《极限的运算法则》课件

极限的运算法则课程目标和大纲深入理解极限概念运用极限解决实际问题培养逻辑思维能力掌握极限的定义、性质和计算方法，将极限应用于物理、工程、经济等领通过极限的学习，培养严谨的逻辑思为后续微积分学习打下坚实基础域，解决实际问题维能力，提高分析问题和解决问题的能力什么是极限在数学中，极限的概念是微积分的基础当一个函数的自变量无限接近某一点时，函数的值也无限接近某个特定值，这个特定值就被称为该函数在该点的极限例如，当趋近于时，函数的极限为这意味着，x2fx=x^24当越来越接近（但不等于）时，的值也越来越接近x22fx4极限的基本性质唯一性有界性保号性当一个函数的极限存在时，它将只有一个如果一个函数的极限存在，那么它在某个如果一个函数的极限大于零，那么它在某值邻域内必须是有界的个邻域内也大于零利用限制量法求极限方法介绍1使用限制量法，将函数的极限值用一个确定的数来逼近步骤分析2先求出函数的极限值，再用限制量来逼近极限值应用场景3适用于求解复杂函数的极限问题，例如涉及三角函数或对数函数利用代数运算法则求极限和差法则±±limfx gx=lim fxlim gx积法则limfx*gx=lim fx*lim gx商法则当limfx/gx=lim fx/lim gxlim gx≠0常数倍法则为常数limc*fx=c*lim fxc求极限的技巧和技巧化简分母有理化利用洛必达法则通过代数运算或三角函数公式将极限式当极限式中含有根式时，可以通过分母当极限式为或型不定式时，可0/0∞/∞进行化简，使之更容易求解例如，将有理化来消除根式，从而简化极限式的以使用洛必达法则求解洛必达法则指无穷小量替换为等价无穷小量，或使用求解出，如果极限式满足一定条件，则其极特殊极限公式进行化简限等于其分子和分母的导数之比的极限处理无穷小和无穷大的极限无穷小是当自变量趋于某个极限值时，函数的值也趋于零的量无穷大是当自变量趋于某个极限值时，函数的值也趋于无穷大的量处理无穷小和无穷大的极限时，需要运用一些特殊的技巧，例如洛必达法则无穷小的比较和等价无穷小比较大小等价无穷小12判断两个无穷小量在趋于零时当两个无穷小量之比的极限为的相对大小，即哪个无穷小量时，它们称为等价无穷小

1.趋于零的速度更快.替换法则3在计算极限时，可以用等价无穷小替换原无穷小量.利用泰勒公式求极限展开函数1将函数展开成泰勒级数替换函数2用泰勒级数代替原函数计算极限3对泰勒级数求极限极限的存在性和唯一性极限存在性极限唯一性当自变量趋于某个值时，函数值若函数在某点处极限存在，则该趋于一个确定的值，则称该函数极限值是唯一的在该点处极限存在一些特殊极限公式的极限elimn-∞1+1/n^n=e无穷小的极限limx-0sinx/x=1三角函数的极限limx-0tanx/x=1连续函数的定义和性质定义性质12在某个定义域内，函数值随着连续函数具有许多重要的性质自变量的变化而连续变化，没，例如中间值定理、介值定理有跳跃或断裂，则称该函数在和一致连续性该定义域内是连续的连续函数的运算加减运算1两个连续函数的和、差仍然是连续函数乘法运算2两个连续函数的积仍然是连续函数除法运算3两个连续函数的商，在分母不为零的地方是连续函数复合运算4连续函数的复合仍然是连续函数一些重要的连续函数多项式函数三角函数指数函数多项式函数是连续函数的重要例子，它们三角函数也是连续函数，它们在几何学和指数函数是连续函数，它们在经济学和人在很多领域都有广泛的应用物理学中都有重要的应用口增长模型中都有重要的应用点连续和一致连续点连续一致连续函数在某一点连续是指函数在该点及其附近的值的变化趋势是一函数在一区间上连续是指函数在该区间上的所有点都连续函数致的换句话说，函数在该点的极限值等于函数在该点的值在该区间上的一致连续性是指函数在该区间上的所有点上，函数值的变化趋势都保持一致间断点的分类和判定可去间断点跳跃间断点无穷间断点函数在该点有极限，但函数值不存在或与函数在该点左右极限存在，但左右极限值函数在该点左右极限至少有一个为无穷大极限值不同可以通过改变函数在该点的不相等，函数值可能存在也可能不存在，函数值可能存在也可能不存在定义来消除极限和连续的关系极限存在连续函数函数在某个点的极限存在是连续性的如果函数在某个点连续，则该点的极必要条件限等于函数值闭区间上连续函数的性质有界性最大值最小值定理介值定理在闭区间上连续的函数一定有界，即存在闭区间上连续的函数一定取得最大值如果函数在闭区间上连续，且函数值在在一个实数，使得函数值小于等于和最小值区间端点处取值不同，则函数值在区间M M内一定取遍所有介于这两个端点值之间的值函数的极大值和极小值局部极大值局部极小值12函数在某个点附近的取值都小函数在某个点附近的取值都大于该点的函数值于该点的函数值全局极大值和全局极小值3函数在整个定义域上的最大值和最小值函数的单调性和凹凸性单调性凹凸性判定方法函数在某个区间上的单调性是指该函函数在某个区间上的凹凸性是指该函判定函数的单调性和凹凸性可以使用数在该区间上是递增的还是递减的数在该区间上是向上凹的还是向下凹导数的符号来判断的函数的最大值和最小值11最大值最小值函数在定义域内取得的最大值函数在定义域内取得的最小值常见初等函数的极值问题二次函数三角函数指数函数求二次函数的极值问题，可以使用求导法求三角函数的极值问题，可以使用三角函求指数函数的极值问题，可以使用指数函，将导数等于零，即可求得极值点例如数的性质，例如，求函数的极数的性质，例如，求函数的极值y=sin xy=e^x，求函数的极值点，值点，可以利用的周期性，将函数点，可以利用的单调递增性，得知函y=x^2-2x+1sin xe^x求导后得到，令，解的定义域限制在内，然后求得数在定义域内没有极值点y=2x-2y=0[0,2π]得，则为极值点极值点x=1x=1鞍点和驻点鞍点驻点鞍点是指函数在该点的一阶偏导驻点是指函数在该点的一阶偏导数为零，但不是极值点数为零或不存在区别鞍点是驻点，但驻点不一定是鞍点多元函数的极值问题偏导数海森矩阵约束条件123多元函数的极值点必须满足所有偏海森矩阵可以用来判断驻点是极大当多元函数有约束条件时，可以使导数为零的条件，即驻点值点、极小值点还是鞍点用拉格朗日乘数法求解极值条件极值问题约束条件1限制变量取值的方程或不等式目标函数2需要求取极值的函数拉格朗日乘数法3求解条件极值问题的一种常用方法拉格朗日乘数法引入辅助变量引入一个新的变量，称为拉格朗日乘数，来表示约束条件构建拉格朗日函数将目标函数和约束条件用拉格朗日乘数结合起来，构建一个新的函数，称为拉格朗日函数求解拉格朗日函数的极值对拉格朗日函数求偏导数，并令其等于零，解出极值点验证极值点验证所得的极值点是否满足约束条件，并判断其是极大值还是极小值隐函数的极值问题隐函数方程无法直接用一个变量表示另一个变量，需要用方程来表示它们之间的关系求导对隐函数方程两边求导，得到隐函数的导数求解临界点令导数为零，求解隐函数的临界点，即可能取得极值的点总结和思考回顾展望本课程涵盖了极限的基本概念、性质和运算法则学习了如何求极限是微积分的基础，是理解导数和积分的关键本课程的学习极限、如何比较无穷小，以及如何利用泰勒公式求极限将为进一步学习微积分打下坚实的基础。