《数列的概念》课件

数列的概念什么是数列定义特点例子数列是由一系列按照一定顺序排列数列中的数字称为数列的项，每个例如，1，3，5，7，9，11…是一个的数字组成的序列项都有唯一的序号，称为项号等差数列，每个项比前一项大2数列的定义定义表示12数列是指按照一定顺序排列通常用字母a表示数列，第的一列数，每个数叫做这个n项用an表示数列的项例子3例如，2,4,6,8,10是一个等差数列，每个数比前一个数大2数列的表示方法通项公式列举法递推公式用一个关于n的表达式表示数列的第n项直接列出数列的若干项，用省略号表示用前几项来表示数列的下一项，称为递，称为通项公式余下的项推公式数列的性质有序性无限性唯一性数列中的每一个数都有它特定的位置数列通常具有无限个元素，意味着数数列中的每一个元素都是唯一的，不，它们按照一定的顺序排列列中的项可以无限地排列下去会重复出现等差数列的定义定义公式等差数列是指从第二项起，每一项等差数列的通项公式an=a1+都比前一项多一个常数的数列n-1d等差数列的性质等差数列的项数是有限个，且公差相等等差数列的每一项都等于它的前一项加等差数列的通项公式是an=a1+n-上公差1d，其中a1是首项，d是公差，n是项数等比数列的定义公比通项公式等比数列中，任何一项与其前一项的比值是一个常数，这个设等比数列的首项为a1，公比为q，则它的通项公式为an=常数叫做公比，通常用字母q表示a1*q^n-1等比数列的性质通项公式求和公式等比数列的通项公式为an=a1等比数列前n项和公式为Sn=*q^n-1，其中a1为首项，q a11-q^n/1-q，其中a1为首为公比项，q为公比性质等比数列中，任意一项都等于其前一项乘以公比；等比数列中，任意两项的乘积等于这两项中间一项的平方数列的运算加法减法乘法除法数列的加法是指将两个数数列的减法是指将两个数数列的乘法是指将两个数数列的除法是指将两个数列的对应项相加，得到一列的对应项相减，得到一列的对应项相乘，得到一列的对应项相除，得到一个新的数列例如，数列个新的数列例如，数列个新的数列例如，数列个新的数列例如，数列{an}和{bn}的加法得到数{an}和{bn}的减法得到数{an}和{bn}的乘法得到数{an}和{bn}的除法得到数列{an+bn}列{an-bn}列{an*bn}列{an/bn}需要注意的是，除数不能为零数列的求和等差数列求和1Sn=na1+an/2等比数列求和2Sn=a11-q^n/1-q无穷等比数列求和3S=a1/1-q数列的应用自然现象经济领域12例如，描述物体自由落体的例如，预测股票价格的走势运动轨迹计算机科学3例如，设计算法和数据结构等差数列的应用建筑设计金融投资12等差数列可以用来计算建筑等差数列可以用来计算定期物的尺寸和比例，例如楼梯存款的利息，以及债券的收的台阶高度和宽度益率工程设计3等差数列可以用来计算桥梁的跨度和承载力，以及飞机的机翼尺寸等比数列的应用金融领域物理学等比数列可以用来计算复利、贷款、投资等金融问题，例如等比数列可以用来描述自由落体运动、放射性衰变等物理现计算银行存款的本利和象数列与函数的关系数列可以看作是定义域为自然数集函数可以用来表示数列的通项公式的函数单调数列单调递增单调递减数列中的每一项都大于或等于前一项数列中的每一项都小于或等于前一项递推数列定义通项公式应用递推数列是指从第二项起，每一项递推数列的通项公式可以通过递推递推数列广泛应用于计算机科学、都由它前面的若干项按一定规律确关系式求得，但有时需要借助其他经济学、物理学等领域，例如斐波定的数列方法那契数列、汉诺塔问题等分段函数定义表示方法应用分段函数是指在不同的自变量取值范用不同的解析式表示函数在不同自变在实际应用中，分段函数可以用来模围内，函数的解析式不同的函数量取值范围内的对应关系拟现实世界中的一些现象，例如分段计费、分段税率等数列的极限定义意义数列的极限是指当数列项的序数列的极限可以用来描述一个号趋于无穷大时，数列项的值数列的最终趋势，即当序号无无限接近于某个常数这个常限增大时，数列项的值会趋于数称为数列的极限值稳定应用数列的极限在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，例如，它可以用来计算积分、求解微分方程等数列收敛的充要条件数列收敛的充要条件极限存在数列收敛的充要条件存在实数L，使得当n趋于无穷大时，数列的第n项趋于L数列收敛的充要条件存在实数L，使得对于任意正数，总存在正ε整数N，当nN时，|an-L|ε数列收敛的性质唯一性有界性12如果一个数列收敛，那么它收敛数列一定有界，也就是的极限是唯一的说，它的所有项都在某个有限范围内保号性3如果收敛数列的极限为正，那么从某一项开始，数列的所有项都为正级数的概念等差级数等比级数幂级数公差为d的等差级数a1+a1+d+a1公比为q的等比级数a1+a1q+a1q^2+形如a0+a1x+a2x^2+...+anx^n+...+2d+...+a1+n-1d...+a1q^n-1的级数等比级数定义公式等比级数是指各项构成等比数列的级数，其中公比为q等比级数的通项公式为an=a1*q^n-1，其中a1为首项，q为公比等比级数的和首项1首项是级数中第一个数公比2公比是级数中每个数与其前一个数的比值项数3项数是级数中包含的数的个数无穷等比级数当等比数列的项数趋于无穷大时，所形无穷等比级数的和可以用公式计算S=当公比q的绝对值小于1时，无穷等比成的级数称为无穷等比级数a1/1-q，其中a1是首项，q是公比级数收敛；当公比q的绝对值大于等于1时，无穷等比级数发散幂级数定义收敛性应用幂级数是指一个关于自变量x的无幂级数的收敛性取决于系数an和自幂级数在数学、物理和工程领域有穷级数，其通项为anxn，其中an变量x的取值每个幂级数都有一着广泛的应用，例如，它可以用来是常数，n是自然数个收敛半径，在该半径内，幂级数表示函数、求解微分方程和进行数收敛；在半径之外，幂级数发散值计算级数的应用物理学工程学经济学级数可以用来描述物理现象，例如振动级数可以用来设计和分析工程系统，例级数可以用来预测经济指标，例如通货、波浪和热传导如电路、结构和流体动力学膨胀和增长率数列的收敛与发散收敛发散12当数列的项趋向于一个确定如果数列的项没有趋向于一的值时，我们说这个数列收个确定的值，或者趋向于无敛穷大，我们说这个数列发散重要数列及其性质等差数列等比数列斐波那契数列首项为a，公差为d的等差数列通项公首项为a，公比为q的等比数列通项公斐波那契数列指的是这样一个数列1式为an=a+n-1d式为an=a*qn-1，1，2，3，5，8，13，…该数列的特点是，每个数都是前面两个数的和数列的综合应用解决实际问题建模工具12数列可以用来解决很多实际数列可以作为建模工具，用问题，例如求和、求极限、来描述和分析一些现实世界求通项公式等的现象，例如人口增长、经济增长、股票价格变化等数学研究3数列是数学研究的重要对象，其性质和应用在许多数学领域都有着重要的意义数列思想在日常生活中的应用数列思想不仅在数学领域具有重要意义，更广泛地应用于日常生活，例如规划储蓄将每月定额储蓄看作等比数列，可计算未来积累的财富预测人口增长利用等比数列模型，可预测未来人口数量分析股票走势运用数列分析方法，可以更好地理解股票价格波动规律。