《高数复习要点》课件

高数复习要点高等数学是理工科的重要基础课程，涵盖微积分、线性代数、概率论等内容本课件旨在帮助同学们系统复习高数知识，巩固基础，提升解题能力作者课程目标掌握基本概念培养逻辑思维能力12深刻理解高等数学的基本概念、定理和方法锻炼逻辑思维能力，提高分析问题和解决问题的能力强化应用能力提高数学素养34将高等数学知识应用到实际问题中，解决实际问题提升数学素养，为后续专业课程的学习打下坚实基础函数及其性质

1.1函数的定义域函数的值域函数的单调性函数的奇偶性函数定义域是指所有可以作为函数的值域是指函数所有可能函数的单调性是指函数值随自函数的奇偶性是指函数关于原自变量取值的集合，即所有可的输出值的集合，即函数在定变量的变化而变化的趋势，可点对称的性质，可以分为奇函以代入函数公式并得到有意义义域内取值后得到的全部结果以分为单调递增、单调递减和数和偶函数的结果的值非单调基本初等函数

1.2指数函数对数函数指数函数是数学中常用的函数，对数函数是指数函数的逆函数，它可以用来表示各种增长和衰减它可以用来解决指数方程和对数现象方程，并应用于各种领域，例如财务和物理学三角函数反三角函数三角函数是描述角和边的关系，反三角函数是三角函数的逆函数它们在几何学、物理学和工程学，它们可以用来求解三角方程，中都有广泛的应用并应用于各种领域，例如导航和地图绘制函数的图像

1.3函数的图像可以直观地展示函数的性质和变化趋势利用图像可以更方便地观察函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等信息通过图像分析可以发现函数的极值点、拐点、渐近线等重要特征极限概念及性质

2.1极限的概念极限指的是当自变量无限接近某个值时，函数值无限接近某个固定值极限的性质极限具有许多性质，例如极限的唯一性、极限的四则运算等极限的应用极限广泛应用于微积分、线性代数、概率论等领域，是数学分析中的重要概念一种特殊极限

2.2极限的定义性质和应用该极限定义为x趋近于无穷大时，一个函数的值趋近于一个常数a这种特殊极限具有许多重要的性质，例如，它可以用来判断函数这种极限在实际应用中非常常见，例如，在计算物体运动速度的收敛性、计算函数的极限值，并可以应用于微积分、线性代数时，当时间趋近于无穷大时，物体速度会趋近于一个稳定值等多个学科极限的应用

2.3求函数的渐近线判断函数的连续性求函数的导数求函数的积分利用极限求函数的水平渐近通过极限判断函数在某点处利用极限定义求函数的导数极限的概念在积分的定义中线、垂直渐近线和斜渐近线是否连续，并根据极限值确，这为进一步研究函数的性扮演重要角色，为求解定积定函数在该点的类型质提供了基础分和不定积分奠定理论基础连续函数的概念及性质

3.1连续函数连续函数的性质连续函数的应用函数在某个点的左右极限都存在且相等，•连续函数在闭区间上一定有最大值和最微积分中许多重要定理和公式都依赖于连等于该点函数值小值续函数的概念•连续函数在闭区间上的图像是一条连续的曲线间断点的类型

3.2第一类间断点第二类间断点第一类间断点包括可去间断点和第二类间断点是指函数在该点左跳跃间断点可去间断点是指函右极限至少有一个不存在或无穷数在该点左右极限都存在且相等大例如，函数在该点可能趋于，但函数值不存在或不等于极限正无穷或负无穷，也可能在该点值跳跃间断点是指函数在该点左右极限都不存在左右极限都存在，但左右极限不相等间断点分类间断点的分类有助于我们理解函数在某一点的行为特征，并进一步研究函数的连续性、可导性和积分性导数的概念及几何意义

4.

111.定义

22.几何意义导数反映了函数在某一点的变导数代表了函数曲线在该点处化率的切线斜率

33.物理意义导数表示了瞬时速度、加速度等物理量的变化率导数的四则运算

4.2和的导数1两个函数和的导数等于这两个函数导数的和差的导数2两个函数差的导数等于这两个函数导数的差积的导数3两个函数积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数商的导数4两个函数商的导数等于分子导数乘以分母减去分子乘以分母导数，再除以分母的平方隐函数的求导

4.3隐函数的概念隐函数是指不能用一个变量显式表示的函数例如，x²+y²=1求导方法用链式法则求导，即对隐函数两边同时求导，得到关于y的方程，解出y即可举例求x²+y²=1的导数，两边同时求导，得到2x+2yy=0，解出y=-x/y高阶导数

4.4二阶导数拐点泰勒级数二阶导数是函数的一阶导数的导数，表示拐点是函数曲线上凹凸性发生改变的点，泰勒级数是将一个函数表示为无穷多个项函数曲线的凹凸性二阶导数在拐点处为零或不存在的和，高阶导数用于计算泰勒级数的系数微分的概念及性质

5.1微分的定义微分的性质12微分是对函数变化量的近似描微分满足线性性和可加性,并述,它反映了函数在某一点附且与函数的增量成线性关系近的变化趋势微分的应用3微分广泛应用于函数的近似计算、误差分析和物理量之间的微小变化分析微分的应用

5.2求函数近似值求解优化问题微分可以用来求函数在某个点的微分可以帮助找到函数的最大值近似值，这在工程和科学领域非和最小值，这在优化问题中非常常有用重要计算曲线的切线和法线求解运动学问题导数是曲线的斜率，微分可以用微分可以用来求解物体的速度、来计算曲线的切线和法线加速度和位移，这在运动学中非常有用不定积分的概念

6.1原始函数不定积分设Fx是一个可导函数，且它的导数等设fx是一个给定的函数，则所有导数等于fx，即Fx=fx，则称Fx为fx于fx的函数之集称为fx的不定积分，的一个原函数记为∫fx dx基本积分公式

6.2基本积分公式常见函数公式记忆基本积分公式是求解不定积分的基础，需包括幂函数、指数函数、对数函数、三角建议通过练习和总结的方式，将基本积分要熟练掌握函数、反三角函数等公式牢记于心换元积分法

6.3换元积分法是求不定积分的重要方法之一，通过引入新的变量，将原积分转化为更容易求解的积分基本思想1将原积分中的变量换成新的变量，使积分式更简化常用技巧2观察被积函数，选择合适的换元，化简积分式公式应用3运用换元积分公式，求解积分换元积分法可以有效地解决许多复杂的积分问题，在实际应用中发挥着重要的作用分部积分法

6.4公式分部积分法基于导数的乘积公式，用于计算两个函数乘积的不定积分选择合适的函数将被积函数分解为两个函数的乘积，其中一个函数容易积分，另一个函数容易求导应用公式根据分部积分公式进行积分，并对积分后的结果进行简化常见应用分部积分法常用于计算包含三角函数、指数函数、对数函数的积分定积分的概念及性质

7.

111.定积分的概念

22.定积分的性质定积分定义为函数曲线与x轴定积分具有线性、可加性和单之间围成的面积，反映了函数调性等性质，可用于计算曲线的累积变化的长度、面积和体积

33.定积分的应用定积分广泛应用于物理、工程、经济等领域，如计算功、力矩、概率和收益牛顿莱布尼茨公式

7.2-核心公式莱布尼茨牛顿连接微积分中的微分和积分，建立导数与德国数学家，牛顿-莱布尼茨公式的贡献者英国物理学家、数学家，微积分的奠基人原函数之间的关系之一，独立发现了微积分之一，牛顿-莱布尼茨公式的发现者广义积分

7.3概念类型广义积分是对无界区间或被积函数有无界间断点的积分的推广广义积分主要分为两种类型无界区间积分和瑕积分无界区间积分指的是积分区间为无穷大或无穷小的积分它通过极限运算，将积分区间或被积函数扩展到无界情况瑕积分指的是被积函数在积分区间内有间断点，但积分区间仍然是有限的函数的最大值和最小值

8.1极值的概念极值点的判断求极值的方法应用最大值和最小值是函数在定义利用导数的性质，通过一阶导利用导数求极值的方法包括求•优化问题域内的最大值和最小值数和二阶导数判断函数的极值驻点、求端点、求无穷处的极•几何图形问题点限•物理模型问题曲线的长度和曲面积分

8.2曲线长度曲面积分曲线长度是微积分中的一个重要曲面积分是将函数在曲面上进行概念它表示曲线在空间中的长积分它可以用来计算曲面的面度，可以通过积分计算得出积、体积等应用曲线长度和曲面积分在物理学、工程学等领域有着广泛的应用，例如计算物体的重心、计算流体的流量等曲线的包络线

8.

311.定义

22.求法包络线是一条曲线，它与一族曲线在每求包络线的方法是先求出一族曲线的方个点都相切例如，圆族的包络线是一程，然后求出该方程的偏导数，并将其条直线代入原方程中，即可得到包络线的方程

33.应用包络线在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如，它可以用来描述光线的传播路径、波的传播路径等级数概念及性质

8.4无限项和主要类型级数是由无限个实数项组成的和式它们可以被看作是序列的推级数的常见类型包括几何级数、幂级数和泰勒级数每种类型都广，用于研究无限多个量的累加有独特的性质和应用，例如，几何级数用于计算无限循环小数，幂级数用于函数的展开，泰勒级数用于函数的逼近级数的收敛性是指当项数趋于无穷大时，部分和是否收敛到一个有限值级数的性质包括收敛性、绝对收敛性和条件收敛性，这了解不同类型的级数的性质和应用，有助于在解决实际问题中选些性质有助于理解级数的性质和应用择合适的工具例如，在计算无穷循环小数时，可以使用几何级数的公式，而泰勒级数可以用于近似函数的值常用级数

8.5几何级数调和级数幂级数泰勒级数每一项都是前一项的常数倍的每一项是前一项倒数的级数称幂级数是关于一个变量的幂的泰勒级数是将一个函数展开成级数称为几何级数，它在很多为调和级数，它具有发散的性级数，它在数学分析中占有重关于其自变量的幂级数的形式领域都有应用质要的地位，它在近似计算中起着关键作用结语高数知识体系庞大，但核心概念清晰复习过程中，要注重概念理解，注重知识间的联系。