《导数的几何意义》课件

导数的几何意义课程目标理解导数的几何意义应用导数解决实际问题12掌握导数与切线斜率的关将导数应用于速度、加速系，并能利用导数求函数度、曲率等物理概念的计图像在某点的切线方程算，并能解决相关应用问题培养数学思维3通过对导数的学习，培养严谨的逻辑思维能力和抽象思维能力，提高解决问题的能力什么是导数变化的速率切线的斜率导数代表函数在某个特定点上的变化速率从几何意义上讲，导数表示函数曲线在该点处的切线的斜率导数的定义函数的变化率极限的定义数学公式导数是函数在某一点的变化率，它描导数的定义是通过函数在该点附近的导数通常用或表示，代表fx df/dx述了函数在该点附近的变化趋势变化量与自变量的变化量之比的极限函数在点处的导数fx x来定义的导数的几何意义导数在几何上表示曲线在某一点的切线的斜率切线是曲线在该点附近最接近曲线的直线导数的几何意义可以帮助我们理解曲线的变化趋势，以及曲线在某一点的局部性质导数的物理意义速度加速度功率导数可以用来描述物体运动的速导数的导数可以用来描述物体的导数可以用来描述能量的变化率度，即物体位置随时间的变化率加速度，即物体速度随时间的变，即功率化率导数与切线的关系切线曲线在某一点的切线是与该点相切的直线导数导数代表了曲线在该点的斜率，即切线的斜率联系导数可以用来确定切线的方程几种导数运算常数的导数变量的导数常数的导数为零变量的导数为1和差的导数积的导数和差的导数等于各导数的和差积的导数等于第一个因数的导数乘以第二个因数加上第一个因数乘以第二个因数的导数常数的导数常数函数fx=C导数fx=0变量的导数变量的导数是变量本身的导数，也就是说，对于函数，其导数为y=x dy/dx=1和差的导数12和差两个函数之和的导数等于这两个两个函数之差的导数等于这两个函数导数之和函数导数之差积的导数积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数商的导数设和都是可导函数，且，则ux vxvx≠0d/dx[ux/vx]=[vxux-uxvx]/[vx]^2复合函数的导数12链式法则多个函数链式法则是一个重要的导数规则它用于求解由多个函数组成的复合函数的导数3嵌套函数复合函数是指一个函数嵌套在另一个函数内部隐函数的导数12隐函数求导无法显式地用一个变量表示另一通过对等式两边同时求导来求解个变量的函数隐函数的导数3链式法则在求导过程中，需要运用链式法则来处理复合函数高阶导数定义记号意义123函数的导数的导数称为函数的函数的阶导数记为高阶导数可以用来描述函数的y=fx ny^n二阶导数，二阶导数的导数称或凹凸性、拐点等信息f^nx为函数的三阶导数，依此类推，称为函数的阶导数n导数的应用速度和加速度曲线的切线和法线最大值和最小值导数可以用来计算物体运动的速度和导数可以用来求曲线在某一点处的切导数可以用来求函数的最大值和最小加速度线和法线值，以及求函数的拐点速度和加速度速度加速度速度表示物体运动快慢的物理量加速度表示物体速度变化快慢的,是位移对时间的变化率物理量是速度对时间的变化率,曲线的切线和法线切线法线切线是与曲线在某一点相切法线是垂直于切线的直线，的直线，其斜率等于该点处其斜率为切线斜率的负倒数的导数应用切线和法线在物理学、工程学和计算机图形学等领域中都有广泛的应用最大值和最小值函数的最大值函数的最小值函数在某个区间内的最大值是指该函数在该区间内的最大函数在某个区间内的最小值是指该函数在该区间内的最小值值曲线凹凸性和拐点向上凹向下凹拐点曲线在某区间内，其图形位于切线的曲线在某区间内，其图形位于切线的曲线凹凸性发生改变的点上方下方微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理123如果函数在闭区间上连续，在开区如果函数在闭区间上连续，在开区如果两个函数在闭区间上连续，在间上可导，且在区间的两个端点取间上可导，那么在该开区间内至少开区间上可导，且在该区间内，其值相等，那么在该开区间内至少存存在一点，使得函数的导数等于函中一个函数的导数不为零，那么在在一点，使得函数的导数为零数在该区间端点处的平均变化率该开区间内至少存在一点，使得两个函数的导数之比等于两个函数在该区间端点处的平均变化率之比洛必达法则极限形式分子分母求导运算导数在经济中的应用边际分析需求弹性经济模型导数可以帮助企业分析边际成本、边导数可以计算需求弹性，帮助企业了导数被广泛应用于构建和分析经济模际收益和边际利润，优化生产决策解价格变化对需求的影响，制定更合型，例如供求模型、消费函数和投资理的定价策略函数导数在物理学中的应用速度和加速度动量和冲量导数可以用来描述物体的运导数可以用来计算物体的动动速度和加速度量和冲量功和能导数可以用来计算物体的功和能导数在工程中的应用优化设计建模分析12通过导数，工程师可以找导数帮助建立精确的数学到最佳设计参数，例如最模型，用于预测工程系统大化效率、最小化成本或的行为和性能减少材料浪费控制系统3导数在控制系统设计中扮演重要角色，用于调节和优化系统响应，实现稳定性和准确性导数在医学中的应用药物剂量优化疾病模型分析医学图像处理导数可帮助确定药物的最佳剂量，以导数可用于构建和分析疾病模型，帮导数可用于医学图像的增强和处理，最大限度地发挥疗效，并最小化副作助研究人员理解疾病的传播和发展提高诊断的准确性用习题演练基础练习1巩固导数的基本概念和计算方法应用题2将导数应用于实际问题中，例如求解最大值、最小值等综合练习3综合运用导数知识解决复杂问题总结回顾导数的定义导数的几何意义导数的应用函数在某一点处的导数表示了该函数导数代表了曲线在该点处的切线的斜导数在物理学、工程学、经济学等领在该点处的变化率率域有着广泛的应用课后思考导数的应用领域有哪些？如何利用导数解决实际问题？尝试用导数解释生活中的一些现象。