部积分法

3.4公式1∫u dv=uv-∫v du选择和u dv2根据u和dv的微分和积分难易程度选择计算∫v du3使用积分公式或其他方法计算∫v du最终结果4将uv和∫v du代入公式，得到积分结果分部积分法是解决积分问题的关键技巧之一通过将积分式拆分成两部分，并利用公式和技巧，可以将复杂的积分问题简化，最终得到积分结果理解分部积分法，将有助于你更深入地掌握微积分知识定积分概念及性质

3.5定义性质

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22.定积分是将函数曲线下的面积定积分具有线性、可加性和积进行求解，并以面积的方式进分中值定理等性质行表达应用

33.定积分可用于求解面积、体积、弧长、功等实际问题牛顿莱布尼茨公式

3.6-基本概念公式牛顿莱布尼茨公式建立了定积分与不定积分之间的联系它表设在区间上连续，是的一个原函数，则定-fx[a,b]Fx fx明定积分的值等于被积函数在积分上限处的原函数值减去在积分积分下限处的原函数值∫abfxdx=Fb-Fa广义积分

3.7积分区间无穷积分区间包含无穷大，需要将积分区间分成有限部分和无穷部分被积函数无界被积函数在积分区间内存在间断点，需要将积分区间分成有限部分和无穷部分极限求解通过求解极限，得到广义积分的收敛值或发散值定积分的应用

3.8几何应用物理应用定积分可以用于计算平面图形的定积分可以用于计算功、力矩、面积，以及旋转体体积质心、惯性矩等物理量经济应用概率应用定积分可以用于计算成本、利润定积分可以用于计算连续型随机、消费者剩余等经济指标变量的概率分布函数。