《高数上复习题》课件

《高数上复习题》本课件包含高等数学上册的经典习题，涵盖函数、极限、导数、积分等重要内容旨在帮助学生巩固所学知识，提升解题能力作者课前引导复习目标复习方法全面回顾高等数学上册知识点，掌握基本概念、性质和定理认真阅读教材，做笔记，整理知识框架熟练掌握解题技巧，提高解题效率和准确率练习课本习题和往年考试真题，查漏补缺复习大纲函数极限与连续函数的定义、性质、图像、基本初等函数极限的定义、计算方法、连续性导数与微分积分导数的定义、计算规则、导数的应用不定积分、定积分、积分的应用函数的基本概念函数定义函数图像定义域、值域、对应关系函数是定义域到值域的映射关系函数可以用图像表示，图像可以直观地展示函数的性质函数性质函数分类单调性、奇偶性、周期性等函数性质可以帮助理解函数的特征常见函数包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数指数函数对数函数三角函数指数函数的定义域为全体实数，值域为正对数函数的定义域为正实数，值域为全体三角函数是定义在角或弧度上的函数，主实数实数要包括正弦、余弦、正切、余切、正割、余割复合函数及其性质定义1一个函数的输出作为另一个函数的输入性质2连续性、可导性、可积性应用3求导、积分、求极限复合函数的定义是将一个函数的输出作为另一个函数的输入常见的复合函数性质包括连续性、可导性和可积性复合函数的应用广泛，例如求导、积分和求极限等反函数定义图形关系12如果函数的定义域和值域和的图像关于直线fx fxf⁻¹x是互逆的，则其反函数对称f⁻¹x y=x存在求反函数步骤3设，解出关于的表达式，然后交换和即可y=fx xy xy对数函数及指数函数对数函数指数函数函数关系定义域为正实数，值域为全体实数，单调定义域为全体实数，值域为正实数，单调互为反函数，图像关于直线对称y=x递增，过点递增，过点1,00,1三角函数基本定义单位圆

1.

2.12正弦、余弦、正切、余切、正运用单位圆来理解三角函数的割、余割等函数的定义及其图定义和性质形三角函数公式反三角函数

3.

4.34包括和差角公式、倍角公式、反三角函数的定义、性质和图积化和差公式等形极限概念函数极限无穷小当自变量无限接近某一个值时，当自变量无限接近某一个值时，函数值无限接近某个常数，这个函数值无限接近于，这样的函0常数就称为函数的极限数称为无穷小极限的性质极限具有唯一性、有界性、保号性等性质，这些性质可以帮助我们简化极限的计算计算极限的基本方法直接代入法1如果函数在极限点处连续，则直接代入极限点即可求得极限值因式分解法2通过因式分解，消去极限点处的零因子，然后代入求解等价无穷小替换法3利用等价无穷小替换，简化极限表达式，然后求解洛必达法则4当极限表达式为或型时，可以使用洛必达法则求解0/0∞/∞夹逼定理5当极限表达式难以直接求解时，可以使用夹逼定理求解无穷小与等价无穷小无穷小等价无穷小当自变量趋于某个常数或无穷大时，函数的极限为零，则称该函当自变量趋于某个常数或无穷大时，两个无穷小的比值的极限为数为无穷小，则称这两个无穷小为等价无穷小.1无穷小量可以用来描述变量的变化趋势，当变量趋于某个值时，等价无穷小在求极限时可以相互替换，简化计算过程其变化量变得越来越小，最终趋近于零导数的概念及基本性质导数定义导数的几何意义函数在某一点的变化率，即该点切线函数在某一点的切线的斜率的斜率导数的物理意义导数的基本性质函数在某一点的瞬时变化率常数函数的导数为•0幂函数的导数•和差函数的导数•积函数的导数•商函数的导数•导数的应用切线函数单调性求曲线在某点处的切线方程，可利用导数求得通过导数符号判断函数的单调区间，从而找到该点处的切线斜率函数的极值点曲线的凹凸性优化问题利用二阶导数判断曲线的凹凸性，并确定拐点利用导数求解函数的最值，例如在经济学中求利润最大化，在物理学中求最小能量导数的计算规则基本函数的导数导数的运算规则掌握基本函数的导数公式例如多项式函数、指数函数、对数函了解导数的加减乘除运算规则，以及复合函数的求导法则,.数和三角函数的导数.和差法则

1.幂函数导数

1.积法则

2.指数函数导数

2.商法则

3.对数函数导数

3.链式法则

4.三角函数导数

4.导数的应用问题求函数的最值利用导数判定函数的极值点，从而求得函数在给定区间上的最大值和最小值求曲线切线方程利用导数求得切线斜率，再根据点斜式方程写出切线方程求函数的单调性利用导数判断函数在不同区间的单调性，并确定函数的极值点求函数的凹凸性利用二阶导数判断函数的凹凸性，并找到函数的拐点解决实际应用问题例如，求最优生产规模、最大利润、最短时间等优化问题不定积分概念及性质定义性质

1.

2.12不定积分是导数的反运算它不定积分具有线性性质，即常表示所有导数为给定函数的函数倍和函数和的积分等于常数数集合倍和函数积分的和积分常数几何意义

3.

4.34不定积分中包含一个任意常数不定积分代表了函数曲线下的，称为积分常数，它反映了导面积，积分常数反映了面积的数的任意性起始位置基本积分公式积分符号积分变量微积分基本定理积分符号是，表示积分运算，可以理解为积分变量通常用表示，表示积分是对哪微积分基本定理建立了积分与导数之间的∫dx求面积或体积的工具个变量进行积分，也称为积分的上限和下关系，可以帮助我们用导数来计算积分限换元积分法换元积分法是一种将复杂积分转换为更容易求解积分的常用方法基本思想1通过变量替换，将积分式转化为更简单的形式基本步骤2选择合适的换元，求出新的积分变量和被积函数积分计算3利用基本积分公式求出新积分的解，再还原为原积分变量分部积分法基本公式1将原积分化成另一个更容易求解的积分选择和u dv2选取合适的和是关键步骤u dv应用公式3利用分部积分公式进行计算求解新积分4解出新的积分，完成分部积分过程分部积分法是一种重要的积分技巧，它通过将原积分式化为另一个更容易求解的积分式来进行求解定积分概念及性质积分区间积分函数积分区间是指定积分的上下限，积分函数是指在定积分中被积函它代表积分变量的变化范围积数，它描述了被积分区域的面积分区间决定了积分的范围，并影或体积积分函数的性质决定了响积分结果积分结果的特征积分变量积分常数积分变量是指在定积分中进行积积分常数是指在不定积分中出现分的变量积分变量的变化范围的任意常数，它表示积分结果的由积分区间确定无限个解在定积分中，积分常数被消去，因此没有积分常数微积分基本定理积分与导数的关系微积分基本定理揭示了积分与导数之间的紧密联系它表明，导数是积分的反运算，反之亦然积分的几何意义微积分基本定理将积分与曲线的面积联系起来它指出，函数在某个区间上的积分值等于该区间上函数曲线与横轴所围成的图形的面积定积分的应用该定理在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用，可以用来计算面积、体积、工作量、质量、力等定积分的应用几何图形面积物体体积

1.

2.12定积分可以计算平面图形的面积，例如定积分可以计算旋转体，例如，曲线绕，曲线和坐标轴围成的区域坐标轴旋转形成的立体物理量经济学模型

3.

4.34定积分可以计算物理量，例如，功、力定积分可以应用于经济学模型，例如，矩、压力消费者剩余和生产者剩余的计算常微分方程及其应用牛顿冷却定律人口增长模型放射性衰变电路RC描述物体温度随时间变化规律预测人口增长趋势，应用于人描述放射性物质衰变过程，应分析电容和电阻组成的电路，，例如热水冷却速度口统计学用于物理学应用于电子工程变化率和相关性问题变化率相关性函数值随自变量变化的快慢程度两个变量之间是否存在某种联系，用导数来表示，并用相关系数来衡量应用场景例如，研究产品价格与销量之间的关系，或时间与温度之间的关系向量代数及其应用向量加减运算向量点积向量叉积向量的加减运算满足平行四向量点积可以计算两个向量向量叉积可以计算两个向量边形法则，可以理解为向量的夹角和投影的面积和方向的首尾相连点积运算是可交换的，但不叉积运算是不交换的，也不向量的加减运算满足结合律可结合满足结合律和交换律空间解析几何向量直线空间中的向量可以用三个坐标表示，空间中的直线可以用方向向量和一个并可以进行加减乘除运算点来表示，可以求解直线之间的距离和夹角平面空间图形空间中的平面可以用法向量和一个点可以利用空间直线和平面方程来描述来表示，可以求解平面之间的距离和和分析空间中的各种几何图形，如球夹角体、圆锥、圆柱等向量微积分向量场的曲线积分向量场的曲面积分斯托克斯定理散度定理计算向量场沿曲线的积分，用计算向量场穿过曲面的流量，建立了曲线积分与曲面积分之建立了体积分与曲面积分之间于描述能量、功等物理量用于描述流体流量、热量传递间的联系，用于简化计算和理的联系，用于分析向量场的源等物理量解物理规律汇性质多元函数微分学导数多元函数微分学涉及多元函数的导数和偏导数微分导数可以用来描述多元函数的变化率和方向微分是导数的近似表示，可以用来估计多元函数在某一点的微小变化多元函数的微分可以用来线性化函数，简化计算重积分及其应用二重积分三重积分二重积分是用来计算曲面在三维三重积分是用来计算三维空间中空间中的体积它可以用来计算一个固体物体的体积它可以用一个曲面在平面上的面积来计算一个固体物体的质量x-y应用重积分应用于物理学、工程学和经济学等领域例如，可以用来计算流体的流动、热传递和重力场的强度选择性复习针对不同专业和学习目标，复习内容可做适当调整建议重点关注考试大纲和老师的强调内容例如，对于物理、化学、生物等理工科专业，微积分和微分方程的应用是重点；对于经济、金融等专业，则需要重点关注微积分在经济学中的应用复习过程中，应注意知识点的逻辑联系，形成完整的知识体系例如，导数、积分和微分方程之间有着紧密的联系，需要将它们联系在一起进行理解和应用此外，应注重解题技巧的训练，例如，利用导数求极值、用积分计算面积和体积等对于某些章节或知识点，可以根据自己的学习情况进行选择性复习例如，对于一些难度较大的知识点，可以先进行简单的了解，并重点关注其应用对于一些比较基础的知识点，则可以进行更深入的学习，并尝试解决一些难度较高的习题。