《高数映射与函数》课件

《高数映射与函数》课程导入基础回顾概念理解回顾集合论、数列、函数等基础知识理解映射与函数的基本概念和定义学习目标掌握映射与函数的性质和应用映射的概念映射是数学中一个重要的概念，它描述了两个集合之间的对应关系简单来说，映射就是将一个集合中的元素与另一个集合中的元素建立起一一对应的关系例如，我们可以将一个学生集合映射到一个成绩集合，每个学生对应一个成绩在数学上，一个映射可以用一个有序对的形式表示，例如a,b，其中a是第一个集合中的元素，b是第二个集合中的元素这表示a映射到b映射的性质唯一性多值性对于定义域中的每个元素，映射同一个映射结果可能对应着定义结果都是唯一的域中的多个元素单值性全射每个元素只对应一个映射结果，映射结果覆盖了整个值域是唯一性的特例一一映射定义性质当且仅当映射中不同的元素对应于不同的元素时，该映射称为对于一一映射，有则，反之亦然f ffx1=fx2x1=x2一一映射反映射定义性质如果一个映射f:X→Y是双射的反映射是可逆的，其逆映射为，则称为到的反映射，满足f XY f-1:Y→X f-1fx=x和ff-1y=y应用反映射在数学和计算机科学中广泛应用，例如编码、解密、坐标变换等复合映射定义1将两个或多个映射依次进行，形成一个新的映射，称为复合映射符号2用∘表示复合映射，例如∘表示先进行映射，再进行“”f gg映射f性质3复合映射满足结合律，但不一定满足交换律映射与集合一一映射满射双射每个元素都对应唯一的另一个元素每个元素都有一个对应的映射一一映射且满射，两个集合之间一一对应函数的概念函数是数学中的一种重要概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系函数可以理解为一个机器，它接收一个输入值，经过一系列运算后输出一个“”结果值函数的定义域是指所有可以作为函数输入的集合函数的值域是指所有可能的输出值的集合函数的表示方式解析式图像表格123使用数学公式来描述函数的对应关以图像的形式直观地表示函数列出函数的自变量和因变量的对应系关系函数的性质定义域值域函数定义域是指所有可以作为函函数值域是指函数所有取值的集数自变量的取值集合合..单调性奇偶性函数的单调性是指函数在某个区函数的奇偶性是指函数关于原点间内随着自变量的增大（或减小对称还是关于轴对称的性质y.）而增大（或减小）的性质.反函数定义性质存在条件对于函数，如果存在一个函数，反函数的定义域是原函数的值域，值域不是所有函数都有反函数，只有单调函fx gx使得对于fx定义域内的任意x，都有是原函数的定义域反函数与原函数关数才存在反函数即对于任意x1≠x2，，则称为的反函数，于直线对称都有gfx=x gx fx y=xfx1≠fx2记为f-1x初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数初等函数的性质单调性周期性奇偶性初等函数可以具有单调递增或递减的性质一些初等函数，如三角函数，具有周期性初等函数可以是奇函数或偶函数，这取决，这意味着函数值随着自变量的变化而单，意味着函数值在一定范围内重复出现于函数值关于原点的对称性调变化复合函数定义1当一个函数的变量是由另一个函数的值决定的，则称此函数为复合函数表达式2，其中是内函数，是外函数y=fgx gxfx例子3，其中，y=sinx^2gx=x^2fx=sinx复合函数在数学中十分重要，它可以用来描述许多复杂的现象例如，我们可以用复合函数来描述一个物体的运动轨迹，或者描述一个经济系统的变化趋势函数的极限无限逼近趋近过程当自变量趋于某个值时，函数值极限描述的是一个趋近的过程，无限接近于某个常数，这个常数而不是最终的值函数值可以无就是函数的极限限接近极限，但永远不会完全等于极限无穷大函数的极限也可以是无穷大，表示当自变量趋于某个值时，函数值无限增大间断点定义分类函数在其定义域内，如果存在一点，使得该点左右两侧的极限都间断点可分为三类可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点不存在或不相等，则该点称为函数的间断点函数的连续性函数在某一点连续，意味着函数图像连续函数的图像可以用一根连续的曲在该点没有跳跃或断裂线绘制，没有间断点函数的连续性在微积分中至关重要，例如求导和积分函数的导数切线的斜率变化率优化问题导数是函数在某一点的变化率，可以用切导数也可以用来表示函数在某一点的瞬时导数在优化问题中扮演重要角色，例如找线的斜率来表示变化率，比如速度和加速度到函数的极值点导数的应用求函数极值求函数单调性12利用导数可以求解函数的极值通过判断导数的正负，可以确，例如最大值和最小值定函数的单调区间求函数凹凸性3利用二阶导数，可以判断函数的凹凸性以及拐点导数的运算法则和差法则积法则12两个函数的和或差的导数等于两个函数的积的导数等于第一这两个函数的导数的和或差个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数商法则链式法则34两个函数的商的导数等于分母复合函数的导数等于外层函数的平方除以分子乘以分母的导的导数乘以内层函数的导数数减去分母乘以分子的导数高阶导数二阶导数凹凸性拐点函数的一阶导数的导数二阶导数可以用来判断函数的凹凸性二阶导数可以用来求函数的拐点隐函数的导数定义求导方法隐函数是指用方程表示的函数，利用隐函数方程对自变量求导，无法直接用一个表达式表示，但然后将导数表达式化简得到隐函可以用方程的导数来求出函数的数的导数导数应用隐函数的导数可以用于求解隐函数的切线方程、极值、拐点等微分定义公式应用微分是对函数在某个点附近的变化量的函数在点处的微分记为，定义微分在数学、物理、工程等领域都有广fx xdf一种度量它可以看作是函数在该点附为，其中是函数在泛的应用，例如，在物理中，微分可以df=fxdx fxfx近变化率的线性近似点处的导数，是自变量的增量用来计算物体运动的速度和加速度x dx微分的应用切线方程函数近似优化问题使用导数来求曲线的切线方程用导数来近似计算函数的值导数可以用来解决优化问题，例如找到函数的最大值或最小值微分中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理在闭区间上连续，在开区间上可导的函数在闭区间上连续，在开区间上可导的函数在闭区间上连续，在开区间上可导的两个，如果函数在端点处的函数值相等，则存，则存在一点，使得该点的导数等于函数函数，如果这两个函数在端点处的增量不在一点，使得该点的导数为零在端点处的增量与区间长度的比值为零，则存在一点，使得该点两个函数的导数之比等于这两个函数在端点处的增量之比函数的图像函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的变化规律通过图像，我们可以观察到函数的单调性、奇偶性、周期性等重要性质函数图像的绘制方法多种多样，常用的方法有描点法利**用函数性质利用计算机绘图软件*坐标变换二维坐标系三维坐标系通过平移、旋转或缩放变换，可以改变坐标系的位置和方向三维坐标系中的坐标变换涉及到三个维度，例如平移、旋转和缩放函数的极值极大值极小值12函数在某个点取得的最大值函数在某个点取得的最小值驻点3函数在该点的导数为零函数图像的描绘函数图像的描绘是数学分析中重要的内容通过描绘函数图像，我们可以直观地理解函数的性质，例如函数的单调性、奇偶性、周期性等函数图像的描绘方法有很多种，常用的方法包括描点法、直线法、对称法等结束语通过本课程的学习，我们对映射和函数有了更深入的理解映射作为数学中的基本概念，为我们提供了构建函数的工具，函数则成为描述现实世界中各种关系和变化的强大工具希望大家能够将所学知识应用到实际问题中，并不断探索数学的奥秘。