《高数》数列极限》课件

《高等数学》数列极限数列极限是高等数学的重要概念之一，它是微积分的基础在本课件中，我们将详细讲解数列极限的定义、性质和求解方法作者数列极限概述数列极限的概念数列极限的意义数列极限是分析学中一个重要概念，它描述了当数列的项趋于无数列极限不仅描述了数列的收敛趋势，也为我们提供了研究函数穷时，数列的值趋向于某个常数的趋势和级数的工具理解数列极限是学习高等数学的基础，它在函数极限、微积分、它可以帮助我们理解和解决许多实际问题，例如求解方程、计算级数等领域都发挥着重要作用面积和体积、分析物理现象等数列的定义和性质数列的定义数列的性质数列是按照一定顺序排列的一列数列具有单调性、有界性、收敛数，每个数称为数列的项数列性等性质，这些性质可以帮助我可以是有限的或无限的，可以用们判断数列的极限和收敛性通项公式表示数列的分类数列可以分为等差数列、等比数列、斐波那契数列等，每种数列都有其特殊的性质和规律数列收敛的充分必要条件收敛定义语言ε-N数列收敛意味着随着项数的增加，数列的项越来越接近一个确定使用ε-N语言可以更精确地描述数列的收敛过程对于任意小的的值这是数列收敛的核心定义正数ε，总存在正整数N，使得当nN时，|an-a|ε这是一个更严格的数学定义常见数列极限的求解基本公式图形法极限运算法则特殊技巧常见的数列极限可以通过基本利用数列的图形表示来观察其利用极限的性质，可以将复杂对于一些特殊的数列，需要用公式直接求解，例如等比数列趋势，可以直观地判断数列的数列的极限转化为简单数列的特殊的技巧来求解，例如夹逼、等差数列等的极限公式极限极限准则、单调有界准则等夹逼准则夹逼准则1两个数列收敛到相同极限2被夹数列也收敛到相同极限3夹逼准则是求数列极限的重要方法之一，应用广泛单调有界准则单调性1数列单调递增或递减有界性2数列存在上界和下界收敛性3数列收敛于某个极限值单调有界准则用于判定数列是否收敛如果一个数列既是单调的又是有限的，那么这个数列一定收敛柯西收敛准则定义应用

11.

22.数列{an}收敛的充要条件是柯西收敛准则可以用来判定一，对于任意正数ε，存在正整个数列是否收敛，无需事先知数N，当m,nN时，有道极限值|am-an|ε优势意义

33.

44.在许多情况下，柯西收敛准则柯西收敛准则揭示了数列收敛比直接求极限更容易使用，因与数列项之间的关系，即当数为它不依赖于极限值列项之间距离足够小时，数列就收敛极限存在定理定义条件意义应用极限存在定理指在一定条件该定理的条件包括单调性和该定理对于判断数列是否收该定理在数学分析、物理学下，数列收敛于某个极限值有界性，即数列必须单调递敛至关重要，它为证明数列、工程学等领域都有广泛应，即该数列存在极限增或递减，且有界收敛提供了一个强有力的工用，例如求解函数的极限、具求解微分方程等无穷大与无穷小无穷大无穷小当数列的项越来越大，超过任何给定的正数时，我们称此数列趋当数列的项越来越小，趋近于零时，我们称此数列趋于无穷小于无穷大无穷小的阶性质阶的定义比较阶无穷大极限无穷小量阶表示其趋于零的速比较不同无穷小量趋于零的速当无穷小量趋于零时，其倒数阶的性质可以帮助求解极限和度度，判断它们谁更快趋于无穷大判断极限是否存在两个无穷小的比较高阶无穷小同阶无穷小若两个无穷小αx和βx的比值的极限为零，则称αx是比βx高若两个无穷小αx和βx的比值的极限为一个非零常数，则称αx阶的无穷小，记作αx=oβx和βx是同阶无穷小等价无穷小比较方法若两个无穷小αx和βx的比值的极限为1，则称αx和βx是等价比较无穷小的阶数，可以使用极限的定义来判断，也可以借助一无穷小，记作αx∼βx些常见的等价无穷小来进行比较极限运算法则和差法则乘积法则

11.

22.两个数列的极限存在，则它们两个数列的极限存在，则它们的和或差的极限也存在，且等的乘积的极限也存在，且等于于这两个数列极限的和或差这两个数列极限的乘积商法则常数倍法则

33.

44.两个数列的极限存在，且除数一个数列的极限存在，则该数的极限不为零，则它们的商的列的常数倍的极限也存在，且极限也存在，且等于这两个数等于该数列极限的常数倍列极限的商一定界数列的极限性质有界性保号性单调性一定界数列收敛于某个极限，该极限一定一定界数列从某个项开始，如果所有的项如果一个单调递增（或递减）的一定界数在数列的上界和下界之间，也就是说，极都大于零，则该数列的极限也大于零；如列收敛，那么该数列的极限等于它的上界限值不会超过数列的最大值和最小值果所有的项都小于零，则该数列的极限也（或下界）小于零子列与极限子列定义子列极限重要定理从数列中选取无穷多个项，按原来的子列极限是指子列收敛时所收敛到的若原数列收敛，则它的任何子列都收顺序排列得到的新数列，称为原数列值，它与原数列的极限之间存在着密敛，且子列的极限等于原数列的极限的子列切关系数列极限的存在充分条件单调有界准则柯西收敛准则极限存在定理如果数列单调递增且有上界，那么该数列如果数列满足柯西收敛准则，那么该数列如果数列有极限，那么它的任何子列也有收敛收敛相同的极限级数概念与性质定义收敛性

11.

22.无限多个数的和称为级数，用符号∑表示判断一个级数是否收敛，即判断级数的和是否存在性质应用

33.

44.级数的性质包括收敛性、绝对收敛、条件收敛等级数广泛应用于数学、物理、工程等领域，例如计算函数值、求解微分方程等正项级数的收敛性判别比较判别法比值判别法根式判别法积分判别法如果一个正项级数大于另一如果正项级数的相邻两项之如果正项级数的第n项的n次如果正项级数的第n项可以表个已知收敛的正项级数，则比的极限存在且小于1，则该方根的极限存在且小于1，则示成一个连续函数fx在x=n该级数也收敛反之，如果级数收敛如果极限大于1，该级数收敛如果极限大于1处的函数值，且fx在[1,+∞一个小于另一个已知发散的则该级数发散如果极限等，则该级数发散如果极限上单调递减，则该级数收敛正项级数，则该级数也发散于1，则该方法失效，需要使等于1，则该方法失效，需要当且仅当积分∫1^∞fxdx收用其他方法判别使用其他方法判别敛正项级数的性质非负性单调性

11.

22.正项级数的所有项都是非负的正项级数的项数增加，其部分和也随之增加收敛性比较判别法

33.

44.如果正项级数收敛，则其部分可以利用比较判别法来判断正和序列收敛于一个有限值项级数的收敛性交错级数的收敛性判别莱布尼茨判别法收敛性判别若交错级数满足以下条件，则收敛莱布尼茨判别法是判断交错级数收敛性的重要方法，可以帮助我们快速判断级数的收敛性•项的绝对值单调递减•项的绝对值趋于零幂级数的概念及性质定义收敛域幂级数是指形如∑n=0∞anx-对于一个给定的幂级数，存在一x0n的级数，其中an为常数，个区间，在这个区间内幂级数收x0为常数，称为幂级数的中心敛，称为幂级数的收敛域和函数性质当幂级数收敛时，它的和函数可幂级数具有许多良好的性质，例以看作是x的函数，称为幂级数如连续性、可导性、可积性等的和函数幂级数的收敛域收敛半径收敛区间收敛域中心到收敛域边界点的距离，收敛半径决定了收敛域的宽度，但需表示幂级数收敛的范围考虑边界点的收敛情况收敛域图形表示包括收敛半径内的所有点以及可能收收敛域可以用数轴或图形直观地表示敛的边界点，便于理解和分析幂级数的和函数定义性质幂级数的和函数是指将幂级数的各个项幂级数的和函数在收敛域内是连续函数求和后得到的函数该函数的定义域是幂级数的收敛域在收敛域内可以进行逐项求导和逐项积分，得到新的幂级数，其收敛域与原幂级数相同泰勒级数的概念及性质定义性质泰勒级数是将一个函数展开成无穷级数的形式，其中系数由函数泰勒级数具有收敛性，这意味着在某些条件下，级数的和会收敛在某一点的导数决定到函数的值泰勒级数能够近似地表示一个函数，并可以用于求解微分方程和泰勒级数具有唯一性，即对于给定的函数和展开点，只有一个泰进行数值计算勒级数与之对应泰勒公式及其应用近似计算求解方程泰勒公式可以将函数近似为多项利用泰勒公式将非线性方程转化式，用于近似计算函数值为多项式方程，简化求解过程研究函数性质通过泰勒展开式可以更深入地了解函数的性质，例如奇偶性、单调性、极值等函数的连续性与可导性连续性函数在某点连续是指当自变量趋近于该点时，函数值也趋近于该点处的函数值可导性函数在某点可导是指函数在该点处存在导数，即函数在该点处的变化率存在关系可导性是连续性的充分条件，但不是必要条件连续性并不保证可导性函数的连续性与极限极限与连续性的关系连续性是极限存在的

11.

22.充分条件函数在某点连续意味着函数值和该点极限值相等，它们共同如果函数在某点连续，则该点反映了函数在该点附近的局部极限一定存在，且等于函数值行为极限是连续性的必要连续性与可导性

33.

44.条件可导性是比连续性更强的性质如果函数在某点极限存在，该，如果函数在某点可导，则该点不一定连续，例如，函数在点一定连续该点可能存在跳跃导数的概念与运算法则导数定义导数的几何意义导数的运算法则导数是函数在某一点处变化率的度量它导数在曲线上的几何意义是该点切线的斜导数运算法则用于求解复杂函数的导数，表示函数值随自变量变化量的变化速度率包括和、差、积、商以及复合函数的导数复合函数的导数定义链式法则复合函数的导数表示复合函数在某个点处的变化率链式法则指出，复合函数的导数等于外层函数的导数乘以内层函数的导数求复合函数的导数通常需要使用链式法则例如，如果y=fgx，则y=fgx*gx基本初等函数的导数指数函数的导数对数函数的导数三角函数的导数幂函数的导数指数函数的导数等于其本身乘对数函数的导数等于1除以函数三角函数的导数分别对应于其幂函数的导数等于其指数减1后以自然对数的底的自变量乘以自然对数的底余弦函数、负的正弦函数等的幂函数乘以原指数。